��� APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES DÉFINIES SUR UN OUVERT DE R
n. EXEMPLES ET APPLICATIONS.
I. Autour de la di�érentiabilité
[Rou��, Ch�, p��] [Gou��, §�.�, p���]I. A. F������-di�érentiabilité
Définition au sens deF������, unicité, lien avec la dérivée surR Cas d’une fonction linéaire, bilinéaire, constante, ...
Propriétés de linéarité, de composition, de continuité ClasseC1, cas d’unC1-di�éomorphisme
Di�érentielle du déterminant, d’une matrice puissancep, de l’inverse d’une matrice
I. B. Dérivées directionnelles et G������-di�érentiabilité
Définition,G������-di�érentiabilité
G������impliqueF������, mais la réciproque est fausse!æcontre-exemple
Caractérisation : une fonction estC1si et seulement si elle admet des dérivées partielles en tout point deUqui sont continues surU.
Gradient
I. C. Inégalités sur les applications di�érentiables
[Rou��, Ch�, p��] [Gou��, §�.�p���]
Inégalité de la moyenne, cas d’un ouvert convexe etf k-lipschitzienne Théorème des accroissements finis. Applications
II. Di�érentielle d’ordre quelconque
[Rou��, Ch�, p���]ClasseCk, théorème deS������(contre-exemple lorsque la fonction n’est pasC2) Formules deT�����
III. Théorèmes d’inversion locale/globale et des fonctions im- plicites
[Rou��, Ch�, p���] [Gou��, §�.�, p���]
TIL : on veut généraliser le fait que sifestC1et monotone surIµR, alorsf≠1estC1. Définition d’unCk-di�éomorphisme (local)
TIL (figure) : c’est une condition su�isante
Contre-exemple :f(u) =u+u2sin(fi/u)est dérivable de dérivée non nulle maisfn’est pas localement injective en0car elle n’est pasC1.
Applications :M ‘≠æ Mpest unC1-di�éomorphisme local enInæexistence d’une racine p-ième matricielle,expest unC1-di�éomorphisme local enIn
Exemple [Gou��, exo�, p���]
TIG, contre-exemple sansfinjective [Rou��]
Application : changement de variables en coordonnées polaires, calcul des
Rexp≠x2dx
Interprétation du rôle du jacobien comme limite d’un volume, en utilisant le TIL TFIExemple en dimension�[Gou��, p���]
Exemple :f(h, x) = (x≠a)(b≠x) +hx3. Pourhsu�isamment petit, on a trois zéros defdont on donne un développement asymptotique
Paramétrage du cercle. Exemple d’application à la recherche de0 Théorème : TFI et TIL sont équivalents
IV. Changement de coordonnées
[Rou��, Ch�, p���]Changement de coordonnées, application pour une EDP [Rou��, Ch�, Ex.��]
Immersion, submersion, rang constant Remarque : tout cela généralise le TIL
T��������. [����� ��M����]
Soitf : U ≠æ Rune fonction de classeC3définie sur un ouvertU deRncontenant0.
On suppose quedf(0) = 0etd2f(0)est non dégénérée, de signature(p, n≠p). Alors il existe unC1-di�éomorphismeÏentre deux voisinages de l’origine deRntel que„(0) = 0 etf(x)≠f(0) =Ï(x)21+· · ·+Ï(x)2p≠Ï(x)2p+1≠· · ·≠Ï(x)2nau voisinage de0.
V. Application à la recherche d’extremums
[Rou��, Ch�, p���] [Gou��,�.�/�, p���/���]
Conditions nécessaires du premier/deuxième ordre, liens avec la signature ded2f(a)(lien avec le lemme deM����)
T��������. [�������� ��� ������� ����]
Soitf, g1, . . . , gr:U µRn ≠æRdes fonctions de classeC1définies surUouvert.
Notons ={xœU|g1(x) =· · ·=gr(x) = 0}. Sif| admet un extremum local enaœ et si les formes linéaires(dg1(a), . . . , dgr(a))sont libres, alors il existe des réels (uniques)
⁄1, . . . ,⁄r, appelés multiplicateurs deL�������, tels que df(a) =
ÿr i=1
⁄idgi(a)
Application à la diagonalisation d’un endomorphisme symétrique en base orthonormée Inégalité deH�������
Sous-variétés : vers les extrema liés. Méthodes de gradient
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
Agrégation – Leçons ���– Applications di�érentiables définies sur un ouvert deRn. Exemples et applications.
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Interprétation des di�érents théorèmes (TIL, TFI). extrema ...
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Il n’est pas obligatoire de parler de sous-variétés.
Il faut expliquer les problèmes que l’on rencontre en dimension multiple : des caractérisations par les dérivées directionnelles ne su�isent pas car on peut approcher le point autrement qu’en suivant une droite! L’objectif de la di�érentielle est de ne pas avoir besoin de regarder ce qu’il se passe coordonnée par coordonnée
Le théorème du rang constant permet de faire le lien avec les sous-variétés.
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Q On posef(x, y) = q
nØ02≠na(nx)b(ny)oùa, bsontC1bornées et de dérivées bornées.
Montrer quefest di�érentiable.
R On montre quefconverge normalement et donc estC0(R2). Ses dérivées partielles existent et sont bornées et continues ... on en déduit quefestC1.
Q Soitf :S1≠æS1. On considèreF : (r,◊)≠ærf(◊).Fest-elle di�érentiable?
R SiF est di�érentiable, on aF(tr,ei◊) = treif(◊) = L(trei◊) +o(t), doncL(reif(◊)) = reif(◊)doncL=FetFest linéaire.
Pour queFsoit linéaire, on veutF(ei◊+ ei◊Õ) =F(ei◊) +F(ei◊Õ) = eif(◊)+ eif(◊Õ). C’est vrai sifest une isométrie, c’est-à-dire sif(◊) =±◊+◊0(+: rotations,≠: symétrie).
Q Ï:A‘≠æeTr(A)Aest-elle di�érentiable? Si oui calculer sa di�érentielle.
R ˆEijÏ(A) = eTr(A)Eijsii”=j,eTr(A)(A+Eij)sinon.
DoncdÏ(A)(H) = eTr(A)(H+q
ihiiA).
Q Soitf :]0,1[≠æRdérivable. Soitg(x, y) =
I f(x)≠f(y)
x≠y six”=y
fÕ(x)sinon . Montrer quegest di�é- rentiable enalorsquefest deux fois dérivable ena.
R On regarde les dérivées partielles pour intuiter la di�érentielle.
On peut introduireÏ(t) =f(t)≠f(a)≠(t≠a)fÕ(a)≠(t≠2a)2fÕÕ(a).
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[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�èmeédition,����.
[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
