Leçon 215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R

Leçon 215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R

. Exemples et applications.

1 Différentielle et dérivées

Définition 1. SoientUun ouvert deRⁿetf :U→R^m. On dit quef est différen- tiable au pointa∈Us’il existe une application linéaire df(a)∈L(Rⁿ,R^m) telle que pourh→0 :

f(a+h)=f(a)+df(a).h+o(khk)

Cette application est alors unique. On dit quef est différentiable surUsi elle est différentiable en tout point deU.

Proposition 2.

1. Si f est différentiable en a, alors f est continue en a.

2. Si f,g sont différentiables en a et siλ∈R, alorsλf+g est différentiable en a etd(λf +g)(a)=λdf(a)+dg(a).

3. Si f est différentiable en a et si g est différentiable en f(a)alors g◦f est différentiable en a etd(g◦f)(a)=dg¡

f(a)¢

◦df(a).

Exemple 3.

1. Sif :R→Rest dérivable au pointa, alorsf est différentiable au pointaet df(a).h=f⁰(a)h.

2. SoitN(x)= kxkla norme euclidienne, alors dN(x).h=_kxk^x ·h.

3. L’application det est différentiable surMn(R) et d(det)(A).H=Tr(^tAH).

Définition 4. Soienth∈Rⁿ eta∈U, on dit quef admet une dérivée direction- nelle au pointaselon le vecteurhsi la fonctiont7→f(a+t h) est dérivable en 0.

Cette dérivée est notée^∂_∂h^f(a). Sih=e_ivecteur de la base canonique, on parle de dérivée partielle et on note_∂^∂_x^f

i(a).

Proposition 5. Si f est différentiable en a, alors pour tout h∈Rⁿ, f admet une dérivée directionnelle au point a selon le vecteur h, et^∂_∂h^f(a)=df(a).h. En parti- culier :

df(a).h=

n

X

i=1

∂f

∂x_i(a)hi

Définition 6. Sif est différentiable ena, on appelle matrice jacobienne def au pointala matrice J_f(a)=£_∂f_i

∂x_j(a)¤

i,j ∈Mm,n(R). C’est la matrice de df(a) dans les bases canoniques deR^metRⁿ.

Sif est à valeurs réelles, siRⁿest muni d’un produit scalaire, on appelle gradient def au pointa, noté∇f(a), le vecteur représentant la forme linéaire df(a).

Exemple 7. la fonctionf définie parf(x,y)=_x2^{x y}+y² si (x,y)6=(0, 0) etf(0, 0)=0 admet des dérivées partielles en (0, 0) mais n’est pas différentiable en (0, 0).

Théorème 8(inégalité des accroissements finis). Soit[a,b]un segment contenu dans U . On suppose qu’il existe M>0tel que pour tout x∈[a,b],df(x)6^{M .} Alorskf(b)−f(a)k6^Mkb−ak.

Définition 9. On dit quef est continument différentiable surU, ou de classe C¹ surU, sif est différentiable en tout point deUet six7→df(x) est continue deU dansL(Rⁿ,R^m).

Théorème 10. L’application f est de classeC¹sur U ssi les dérivées partielles de f existent en tout point de U et sont continues.

2 Théorème d’inversion locale et conséquences

Définition 11. SoientU etV deux ouverts deRⁿ. On dit que f :U→V est un difféomorphisme sif est C¹,f est bijective etf⁻¹est C¹.

Théorème 12(inversion locale). Soient U un ouvert deRⁿet f :U→Rⁿde classe C¹. Soit a∈U tel quedf(a)est inversible, alors il existe V un voisinage ouvert de a dansRⁿet W un voisinage ouvert de f(a)dansRⁿtels que f_|V :V →W soit un difféomorphisme. De plus,df⁻¹¡

f(x)¢

=df(x)⁻¹.

Application 13. Soitf :Rⁿ→Rⁿune application C¹telle que pour toutx∈Rⁿ, df(x)∈O_n(R). Alorsf est une isométrie affine.

Théorème 14(fonctions implicites). Soient U un ouvert deRⁿ×R^met f :U→R^m de classeC¹. Soient(a,b)∈U et c= f(a,b). On suppose que la différentielle de y7→ f(a,y)est inversible au point b. Alors il existe V un voisinage ouvert de a dansRⁿ, W un voisinage ouvert de b dansR^metϕ:V→W de classeC¹telle que :

∀x∈V,∀y∈W, f(x,y)=c ⇐⇒ y=ϕ(x) 1

Exemple 15. SoitP₀∈R_n[X] etx₀∈Rune racine simple deP₀. Alors il existeV un voisinage ouvert deP₀dansR_n[X],W un voisinage dex₀dansRetϕ:V→W de classe C¹tels que pour tousx∈WetP∈U,x=ϕ(P)⇐⇒P(x)=0.

Définition 16. SoitMune partie deRⁿ. Soientm∈Metd∈N^∗, on dit queMest lisse enmde dimensionds’il existeϕun difféomorphisme d’un voisinage ouvert V demdansRⁿsur le voisinageϕ(V) de 0 dansRⁿqui transformeMen un s.e.v.

de dimensiond:

ϕ(M∩V)=F∩ϕ(V)

avecFun s.e.v. deRⁿde dimensiond. On dit queMest une sous-variété deRⁿ de dimensiondsiMest lisse de dimensionden tout point.

Définition 17. SoientMune partie deRⁿ etm∈M. Un vecteurvdeRⁿest dit tangent enmàMs’il existe un chemin dérivableγ:I→MoùIintervalle ouvert contenant 0 tel queγ(0)=metγ⁰(0)=v.

Proposition 18. Si M est lisse en m de dimension d , alors l’ensemble de ses vec- teurs tangents en m est un s.e.v. deRⁿde dimension d appelé espace vectoriel tan- gent à M en m. On le noteT_mM .

Théorème 19(sous-variétés). Soient M une partie deRⁿ, m∈M et d ∈N^∗. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. M est lisse en m de dimension d .

2. Il existe un voisinage ouvert U de m dansRⁿet f :U→R^n−d de classeC¹ telle quedf(a)est surjective et :

x∈M∩U ⇐⇒ x∈U et f(x)=0 L’espace tangent en m est alorsT_mM=ker df(m).

3. Il existe un voisinage ouvert U de m dansRⁿ, un voisinage ouvertΩde0 dansR^d etϕ:Ω→Rⁿ de classeC¹telle queϕsoit un homéomorphisme de Ωsur U∩M ,ϕ(0)=a etdf(0)injective.

L’espace tangent en m est alorsTmM=Im dϕ(0).

Exemple 20. On se place dansMn(R).

1. SLn(R) est une sous-variété deMn(R) de dimensionn²−1. Son espace tan- gent en l’identité est l’ensemble des matrices de trace nulle.

2. O_n(R) est une sous-variétés deMn(R) de dimensionⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾. Son espace tan- gent en l’identité est l’ensemble des matrices antisymétriques.

3 Différentielle seconde

Définition 21. On dit que f est deux fois différentiable en a si l’application x 7→df(x) est différentiable en a. L’application d(df)(a)∈L¡

Rⁿ,L(Rⁿ,R^m)¢ s’identifie alors à une application bilinéaire deRⁿ dansR^m, notée d²f(a), ap- pelée différentielle seconde def ena.

On dit quef est de classe C²six7→df(x) est de classe C¹.

Proposition 22. Si f est deux fois différentiable en a alors d²f(a)(ei,ej) =

∂²f

∂xi∂xj(a)=_∂x^∂_j²_∂^f_xi(a)=d²f(a)(e_j,e_i).

On supposera dans la suite que m=1.

Définition 23. Si f est deux fois différentiable en a, on note H_f(a) =

£ _∂²f

∂xi∂xj(a)¤

i,j la matrice hessienne def au pointa. C’est la matrice de la forme bilinéaire d²f(a) dans la base canonique deRⁿ.

Application 24. SoientU un ouvert deC et soit f :U →Cholomorphe. Soit Γ: [0, 1]²→Ude classe C²et notonsγs(t)=Γ(s,t). Si l’une des deux conditions suivantes est satisfaite :

1. pour touts∈[0, 1],γs(0)=aetγs(1)=baveca,b∈U; 2. pour touts∈[0, 1],γsest un lacet ;

alorss7→R

γsf(z) dzest constante.

Proposition 25(formules de Taylor).

1. Si f est deux fois différentiable en a, alors : f(a+h)=f(a)+df(a).h+1

2d²f(a)(h,h)+o(khk²)

2. Si f est de classeC²sur U et si le segment[a,a+h]est contenu dans U , alors : f(a+h)=f(a)+df(a).h+

Z1 0

(1−t) d²f(a+t h)(h,h) dt

2

Proposition 26. Soit A₀une matrice symétrique inversible. Alors il existe une ap- plicationϕ:A7→M=ϕ(A)de classeC¹définie sur un voisinage V de A₀dans Sn(R)et à valeurs dansGL_n(R)telle que :

∀A∈V, A=^tM A₀M

Lemme 27(Morse). Soit U un ouvert deRⁿcontenant0et soit f :U→Rde classe C³. On suppose que0est un point critique non dégénéré de f :df(0)=0etd²f(0) est une forme quadratique non dégénérée, de signature(p,n−p). Alors il existeϕ un difféomorphisme entre deux voisinage de0dansRⁿtel queϕ(0)=0et :

f(x)−f(0)=ϕ1(x)²+ · · · +ϕp(x)²−ϕp+1(x)²− · · · −ϕn(x)²

Application 28. SoitS ={(x,y,z)∈R³|z = f(x,y)} où f est de classe C³au voisinage dea∈R². On suppose que d²f(a) est non dégénérée. Posonsδ(h)= f(a+h)−¡

f(a)+df(a).h¢

la différence d’altitude entreSet son plan affine tan- gent ena.

— Si d²f(a) est de signature (2, 0), alorsδ(h)>0 pour touth6=0 dans un voi- sinage de 0. AinsiSest au-dessus dePdans un voisinage de¡

a,f(a)¢ .

— Si d²f(a) est de signature (0, 2), alorsδ(h)<0 pour touth6=0 dans un voi- sinage de 0. AinsiSest en-dessous dePdans un voisinage de¡

a,f(a)¢ .

— Si d²f(a) est de signature (1, 1), alorsδ(h)=u(h)²−v(h)²au voisinage de 0 etStraverse son plan tangent enaselon une courbe admettant un point double en¡

a,f(a)¢ .

4 Optimisation

Définition 29. On dit queaest un point critique def si df(a) est nulle.

Proposition 30. Si f admet un extremum local en a, alors a est un point critique de f .

Proposition 31. Soit a un point critique de f .

1. Si a est un maximum local (resp. minimum local) de f , alorsd²f(a)est né- gative (resp. positive).

2. Sid²f(a)est définie négative (resp. définie positive), alors a est un maximum local (resp. minimum local) de f .

Exemple 32.

1. f(x,y)=x²−y³, la hessienne en (0, 0) est positive mais ce n’est pas un mi- nimum.

2. f(x)=x²+y⁴a un minimum en (0, 0) mais la hessienne en ce point n’est pas définie positive.

Théorème 33(Extrema liés). Soit U un ouvert deRⁿet soient f,g₁, . . . ,g_pdes fonc- tions de classeC¹de U dansR. On considère l’ensemble :

M={x∈U|g₁(x)= · · · =g_p(x)=0}

Soit m∈M , on suppose quedg₁(m), . . . , dg_p(m)sont linéairement indépendantes.

Si m est un extremum local de f sur M , alors il existe des réelsλ1, . . . ,λp tels que df(m)=λ1dg₁(m)+ · · · +λpdg_p(m).

Application 34(théorème spectral). Soituun endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Alors il existe une base orthonormée de vecteurs propres pour u.

Développements

1. Applications dont la différentielle est une isométrie.[13]

2. Lemme de Morse.[27]

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Références

— AVEZ,Calcul différentiel.

— BECK, MALICKet PEYRÉ,Objectif agrégation.

— GOURDON,Les maths en tête.

— ROUVIÈRE,Petit guide de calcul différentiel.

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