Comment montrer qu’une matrice carrée est inversible ?
1) 𝐴 ∈ ℳ (ℝ) est inversible ⇔ il existe une matrice 𝐵 ∈ ℳ (ℝ) telle que 𝐴 × 𝐵 = 𝐼
Exemples :
a) Si 𝐴 ∈ ℳ (ℝ) vérifie 𝐴 = 𝐼 alors 𝐴 × 𝐴 = 𝐼 : 𝐴 est inversible et égale à son inverse.
b) Si 𝐴 ∈ ℳ (ℝ) vérifie 𝐴 − 3𝐴 + 5𝐼 = 0 alors :
𝐴 − 3𝐴 + 5𝐼 = 0 ⇔ 𝐴 − 3𝐴 = −5𝐼 ⇔ − (𝐴 − 3𝐴) = 𝐼
⇔ −1
5𝐴(𝐴 − 3𝑰𝒏) = 𝐼 ⇔ 𝐴 ×−1
5 (𝐴 − 3𝑰𝒏) = 𝐼 𝐴 est inversible et son inverse est 𝐴 =−1
5 (𝐴 − 3𝑰𝒏)
Remarque : En règle générale, un polynôme annulateur d’une matrice 𝐴 dont le terme constant est non nul donnera une expression de l’inverse de la matrice 𝐴 .
2) C’est la matrice d’une application linéaire bijective.
3) C’est la matrice d’une base.
4) 𝐴 ∈ ℳ (ℝ) est inversible ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑛
5) 𝐴 ∈ ℳ (ℝ) est inversible ⇔ 0 n est pas valeur propre de 𝐴.
6) Enfin, si aucune des méthodes précédentes n’est applicable, il reste toujours les méthodes de calcul classique : Pivot de Gauss ou méthode de Gauss-Jordan…
7) Cas particulier des matrices carrées d’ordre 2 : 𝐴 = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 est inversible si et seulement si 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 et dans ce cas :
𝐴 = 1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
Remarque : le nombre 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 est appelé déterminant de 𝐴 et noté det (𝐴).
