lsi, quand on choisit un intervalle ouvert

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1/3 - Chap.

Cours n°2 – Limite d’une suite II) Limite finie d'une suite

Définition n°2

La suite (u_n) admet pour limite le nombre réel

l

si, quand on choisit un intervalle ouvert I

contenant

l

, il existe toujours un n0 à partir duquel

…...

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de l.

Notation

On dit que la suite (u_n) converge vers

l

et on note : …...

…...

Remarque :

Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non - Exemple : (-1)ⁿ)

Exemple n°2 :

Soit la suite (u_n) définie par u_n= 5

n² . Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que u_n converge et que

l

= ...

Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.

Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5 n²<a :

…...

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2/3 - Chap.

…...

…...…

Conclusion :

…...

…...…

Exemple n°3

Soit la suite (v_n) définie par v_n+1= 5

v_n ^{. et}v₀=−1. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que v_n …...

Démonstration par récurrence :

…...

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3/3 - Chap.

…...

III) Limite infinie d'une suite Définition n°3

La suite (u_n) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n0 à partir duquel ...………...

...

Exemple n°4

Soit la suite (w_n) définie par w_n+1=5+n². Déterminer la limite de cette suite.

Intuitivement, on voit que w_n …...

Soit un intervalle ouvert du type ]A;+∞[ , A étant un réel quelconque strictement plus grand que 5.

Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5+n²>A :

…...

…...…

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