MATRICES I – Ensemble des matrices et opérations
Dans toute cette partie,Kdésigne indifféremmentRouC, etnetpdésignent des entiers naturels non nuls.
1o) Définition et matrices particulières Définition 1 :
On définit unematriceM=(mi,j)1≤i≤n
1≤j≤p de taillen×pà coefficients dansKpar la donnée denp élé-
ments deK:m1,1,m1,2, . . .,m1,p,m2,1,m2,2, . . .,m2,p, . . .,mn,1,mn,2, . . .,mn,p.
On écrit une telle matrice sous la formeM=
m1,1 m1,2 . . . m1,j . . . m1,p
m2,1 m2,2 . . . m2,j . . . m2,p ... ... . .. ... . . . ... mi,1 mi,2 . . . mi,j . .. mi,p
... ... . .. ... . .. ... mn,1 mn,2 . . . mn,j . . . mn,p
←ieligne
↑ jecolonne On note aussi£
M¤
i,j=mi,jle coefficient de ligneiet colonnejdeM.
Définition 2 :
On note Mn,p(K) l’ensemble des matrices de taillen×pà coefficients dansK. Remarque : SiM∈Mn,p(K), on peut représenter cette matrice par lignes ou par colonnes :
M = ¡
C1 C2 . . . Cj . . . Cp ¢
où C1 =
m1,1
m2,1
... mi,1
... mn,1
, . . . Cp =
m1,p
m2,p
... mi,p
... mn,p
, et M =
L1
L2
... Li
... Ln
oùL1=¡
m1,1 m1,2 . . . m1,j . . . m1,p ¢
, . . .Ln=¡
mn,1 mn,2 . . . mn,j . . . mn,p ¢ .
Exemple 1 : A=
−1 2 0 4
1 2 2 6
−3 −2 1 0
∈M3,4(R).
Définition 3 :
On appellematrice nulledeMn,p(K) la matrice, notée 0Mn,p(K), dont tous les éléments sont nuls : 0Mn,p(K)=(0)1≤i≤n
1≤j≤p.
Cas particuliers de matrices : Définition 4 :
Toute matrice appartenant àM1,p(K) est appeléematrice ligne.
Toute matrice appartenant àMn,1(K) est appeléematrice colonne.
Lorsqu’il y a autant de lignes que de colonnes, on parle de matrice carrée : Définition 5 :
Toute matrice appartenant àMn,n(K) est appeléematrice carrée. On note Mn(K)=Mn,n(K) .
Exemple 2 : On définit lamatrice identité(ou unité)In deMn(K) par In=
1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... . .. ...
0 0 . . . 1
: on a pour tout
(i,j)∈££ 1,n¤¤2
, [In]i,j=δi,joùδi,j=
½ 1, sii=j;
0, sii6=j (symbole de Kronecker).
Définition 6 :
SoitM=(mi,j)1≤i≤n
1≤j≤n ∈Mn(K) :
– si∀j<i,mi,j=0, on dit queMest une matricetriangulaire supérieure.
– si∀i<j,mi,j=0, on dit queMest une matricetriangulaire inférieure.
– si∀j6=i,mi,j=0, on dit queMest une matricediagonale. On noteM=diag(m1,1,m2,2, . . .mn,n).
Exemple 3 : A =
2 2−i 3 −5
0 −1 0 1
0 0 1+i −2
0 0 0 i
est triangulaire supérieure,B=
2 0 0 0
2 0 0 0
3 −1 1 0
−5 1 −2 1
est triangulaire
inférieure,C=
−2 0 0
0 3 0
0 0 5
est diagonale.
2o) Opérations sur les matrices
a) Somme Définition 7 :
Soit (A,B)∈Mn,p(K)2. Lasommedes matricesAetBest la matrice deMn,p(K), notéeA+B, et définie par∀(i,j)∈££
1,n¤¤
×££ 1,p¤¤
,£ A+B¤
i,j=£ A¤
i,j+£ B¤
i,j:
a1,1 . . . a1,p
... . .. ... an,1 . . . an,p
+
b1,1 . . . b1,p
... . .. ... bn,1 . . . bn,p
=
a1,1+b1,1 . . . a1,p+b1,p
... . .. ... an,1+bn,1 . . . an,p+bn,p
.
Exemple 4 : Calculer la somme deA=
−1 5
2 1
0 1
etB=
3 −2
1 −1
−4 2
.
L’addition de deux matrices possède les mêmes propriétés que l’addition usuelle dansK(elle est commutative et associative et admet un élément neutre) :
Propriété 1 :
∀(A,B,C)∈Mn,p(K)3, A+0Mn,p(K)=A , A+B=B+A et (A+B)+C=A+(B+C) (on notera cette matrice A+B+C ).
Démonstration : Immédiate.
b) Produit Définition 8 :
SoitA∈Mn,p(K) etλ∈K. Leproduitde la matriceApar le scalaireλest la matrice deMn,p(K), notée λA, et définie par∀(i,j)∈££
1,n¤¤
×££ 1,p¤¤
,£ λA¤
i,j=λ£ A¤
i,j: λ
a1,1 . . . a1,p ... . .. ... an,1 . . . an,p
=
λa1,1 . . . λa1,p ... . .. ... λan,1 . . . λan,p
.
Exemple 5 : Calculer−iAoùA=¡
−2i 2 1+4i ¢ .
Les règles de calcul avec le produit par un scalaire sont les mêmes que dansK: Propriété 2 :
∀(A,B)∈Mn,p(K)2,∀(λ,µ)∈K2, on a : λ(A+B)=λA+λB , (λ+µ)A=λA+µA et λ(µA)=(λµ)A . Remarque : La matrice opposée de A est la matrice−A =(−1)A. On peut alors définir la différence de deux matrices : A−B=A+(−B).
Pour le produit de deux matrices, le principe est un peu plus compliqué : Définition 9 :
SoitA∈Mn,p(K) etB∈Mp,q(K). LeproduitdeAparBà droite est la matrice deMn,q(K), notéeA×B ouAB, et définie par∀(i,j)∈££
1,n¤¤
×££ 1,q¤¤
,£ AB¤
i,j=
p
X
k=1
£A¤
i,k
£B¤
k,j. Pour calculer le produit de deux matrices, on les présente de la façon suivante :
b1,1 . . . b1,q ... . .. ... ... bp,1 . . . bp,q
a1,1 . . . a1,p
... . . ... an,1 . . . an,p
c1,1 . . . c1,q
... . .. ... ... cn,1 . . . cn,q
=AB
Remarque :
– Pour pouvoir écrire un produit de matricesAB, il faut donc impérativement s’assurer au préalable que cette écriture est possible, c’est-à-dire être vigilant sur la taille des matrices.
– Pour effectuer le produit de matrices diagonales, il suffit de multiplier les coefficients diagonaux deux à deux.
Exemple 6 : Calculer le produit deA=
1 −1 −3 1
0 3 −2 0
−1 2 2 5
etB=
µ −4 2 3
1 0 1
¶ .
Remarque : Le produit d’une matrice ligne A∈M1,p(K) par une matrice colonneB∈Mp,1(K) est une matrice AB∈M1,1(K) (que l’on peut identifier à un scalaire).
De même que dansK, le produit d’une matrice carrée par elle-même se note à l’aide de puissances : Définition 10 :
∀A ∈ Mn(K) et ∀k ∈ N, on définit la matrice de Mn(K) Ak=A×A×. . .×A
| {z }
ktermes
, et par convention
A0=In . Remarque :
– Cela revient à dire que les matrices Ak sont définies par récurrence par A0 = A et ∀k ∈ N, Ak+1=Ak×A.
– SiAest diagonale,A=diag(a1,1,a2,2, . . .an,n), alors∀k∈N,Ak=diag³
a1,1k ,a2,2k , . . .akn,n´
. Attention, ceci est le seul cas où pour élever d’une matrice à l’exposantkil suffit d’élever chacun de ses coefficients à l’exposant k.
Cette notation est cohérente avec le cas des puissances surK: Propriété 3 :
∀A∈Mn(K)et∀(k,m)∈(N)2, Ak×Am=Ak+m et ³ Ak´m
=Akm .
La plupart (hélas pas toutes...) des propriétés du produit usuel sur K se retrouve pour le produit dans Mn,p(K)×Mp,q(K) :
Propriété 4 :
1o) ∀(A,B,C)∈Mn,p(K)×Mp,q(K)×Mq,r(K), A(BC)=(AB)C , matrice que l’on notera ABC (asso- ciativité).
2o) ∀λ∈K,∀(A,B)∈Mn,p(K)×Mp,q(K), (λA)B=A(λB)=λ(AB). 3o) ∀(A,B,C)∈Mn,p(K)ס
Mp,q(K)¢2
, A(B+C)=AB+AC (distributivité).
4o) ∀(A,B,C)∈¡
Mn,p(K)¢2×Mp,q(K), (A+B)C=AC+BC (distributivité).
5o) ∀A∈Mn,p(K), A×Ip=In×A=A , A×0Mp,q(K)=0Mn,q(K) et 0Mq,n(K)×A=0Mq,p(K) . Démonstration : On démontre 3o) et 5o) (uniquement le cas de la matrice identité).
Remarque : Les factorisations se font donc comme dansK, en n’oubliant pas de tenir compte de l’élément neutre qui a changé : siA∈Mn(K), alorsA2+A=A(A+In)=(A+In)A.
Attention :
– le produit de matrices n’est pas commutatif, tout simplement parce que si A ∈ Mn,p(K) et B∈Mp,q(K) avecn6=q, le produit AB est bien défini, alors que le produitB Ane l’est pas. Et même si ABetB Asont définis, on n’a pas forcémentAB=B A: examiner de près le casA=
µ 1 1 0 0
¶ etB=
µ 0 0 1 1
¶ . – le produit de matrices n’est pas intègre : pour toute matrice A∈Mn,p(K), on aA×0Mp,q(K)=0Mn,q(K)et 0Mq,n(K)×A=0Mq,p(K). En revanche, on peut avoir AB=0Mn,q(K)sans que A=0Mn,p(K) niB=0Mp,q(K): examiner de près le casA=
µ 1 −1 2 −2
¶ etB=
µ 2 3 2 3
¶
. Ceci implique qu’on ne peut pas « simplifier » dans une égalité de matrices :AB=ACn’implique pasB=C, et de mêmeB A=BCn’implique pasA=C. Le fait que la multiplication de matrices ne soit pas commutative pose également problème au niveau des identités remarquables : par exemple, (A+B)2=(A+B)(A+B)=A×A+B×A+A×B+B×B=A2+AB+B A+B2. Dans le cas oùAB=B A, on retombe sur l’identité remarquable connue surK:
Définition 11 :
On dit que les matrices carréesAetBcommutentsi AB=B A .
Exemple 7 : Pour toute matriceA∈Mn(K),AetIncommutent. Deux puissances quelconques deAcommutent d’après la propriété 3.
Dans ce cas, la formule du binôme peut s’appliquer : Théorème 1 :
(formule du binôme pour des matrices carrées qui commutent) Soit(A,B)∈³
Mn(K)´2
deux matrices qui commutent, et p∈N. Alors (A+B)p=
p
X
k=0
µ p k
¶
AkBp−k=
p
X
k=0
µ p k
¶
Ap−kBk .
Démonstration : Par récurrence, même démonstration que dansR.
Exemple 8 : SoitA∈Mn(K). On suppose que (A−In)3=0Mn(K). En écrivant judicieusementAcomme somme de matrices qui commutent, exprimerAppour toutp∈N, en fonction deA2,AetIn.
c) Inverse
Après avoir défini une multiplication de matrices, il est tentant de tenter de les diviser. Pour cela, l’étape intermé- diaire consiste à définir l’inverse. Pour le produit classique surK, un élémentλadmet un inverse ssi il est non nul, et son inverse est dans ce cas le scalaireµtel queλµ=1.
Procédons de même pour les matrices : l’élément neutre du produit (le 1 de l’égalité précédente) est cette fois la matrice identité. Une matrice A∈Mn,p(K) est inversible s’il existe une matriceBde taille à définir telle queAB=I oùI est la matrice carrée identité de taille à définir. Mais il faut également avoirB A=I : d’après les contraintes sur le produit de matrices, il faut queBsoit de taillep×n. Comme il est un peu gênant qu’une matrice et son inverse ne soit pas de même type (et que la matrice identité ne soit pas la même selon que l’on calculeAB ouB A), on ne peut avoir quen=p: l’inverse ne peut être défini que pour une matrice carrée.
Un dernier inconvénient demeure (ce serait trop beau...) : une matrice différente de la matrice nulle n’est pas forcément inversible, et même si aucun de ses coefficients n’est nul, elle peut ne pas être inversible : voir le cas A=
µ 1 1 1 1
¶ ...
Définition 12 :
SoitA∈Mn(K). On dit queAestinversibles’il existe une matriceB∈Mn(K) telle que AB=B A=In . SiAest inversible, la matriceBest appelée matriceinversedeA, et notéeA−1: A A−1=A−1A=In . Remarque : On déduit de la définition qu’une matrice et son inverse commutent.
Il n’existe malheureusement pas de critère simple permettant de savoir si une matrice est inversible ou non : le seul recours – pour le moment – est la définition.
Exemple 9 : Après avoir déterminé l’inverse de la matrice identité, revenons à l’exemple précédent pour prouver queA est inversible et déterminer son inverse. Un retour à l’exercice 2 de la feuille d’exercices sur les matrices nous conduit à constater– c’est un miracle – que la formule nous donnantMn permet de prouver que la matrice Mest inversible, et de déterminer son inverse.
Un cas particulier simple est celui des matrices diagonales : Propriété 5 :
Soit A=diag(α1,α2, . . . ,αn)une matrice diagonale deMn(K).
A est inversible ssi ∀k ∈ ££ 1,n¤¤
, αk 6= 0. Dans le cas où A est inversible, A−1 est diagonale et A−1=diag
µ 1 α1
, 1 α2
, . . . , 1 αn
¶ . Démonstration : Immédiat.
Remarque : On peut prouver un résultat similaire pour les matrices triangulaires : une matrice triangulaire (que ce soit supérieure ou inférieure) est inversible ssi aucun des termes de sa diagonale n’est nul.
Comme dans K, l’inverse d’une somme n’est pas la somme des inverses, mais il y a compatibilité avec le produit :
Théorème 2 :
Soit(A,B)∈(Mn(K))2deux matrices inversibles.
1o) ∀λ∈K∗,λA est inversible et (λA)−1= 1 λA−1 . 2o) AB est inversible et (AB)−1=B−1A−1 . 3o) A−1est inversible et ¡
A−1¢−1
=A .
Démonstration : La définition, rien que la définition et tout fonctionne.
Remarque :
– Attention donc à l’ordre des matrices dans l’inverse d’un produit : il s’inverse...
– L’inverse d’une matrice étant défini, on ne parle pas pour autant de division de matrices : le produit deA parB−1n’étant pas commutatif, on ne peut pas le noter A
B. On conserve par conséquent la notationAB−1 ouB−1A.
– L’inverse d’une matrice permet de « simplifier » dans une égalité : siAB=AC et siAest inversible, on peut multiplier à gauche parA−1, et l’on obtientB=C. Il en est de même siB A=C A(on multiplie à droite cette fois).
Corollaire 1 :
Soit A∈Mn(K)une matrice inversible. Alors∀k ∈N, Ak est inversible et ³ Ak´−1
=¡ A−1¢k
. On note cette matrice A−k: A−k=³
Ak´−1
=¡ A−1¢k
.
Remarque : Les propriétés sur les puissances entières (vues dans la propriété 3) s’étendent aux puissances néga- tives pour les matrices inversibles.
Exemple 10 : Revenons une dernière fois à l’exercice 2 pour prouver que la relation écrite s’étend naturellement àn∈Z.
d) Transposée Définition 13 :
SoitA∈Mn,p(K). La matricetransposéedeAest la matrice notéetAappartenant àMp,n(K) et définie par∀(i,j)∈££
1,p¤¤
×££ 1,n¤¤
,£t A¤
i,j=£ A¤
j,i.
Les lignes detAcorrespondent donc aux colonnes deA, et inversement.
Exemple 11 : Écrire la transposée des matrices
µ −1 6 4 5
2 4 0 1
¶ et
−2 0 0 0 1+3i 0
0 0 1
Propriété 6 :
1o) ∀A∈Mn,p(K), t¡tA¢=A . 2o) ∀(A,B)∈¡
Mn,p(K)¢2, t(A+B)=tA+tB . 3o) ∀λ∈K,∀A∈Mn,p(K), t(λA)=λtA . 4o) ∀(A,B)∈¡
Mn,p(K)×Mp,q(K)¢,t(AB)=tBtA .
5o) A∈Mn(K)est inversible si et seulement sitA est inversible et dans ce cas t¡ A−1¢
=¡t A¢−1
. 6o) ∀k∈N,∀A∈Mn(K), t³Ak´=¡t
A¢k
. Démonstration : Il n’y a qu’à écrire pour 1o), 2o) et 3o).
Pour 4o) : la définition du produit de matrices permet d’écrire les coefficients detBtA, qui devraient bien être les mêmes que ceux det(AB).
5o) se déduit de 4o), et une récurrence nous donne finalement 6o).
À l’aide de la transposée, on définit les matrices symétriques : Définition 14 :
Une matrice carréeA∈Mn(K) est ditesymétriquesitA=A. On noteSn(K) l’ensemble des matrices symétriques de taillenà coefficient dansK.
Exemple 12 : Une matrice symétrique s’est glissée dans les matrices suivantes, débusquez-la :A=
−3 1−i 2
1−i 0 1
2 1 4i
;B=
µ 0 −3
3 0
¶ .
Remarque : Il est évident queAest symétrique ssitAest symétrique.
La symétrie se reconnaît facilement sur les coefficients : Propriété 7 :
A∈Sn(K)⇐⇒ ∀(i,j)∈££ 1,n¤¤2
,£ A¤
i,j=£ A¤
j,i. De la propriété 6 on déduit :
Propriété 8 :
1o) ∀(A,B)∈(Sn(K))2,∀(λ,µ)∈K2,λA+µB∈Sn(K).
2o) Si A∈Sn(K)est inversible, alors A−1∈Sn(K).
Démonstration : Immédiat.
Remarque : On ne peut rien dire du produit de matrices symétriques. On peut juste donner une condition néces- saire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit symétrique (voir TD).
II – Retour sur les systèmes linéaires
1o) Traduction matricielle
On rappelle la définition vue précédemment, et on y ajoute une touche matricielle : Définition 15 :
Soit (ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p et (bi)1≤i≤ndes familles de réels. Unsystème linéaire denéquations àpinconnuesx1, x2, . . .,xpest un système de la forme :
(S)
a1,1x1+a1,2x2+. . .+a1,pxp=b1
a2,1x1+a2,2x2+. . .+a2,pxp=b2
... ... ... ...
an,1x1+an,2x2+. . .+an,pxp=bn
On dit queA=(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p ∈Mn,p(K) est la matrice associée au système, et queb=(bi)1≤i≤n∈Mn,1(K)
est le second membre.
En introduisant la matrice colonneX=(xj)1≤j≤p, (x1,x2, . . . ,xp) est solution de (S) ssi AX=b . Remarque : Si la matriceAest triangulaire, on dit que le système associé est un système triangulaire.
2o) Résolution
a) Aspects théoriques Propriété 9 :
Un système linéaire de n équations à n inconnues admet une solution unique si et seulement si la matrice qui lui est associée est inversible.
Démonstration : Si A est inversible, AX =b ⇐⇒X = A−1b donc la solution est unique. On admet que la ré- ciproque est vraie.
Remarque : Si un système admet une unique solution, il admet toujours une solution unique lorsqu’on change le second membre (l’unicité de la solution provient de la matriceA, peu importe le second membre).
b) Aspects pratiques
La méthode standard pour résoudre un système linéaire est la méthode du pivot de Gauss : elle a pour but de parvenir à un système échelonné, qui lui se résout facilement. Chercher à calculer l’inverse d’une matrice pour résoudre un système linéaire est une très mauvaise idée dans le cas général. Nous allons voir dans le paragraphe suivant qu’on adopte plutôt le point de vue inverse.
La notion de rang d’un système, qui s’obtient après réduction par la méthode du pivot, peut s’exporter aux matrices :
Définition 16 :
Soit A =(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p ∈Mn,p(K), et (S) le système linéaire défini par AX =0n : on appellerang de la
matriceAle rang du système (S) associé.
Remarque : Dans le système (S), on pourrait choisir n’importe quel second membre sans que cela ne change le rang, tout vient à nouveau de la matriceAet non du second membre. C’est pourquoi on peut déterminer le rang d’une matrice sans écrire de système, en effectuant directement les opérations élémentaires sur la matrice afin de l’échelonner : le rang de la matrice est alors le nombre de lignes non nulles (une fois la matrice échelonnée).
Exemple 13 : Rang de la matriceA=
−1 3 0 −5
0 1 −2 −4
2 1 −1 2
.
3o) Application au calcul de l’inverse d’une matrice
Si Aest inversible, la méthode du pivot de Gauss permet la détermination de l’inversibilité et le calcul pratique de l’inverse : Aest inversible ssiAX =b⇐⇒X =A−1b. Pour déterminerA−1, on va donc chercher à résoudre le système correspondant àAX=b, oùb=(bi)1≤i≤n: Aest inversible ssi ce système admet une solution unique et dans ce cas on obtientA−1en exprimant les solutionsx1, . . .,xnen fonction deb1, . . .,bn.
Exemple 14 : Inversibilité et inverse de A =
1 −1 0
0 2 −1
2 3 −2
etB =
0 −1 2
1 1 −1
−2 −1 0
: on doit trouver A−1=
−1 −2 1
−2 −2 1
−4 −5 2
.
Remarque : À l’aide de cette méthode du pivot de Gauss pour déterminer l’inversibilité d’une matrice, on en déduit un cas simple dans lequel on peut conclure que la matrice n’est pas inversible : si deux lignes sont propor- tionnelles, alors la méthode du pivot échouera à donner une solution unique, donc la matrice n’est pas inversible.
Puisqu’une matrice est inversible si et seulement si sa transposée l’est, le résultat précédent est également vrai sur les colonnes : si deux colonnes sont proportionnelles, alors la matrice n’est pas inversible. Ces cas ne sont pas les seuls, une matrice peut tout à fait ne pas être inversible sans avoir de colonnes – ni de lignes – proportionnelles.
Il est possible d’adopter une présentation simple qui évite d’avoir à recourir au second membreb=(bi)1≤i≤n : par une suite d’opérations élémentaires, on transforme la matriceAen la matrice identitéIn(c’est possible ssiA est inversible).
Si l’on applique les mêmes opérations élémentaires à chaque étape du calcul à la matriceIn, celle-ci se trans- forme devant nos yeux ébahis en une matrice qui n’est autre queA−1. Si la méthode échoue (impossibilité d’arriver à transformerAenIn), c’est que le système n’admet pas une solution unique, et donc que la matrice n’est pas in- versible.
Exemple 15 : Inversibilité et inverse deA=
1 1 1
1 i −1
1 −1 1
:on doit trouverA−1=
1−i 4
1
2 1+i
4
1/2 0 −1/2
1+i
4 −12 1−i4
.
Cas particulier : matrices carrées de taille 2. On part d’une matrice A =
µ a b c d
¶
∈M2(K) quelconque et on montre qu’elle est inversible ssiad−bc6=0 (en exprimantA2en fonction deAetI2par exemple).
Définition 17 : SoitA=
µ a b c d
¶
∈M2(K).
On appelledéterminantdeAle scalaire det(A) =
défad−bc =
notation
¯
¯
¯
¯ a b c d
¯
¯
¯
¯. Nous avons donc démontré précédemment le résultat suivant :
Propriété 10 :
A ∈ M2(K) est inversible ssi son déterminant est non nul. Dans ce cas, si A =
µ a b c d
¶ , alors A−1= 1
det(A)
µ d −b
−c a
¶ .
Exemple 16 : Inversibilité et inverse deA=
µ m−2 −5
4 m+2
¶
oùm∈C.
Application : Résolution générale d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues.
On considère le système
½ ax+b y=e
c x+d y=f où (a,b,c,d,e,f)∈K6. D’après ce qui précède, ce système admet une solution unique ssi la matrice A=
µ a b c d
¶
est inversible, soit ssi det(A)6=0. Dans ce cas, l’unique solution de AX=u, oùu=
µ e f
¶
s’écritX=A−1u. Après calcul, il vient la propriété suivante : Propriété 11 :
Soit (S) le système
½ ax+b y=e
c x+d y=f où(a,b,c,d,e,f)∈K6. On note A=¡
C1 C2 ¢
la matrice associée à (S), C1et C2étant les colonnes de A, et u=
µ e f
¶ .
Alors (S) admet une unique solution ssidet(A)6=0, et dans ce cas l’unique solution est donnée par x=
¯
¯ u C2 ¯
¯
det(A) =
¯
¯ u C2 ¯
¯
¯
¯ C1 C2 ¯
¯
et y=
¯
¯ C1 u ¯
¯ det(A) =
¯
¯ C1 u ¯
¯
¯
¯ C1 C2 ¯
¯ .
Exemple 17 : Résoudre
½ 2x−y=3
x+3y= −1 , et s’arranger pour trouverx=8
7ety= −5 7. Méthode 1 : Calcul de l’inverse d’une matrice A :
1o) Pour une matrice carrée de taille 2 : à l’aide du déterminant.
2o) Pour une matrice diagonale : immédiat !
3o) Si A possède 2 lignes (ou 2 colonnes) proportionnelles : non inversible.
4o) Recherche d’une matrice B telle que AB=B A=In: – s’appuyer sur l’énoncé ;
– cas particulier usuel : l’existence d’une relation entre In et certaines puissances de A permet de prouver l’inversibilité et de trouver l’inverse.
5o) Méthode du pivot de Gauss :
– par résolution d’un système linéaire ; – en s’appuyant sur la matrice identité.
