Vecteurs – Feuille d’exercices
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Objectif 1 : maîtriser la notion de repère et de coordonnées de points
Exercice 1 :1) Dans le repère orthonormé (𝑂; 𝐼, 𝐽) ci-contre, lire les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
2) Placer les points 𝐷(1,5 ; 0), 𝐸(−0,5 ; 2) et 𝐹 4−56;567.
3) Quelles sont les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans le repère (𝐷; 𝐼, 𝐴) ?
Exercice 2 : on considère le plan muni d’un repère orthogonal (𝑂; 𝐼, 𝐽).
Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1. Si 𝐴 et 𝐵 deux points ayant les mêmes abscisses, alors la droite (𝐴𝐵) est parallèle à l’axe des abscisses.
2. Si 𝐴 et 𝐵 deux points ayant les mêmes abscisses, alors la droite (𝐴𝐵) est parallèle à l’axe des ordonnées.
3. Le triangle 𝑂𝐼𝐽 est un triangle isocèle rectangle.
4. Les points 𝐴(3; 2) et 𝐵(3; −2) sont symétriques par rapport à l’axe de abscisses.
5. Les points 𝐴(1; 2) et 𝐵(−1; −2) sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
Exercice A : changement de repères 1) On considère un repère (0; 𝐼, 𝐽).
a) Quelle est sa nature ? Justifier.
b) Donner les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵 dans ce repère.
c) Placer les points 𝐶(2; 2) et 𝐷(−3; 0).
2) On se place maintenant dans le repère (𝐴; 𝐽, 𝐶).
a) Quelle est sa nature ? Justifier
b) Dans ce repère, quelles sont les coordonnées des points 𝐴, 𝐽 et 𝐶 ? c) Quelles sont les coordonnées de 𝐷 ?
d) Placer le point 𝐸 de coordonnées (−4; 0).
Objectif 2 : maîtriser la notion de translation et de vecteurs
Exercice 3 :1. A partir de la figure, citer un vecteur : a) opposé à 𝐶𝐷;;;;;⃗.
b) de même direction et de même sens que 𝐴𝐶;;;;;⃗. c) de même direction que 𝐵𝐶;;;;;⃗ mais de sens contraire.
d) égal au vecteur 𝐵𝐴;;;;;⃗
2. Placer les points 𝐸, 𝐹, 𝐺 et 𝐻 images respectives du point 𝐴 par les translations de vecteurs suivants :
a) 𝑤;;⃗ b) 𝑣 c) 𝑝⃗ d) 𝑚;;⃗
3. Placer les points 𝐼, 𝐽, 𝐾 et 𝐿 images respectives du point 𝐵 par les translations de vecteurs suivants : a) 𝑟⃗ b) 𝑢;⃗ c) 𝑤;;⃗ d) 𝑚;;⃗
Exercice 4 : on a construit l’image 𝐴′𝐵′𝐶′ du triangle 𝐴𝐵𝐶 obtenue par la translation de vecteur 𝐴𝐵;;;;;⃗.
1. Citer deux vecteurs égaux à 𝐴𝐵;;;;;⃗. 2. Citer le vecteur égal à 𝐵𝐶;;;;;⃗.
3. Citer le représentant d’origine 𝐴′ du vecteur 𝐴𝐶;;;;;⃗.
Exercice 5 : soit 𝒕 la translation qui transforme 𝐴 en 𝐴′.
Construire l’image 𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ du trapèze 𝐵𝐶𝐷𝐸 par la translation 𝒕.
Exercice 6 : à partir de ce parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, construire à la règle et au compas les points 𝐸, 𝐹, 𝐺 et 𝐻 tels que :
𝐷𝐸;;;;;⃗ = 𝐵𝐶;;;;;⃗ 𝐶𝐹;;;;;⃗ = 𝐷𝐶;;;;;⃗
𝐶𝐺;;;;;⃗ = 𝐷𝐵;;;;;;⃗ 𝐻𝐴;;;;;;⃗ = 𝐵𝐶;;;;;⃗
A
D
B
C
Exercice 7 : sur la figure ci-contre, le polygone 𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁 est un hexagone régulier de centre 𝑂.
Dans le tableau ci-dessous entourer la ou les bonnes réponses :
Le vecteur 𝐼𝑁;;;;⃗ est égal au vecteur 𝐽𝑀;;;;;⃗ 𝑂𝐽;;;;⃗ 𝑂𝐾;;;;;;⃗ 𝑂𝑀;;;;;;⃗
La longueur 𝐼𝑁 est égale à la longueur 𝐽𝑀 𝑂𝐽 𝑂𝐾 𝑂𝑀
Le triangle 𝑂𝐼𝐽 a pour image le triangle 𝐿𝑂𝐾 par la translation
de vecteur 𝑁𝑀;;;;;;;⃗ 𝑂𝐼;;;;⃗ 𝑂𝐿;;;;;⃗ 𝐼𝐿;;;⃗
Lorsque l’on fait la translation de vecteur 𝑁𝐼;;;;⃗ suivie de la
translation de vecteur 𝐼𝑂;;;;⃗ on a fait la translation de vecteur 𝐼𝑀;;;;;⃗ 𝑁𝐾;;;;;;⃗ 𝑀𝐿;;;;;;⃗ 𝑁𝑂;;;;;;⃗
Objectif 3 : maîtriser la notion de coordonnées de vecteurs
Exercice 8 :1) Dans le repère (𝑂; 𝐼, 𝐽) ci-contre, placer des représentants des vecteurs :
𝑢;⃗(2; 2) 𝑣⃗(1; −3)
𝑤;;⃗(−2; 4) 𝑧⃗(−5; −2)
2) a) Déterminer par lecture graphique
les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐵;;;;;⃗, 𝐶𝐷;;;;;⃗ et 𝐸𝐹;;;;;⃗. b) Retrouver par le calcul les coordonnées de ces vecteurs.
c) Calculer les coordonnées des vecteurs 3𝐴𝐵;;;;;⃗, 4𝐶𝐷;;;;;⃗ et 3𝐴𝐵;;;;;⃗ − 4𝐶𝐷;;;;;⃗.
Exercice 9 : soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points donnés de coordonnées respectives (1; −2), (5; 3) et (4; −6) dans un repère du plan.
1) a) Comme 𝑥O = 1 et 𝑥P = 5, déterminer la valeur de 𝑥P− 𝑥O.
b) De même, comme 𝑦O = −2 et 𝑦P = 3, déterminer la valeur de 𝑦P− 𝑦O. c) En déduire les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵;;;;;⃗. On rappellera la formule du cours.
2) Calculer de la même manière les coordonnées de 𝐵𝐶;;;;;⃗.
Exercice B : coordonnées de vecteurs
Dans le repère ci-contre, on considère les vecteurs 𝑢;⃗, 𝑣⃗ et 𝑤;;⃗.
On donne aussi les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 de coordonnées respectives (3; −1), (5; 2) et (−6; 4).
a) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées des vecteurs 𝑢;⃗, 𝑣⃗ et 𝑤;;⃗. b) Calculer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵;;;;;⃗.
c) Déterminer les coordonnées du point 𝐷 tel que 𝐴𝐵;;;;;⃗ = 𝐶𝐷;;;;;⃗.
Exercice 10 : en sciences physiques, une force est représentée par un vecteur.
Un système est en équilibre lorsque la somme des forces qui s'exercent sur ce système est nulle.
a) Lire les coordonnées de 𝐹;;;⃗R, 𝐹;;;⃗6 et 𝐹;;;⃗5.
b) Calculer les coordonnées du vecteur 𝐹;;;⃗ + 𝐹R ;;;⃗ + 𝐹6 ;;;⃗5 c) Que peut-on en déduire pour ce système ?
Exercice 11 : dans un repère(𝑂; 𝐼, 𝐽), on donne les points 𝐴(−1; 2) et 𝐵(3; 4).
Le point 𝐶(1; 3) est-il le milieu de [𝐴𝐵] ? Justifier.
Exercice 12 : soient les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 tels que 𝐴(−2 ; 3), 𝐵(−5 ; −1) et 𝐶(−3,5 ; 1).
a) Construire un repère (𝑂; 𝐼, 𝐽) du plan et placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
b) Par lecture graphique, conjecturer les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐶;;;;;⃗ et 𝐶𝐵;;;;;⃗. c) Retrouver par le calcul les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐶;;;;;⃗ et 𝐶𝐵;;;;;⃗.
d) Que peut-on en déduire sur le point 𝐶 ?
Exercice 13 : dans un repère, on donne les points 𝑃(−3; 2), 𝑄(4; 3), 𝑅(6; −3) et 𝑆(−1; −4).
Démontrer que le quadrilatère 𝑃𝑄𝑅𝑆 est un parallélogramme.
Exercice 14 : dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points 𝐸(2; −1), 𝐹(−3; 4) et 𝐺(1; 4).
Déterminer les coordonnées du point 𝐻 pour que 𝐸𝐹𝐺𝐻 soit un parallélogramme.
Pour aller plus loin : le repère est orthonormal. Est-ce nécessaire ?
Exercice 15 : dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 de coordonnées respectives (1; 4), (4; 6) et (2; 3).
a) Placer ces trois points dans un repère orthonormé du plan.
b) Déterminer par le calcul les coordonnées du vecteur 𝐵𝐴;;;;;⃗.
c) Soit 𝐷 le point de coordonnées (𝑥Z; 𝑦Z). Montrer que 𝐶𝐷;;;;;⃗ a pour coordonnées [𝑥Z− 2 𝑦Z − 3\. d) Compléter la phrase : « 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme si et seulement si 𝐵𝐴;;;;;⃗ = ……..»
e) Comme deux vecteurs sont égaux ssi leurs coordonnées sont égales, montrer que 𝐵𝐴;;;;;⃗ = 𝐶𝐷;;;;;⃗ ⟺ ^−3 = 𝑥Z − 2
−2 = 𝑦Z − 3
f) En déduire les coordonnées du point 𝐷 pour que 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un parallélogramme.
Exercice 16 : soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points du plan.
a) Construire le point 𝐷 tel que 𝐴𝐵;;;;;⃗ = 𝐶𝐷;;;;;⃗. b) Construire le point 𝐸 tel que 𝐴𝐵;;;;;⃗ = 𝐸𝐶;;;;;⃗. c) Que peut-on dire du point 𝐸 ? Justifier.
Exercice 17 : dans un repère orthonormé, on considère les points 𝐴 4R6;657, 𝐵 42;5_7 et 𝐶 4−1;R67.
Les points 𝐵 et 𝐶 sont-ils symétriques par rapport à 𝐴 ? Justifier.
Objectif 4 : maîtriser les sommes et différences de vecteurs, maîtriser la relation de Chasles
Exercice 18 : sur le quadrillage ci-dessous, construire les vecteurs suivants :a) −𝐵𝐴;;;;;⃗
b) 𝐵𝐶;;;;;⃗ + 𝐶𝐷;;;;;⃗
c) 𝐵𝐴;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗
d) 𝐶𝐵;;;;;⃗ − 𝐵𝐴;;;;;⃗
e) 𝐷𝐶;;;;;⃗ − 𝐷𝐵;;;;;;⃗
Exercice C : construction de vecteurs (somme, différence, multiplication par un réel) Partie A : sur le quadrillage ci-contre, on donne
deux vecteurs 𝑢;⃗ et 𝑣⃗.
a) Construire un représentant du vecteur 𝑢;⃗ + 𝑣⃗
b) Construire un représentant du vecteur 𝑢;⃗ − 𝑣⃗
c) Construire un représentant du vecteur 3𝑢;⃗
d) Construire un représentant du vecteur −2𝑣⃗
Partie B : on considère le triangle 𝐴𝐵𝐶.
A la règle et au compas, construire les points 𝐷 et 𝐸 tels que :
a) 𝐵𝐷;;;;;;⃗ = 𝐵𝐴;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗
b) 𝐴𝐸;;;;;⃗ = 𝐴𝐶;;;;;⃗ − 𝐶𝐵;;;;;⃗
Exercice 19 :
a. Construire le point F tel que 𝐴𝐹;;;;;⃗ = 𝐵𝐴;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗. b. Construire le point R tel que 𝐹𝑅;;;;;⃗ = 𝐴𝐵;;;;;⃗ − 𝐶𝐴;;;;;⃗
Exercice 20 : en observant la figure ci-contre,
recopier et compléter les égalités vectorielles suivantes.
a) 𝐵𝐷;;;;;;⃗ = ⋯ 𝐵𝐴;;;;;⃗ donc 𝐵𝐴;;;;;⃗ = ⋯ 𝐵𝐷;;;;;;⃗
b) 𝐵𝐸;;;;;⃗ = ⋯ 𝐵𝐶;;;;;⃗ donc 𝐵𝐶;;;;;⃗ = ⋯ 𝐵𝐸;;;;;⃗
c) 𝐶𝐹;;;;;⃗ = ⋯ 𝐶𝐴;;;;;⃗ donc 𝐶𝐴;;;;;⃗ = ⋯ 𝐶𝐹;;;;;⃗
d) 𝐵𝐴;;;;;⃗ = ⋯ 𝐴𝐺;;;;;⃗ donc 𝐴𝐺;;;;;⃗ = ⋯ 𝐵𝐴;;;;;⃗
Exercice 21 : en utilisant les points de la figure, donner un vecteur égal à :
a) 𝐷𝐸;;;;;⃗ + 𝐻𝐼;;;;⃗ b) 𝐺𝐹;;;;;⃗ + 𝐶𝐵;;;;;⃗ c) 𝐴𝐽;;;;⃗ − 𝐸𝐼;;;;⃗ d) 𝐵𝐺;;;;;⃗ + 𝐺𝐻;;;;;;⃗ e) 𝐵𝐶;;;;;⃗ + 𝐶𝐵;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗
f) 𝐼𝐽;;;⃗ + 𝐶𝐹;;;;;⃗ + 𝐽𝐶;;;;⃗ + 𝐹𝐸;;;;;⃗ g) 𝐴𝐵;;;;;⃗ − 𝐶𝐵;;;;;⃗ h) 𝐻𝐹 − 𝐵𝐶;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;⃗;;;;;⃗ + 𝐶𝐷;;;;;⃗ i) 𝐵𝐷;;;;;;⃗ + 𝐼𝐻;;;;⃗ − 𝐵𝐻;;;;;;⃗ − 𝐹𝐷;;;;;⃗
Exercice 22 : sur la figure ci-contre : a) Déterminer les vecteurs égaux à 𝑢;⃗ et 𝑣⃗.
b) Construire les points 𝑃 et 𝑀 tels que : 𝐺𝑃;;;;;⃗ = 𝑢;⃗ et 𝐶𝑀;;;;;;⃗ = 𝑣⃗.
c) Construire le point 𝑁 tel que 𝐷𝑁;;;;;;⃗ = 𝑢;⃗ + 𝑣⃗.
d) Construire le point 𝑂 tel que 𝐸𝑂;;;;;⃗ = 𝑢;⃗ − 𝑣⃗
Exercice 23 : en utilisant la figure ci-contre, simplifier les égalités de vecteurs suivantes :
1) 𝐴𝐸;;;;;⃗ + 𝐸𝑂;;;;;⃗ = 2) 𝐴𝐷;;;;;⃗ + 𝐴𝐵;;;;;⃗ = 3) 𝐴𝑂;;;;;⃗ + 𝐹𝐶;;;;;⃗ = 4) 𝐵𝐷;;;;;;⃗ − 𝐵𝐶;;;;;⃗ = 5) 𝐴𝐸;;;;;⃗ + 𝑂𝐹;;;;;⃗ + 𝐷𝑂;;;;;;⃗ = 6) 𝑂𝐶;;;;;⃗ + 𝐵𝐴;;;;;⃗ − 𝑂𝐹;;;;;⃗ = 7) 𝐴𝐵;;;;;⃗ + 𝐶𝐷;;;;;⃗ = 8) 𝐴𝐶;;;;;⃗ + 𝑂𝐴;;;;;⃗ + 𝐹𝐴;;;;;⃗ =
Exercice 24 : simplifier les écritures grâce à la relation de Chasles :
a) 𝐴𝑀;;;;;;⃗ + 𝑀𝑁;;;;;;;⃗ = b) 𝑀𝑃;;;;;;⃗ + 𝐴𝑀;;;;;;⃗ = c) 𝑂𝑃;;;;;⃗ + 𝐾𝑂;;;;;;⃗ + 𝑁𝐾;;;;;;⃗ = d) 𝑀𝑁;;;;;;;⃗ + 𝑁𝑀;;;;;;;⃗ = e) 𝑀𝑂;;;;;;⃗ + 𝑃𝑀;;;;;;⃗ + 𝑂𝑃;;;;;⃗ = f) 𝐾𝑁;;;;;;⃗ − 𝑂𝑁;;;;;;⃗ + 𝑂𝐾;;;;;;⃗ =
Exercice 25 : simplifier au maximum les sommes suivantes grâce à la relation de Chasles : a) 𝐴𝑩;;;;;;⃗ + 𝑩𝑀;;;;;;;⃗ = b) 𝐷𝑪;;;;;⃗ + 𝑪𝐷;;;;;⃗ = c) 𝑴𝑃;;;;;;⃗ + 𝐴𝑴;;;;;;;⃗ = + = d) −𝑃𝐵;;;;;⃗ = 𝐵𝑃;;;;;⃗ donc 𝐴𝐵;;;;;⃗ − 𝑃𝐵;;;;;⃗ = + =
e) −𝐷𝐶;;;;;⃗ = donc 𝐷𝐶;;;;;⃗ − 𝐷𝐶;;;;;⃗ = + = f) −𝑆𝐾;;;;;⃗ = donc −𝑆𝐾;;;;;⃗ + 𝑀𝐾;;;;;;;⃗ = + =
Exercice 26 : démontrer que quels que soient les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸, on a : 𝐴𝐶;;;;;⃗ + 𝐵𝐷;;;;;;⃗ + 𝐶𝐸;;;;;⃗ + 𝐷𝐴;;;;;⃗ + 𝐸𝐵;;;;;⃗ = 0;⃗
Exercice 27 : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme. Démontrer que :
a) 𝐵𝐴;;;;;⃗ + 𝐷𝐴;;;;;⃗ = 𝐶𝐴;;;;;⃗ b) 𝐴𝐷;;;;;⃗ + 𝐶𝐵;;;;;⃗ = 0;⃗ c) 𝐷𝐶;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗ = 𝐴𝐶;;;;;⃗
Exercice 28 : soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallélogramme.
a) Faire un dessin à main levée.
b) Compléter : 𝐷𝐶;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗ = 𝐷 …;;;;;;;⃗ + … 𝐶;;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗ d’après la relation de ……….
= 0;⃗ + 𝐴𝐶;;;;;⃗ car ……….
= 𝐴𝐶;;;;;⃗
Exercice 29 : sur le schéma ci-dessous, un bateau est tombé en panne de moteur à l’approche d’une passe. Il n’est plus soumis qu’aux forces conjuguées du vent et du courant représentées par les vecteurs 𝑉𝐸;;;;;⃗ et 𝐶𝑂;;;;;⃗.
1. Construire le point 𝐴 tel que 𝐺𝐴;;;;;⃗ = 𝑉𝐸;;;;;⃗. 2. Construire le point 𝐵 tel que 𝐺𝐵;;;;;⃗ = 𝐶𝑂;;;;;⃗. 3. Construire le point 𝑇 tel que 𝐺𝑇;;;;;⃗ = 𝐺𝐴;;;;;⃗ + 𝐺𝐵;;;;;⃗.
4. a) Tracer la demi-droite [𝐺𝑇) qui indique la trajectoire de la dérive du bateau.
b) Cette embarcation va-t-elle s’échouer sur le récif ?
Exercice 30 : simplifier les expressions vectorielles suivantes : a) −5𝑢;⃗ + 2 × 3𝑢;⃗
b) 2𝑢;;;;⃗ − 5𝑣⃗ − 4𝑢;⃗ + 2𝑣⃗
c) −12𝑣⃗ + 𝑢;⃗ − 3 × 4𝑣⃗ − 𝑢;⃗
d) 2𝑢;⃗ + 3𝑣⃗ − 2(5𝑢;⃗ − 2𝑣⃗)
Exercice 31 : soient quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 quelconques du plan.
Montrer que 𝐴𝐷;;;;;⃗ + 𝐵𝐶;;;;;⃗ = 𝐴𝐶;;;;;⃗ + 𝐵𝐷;;;;;;⃗.
