Devoir sur table 1
MP Clemenceau 2020 - 21 Samedi 5 septembre 2020
A) ´ Etude de deux applications
La notation IR2[X] d´esigne le IR-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. On identifiera dans la suite de ce probl`eme les ´el´ements de IR2[X] et leurs fonctions polynomiales associ´ees. On noteB = (1, X, X2) la base canonique de IR2[X]. On d´efinit les deux applications suivantes :
f :
IR2[X] −→ IR2[X]
P 7−→ 1 2
P
X 2
+P
X+ 1 2
et
ϕ : IR2[X] −→ IR P 7−→ P(1)
On rappelle aussi que l’on note f0 = IdIR2[X], et pour tout n∈IN∗, fn=f◦fn−1. 1) V´erifier quef est bien `a valeurs dans IR2[X] et montrer que f est lin´eaire.
2) Montrer que ϕ est lin´eaire.
3) Ecrire la matrice de´ f dans la base B de IR2[X], en indiquant les calculs interm´ediaires.
4) L’application f est-elle injective ? surjective ?
5) D´eterminer une base de Kerϕ. Quelle est la dimension de Kerϕ? 6) L’application ϕest-elle injective ? surjective ?
B) Calcul des puissances successives d’une matrice
On note I3 la matrice identit´e de M3(IR) et A la matrice
A=
1 14 18 0 12 14 0 0 14
.
Enfin, on note B0 la famille de IR2[X] d´efinie par
B0 = (1,−2X+ 1,6X2−6X+ 1).
7) Justifier que la famille B0 est une base de IR2[X].
1
8) Ecrire la matrice de passage´ Q de B `aB0.
9) Justifier que Q est inversible et calculer son inverse.
10) Ecrire la matrice´ M def dans la base B0 en donnant les calculs interm´ediaires.
11) Calculer An pour tout n∈N. On explicitera les neufs coefficients de An.
12) Pour n ∈Net P =a+bX +cX2 avec (a, b, c)∈IR3, d´eterminer fn(P) en fonction de a, b, c.
13) En d´eduire que
∀P ∈IR2[X], lim
n→+∞ϕ(fn(P)) = Z 1
0
P(t) dt
C) Une autre preuve du r´ esultat pr´ ec´ edent
14) A l’aide d’un raisonnement par r´` ecurrence, d´emontrer que
∀P ∈IR2[X], ∀n∈N∗, fn(P) = 1 2n
2n−1
X
k=0
P
X+k 2n
.
15) En d´eduire, en utilisant un r´esultat du cours d’analyse que l’on ´enoncera avec pr´ecision, que
∀P ∈IR2[X], lim
n→+∞ϕ(fn(P)) = Z 1
0
P(t) dt.
2
