Propriétés fonction exponentielle

Exercice 1 : Rappels :

1) Pour tout réel 𝑥, exp(𝑥) = 𝑒

2) Pour tout 𝑥 réel : (𝑒 )′= 𝑒 et 𝑒 > 0 1) Calculer la dérivée des fonctions suivantes : a) 𝑓(𝑥) = 𝑒 + 5𝑥 − 2

b) 𝑔(𝑥) = (𝑒 ) + 5𝑒 + 3 c) ℎ(𝑥) = √2𝑒 + 3

d) 𝑘(𝑥) =1 − 𝑒 1 + 𝑒

2) Etudier les variations de chacune de ces fonctions.

Corrigé :

a) 𝑓 (𝑥) = 𝑒 + 5 > 0

b) 𝑔 (𝑥) = 2 × (𝑒 ) × 𝑒 + 5𝑒 = 2(𝑒 ) + 5𝑒 > 0 c) ℎ (𝑥) = 2𝑒

2√2𝑒 + 3= 𝑒

√2𝑒 + 3> 0

d) 𝑘′(𝑥) =(1 − 𝑒 ) (1 + 𝑒 ) − (1 + 𝑒 ) (1 − 𝑒 )

(1 + 𝑒 ) =−𝑒 (1 + 𝑒 ) − 𝑒 (1 − 𝑒 ) (1 + 𝑒 )

=−𝑒 − (𝑒 ) − 𝑒 + (𝑒 )

(1 + 𝑒 ) = −2𝑒

(1 + 𝑒 ) < 0

2) Les trois premières fonctions sont strictement croissantes sur ℝ et la quatrième strictement décroissante.

Exercice 2 : Rappels :

Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 et tout entier relatif 𝑛 on a : 1) 𝑒 = 𝑒 × 𝑒

2) 𝑒 =

4) 𝑒 = 5) 𝑒 = [𝑒 ]

1) Simplifier les écritures suivantes : a) 𝐴(𝑥) = 𝑒 × 𝑒

b) 𝐵(𝑥) =𝑒 𝑒

c) 𝐶(𝑥) =(𝑒 ) × (𝑒 ) (𝑒 )

2) Étudier la parité des fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒

(𝑒 + 1) et 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒 (𝑒 + 1)

Corrigé :

1) a) 𝐴(𝑥) = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒^{( ) ( )} = 𝑒 = 𝑒

b) 𝐵(𝑥) =𝑒

𝑒 = 𝑒 ^{( )} = 𝑒 = 𝑒

c) 𝐶(𝑥) =(𝑒 ) × (𝑒 )

(𝑒 ) =𝑒 ^{( )}× 𝑒 ^{( )}

𝑒 ^{( )} =𝑒 × 𝑒

𝑒 = 𝑒

𝑒 = 𝑒

𝑒

= 𝑒^{( ) ( )} = 𝑒 = 𝑒

2) Pour tout 𝑥 réel : 𝑓(−𝑥) = 𝑒

(𝑒 + 1) = 1 𝑒 1 𝑒 + 1

=

1 𝑒 1 + 𝑒

𝑒

= 1 𝑒 (1 + 𝑒 )

(𝑒 )

= 1

𝑒 × (𝑒 )

(1 + 𝑒 ) = 𝑒

(𝑒 + 1) = 𝑓(𝑥) Donc la fonction 𝑓 est paire.

𝑔(−𝑥) = −𝑥𝑒

(𝑒 + 1) = −𝑥𝑓(−𝑥) = −𝑥𝑓(𝑥) = −𝑥𝑒

(𝑒 + 1) = −𝑔(𝑥) Donc la fonction 𝑔 est impaire.