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Examen compl´ements d’analyse 15 D´ecembre 2008

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Examen compl´ements d’analyse 15 D´ecembre 2008

Exercice 1 : Soit la fonction impaire et 2π p´eriodique, d´efinie sur ]0, π[

par

f(t) = πt−t2. Calculer sa s´erie de Fourier.

Calculer la somme P∞0 (2p+1)(−1)p3. Calculer P∞0 (2p+1)1 6, puisP∞1 p16. Exercice 2 :

Dans cet exercice, pour chacune des fonctions dont on demande de cal- culer la transform´ee de Fourier on montrera que la fonction est dansL1(IR).

On rappelle que la transform´ee de Fourier de e−|x| est 1+4π22x2. En d´eduire la transform´ee de Fourier de xe−|x| puis celle de x2e−π|x|. En d´eduire aussi la transform´ee de Fourier de 1+x1 2 puis celle de (1+xx2)2. Exercice 3 :

R´esoudre l’´equation diff´erentielle

y”−3y0+ 2y =tsinht Puis l’´equation

y(3)−3y”+ 3y0−y=e2t+et

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