Applications linéaires
Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 22,25 février 2016
1 Applications linéaires
1.1 Dénitions
Définition 1.1 (Applications linéaires). Soit (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels. Une application linéaire de (E,+E,•E) dans (F,+F,•F) est une fonction φ de E dans F qui vérifie les deux propriétés suivantes :
1. (additivité) ∀u, v∈E, on a :φ(u+Ev) =φ(u) +Fφ(v); 2. (homogénéité)∀λ∈K,∀u∈E, on a :φ(λ•Eu) =λ•Fφ(u).
L’ensemble des applications linéaires de(E,+E,•E)dans(F,+F,•F)est noté L(E, F).
Définition 1.2(Homomorphismes).Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. Une application linéaire de(E,+,•) dans(E,+,•)dans lui même est appelée un homomorphisme.
L’ensemble des homomorphismes de(E,+,•)est noté L(E).
Définition 1.3 (Isomorphismes). Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
L’ensemble des isomorphismes entre un espace vectoriel(E,+E,•E)et un autre(F,+F,•F)est noté Isom(E, F).
Définition 1.4 (Automorphismes). Un automorphisme est un homomorphisme bijectif. L’ensemble des automorphismes d’un espace linéaire (E,+,•)est notéGL(E).
Définition 1.5 (Forme linéaire). Une application linéaire d’un espace dans l’espace(K,+,·)est appelée une forme linéaire.
Exemple 1.1. Soient(E,+E,•E)et (F,+F,•F)deux K-espaces vectoriels. Alors la fonctionφ deE dans F qui associe à tout vecteur u∈E le vecteur0F est une application linéaire.
Preuve Soient (E,+E,•E)et (F,+F,•F) deuxK-espaces vectoriels. Alors la fonction φdeE dansF qui associe à tout vecteuru∈E le vecteur0F.
— φest une fonction deE dansF.
— Soient u, v ∈ E. On a : φ(u+Ev) = 0F, puis0F = 0F+F 0F, et 0F+F 0F =φ(u) +F φ(v). Donc φ(u+Ev) =φ(u) +Fφ(v).
— Soient u ∈ E et λ ∈ K. On a : φ(λ•E u) = 0F, puis 0F = λ•F 0F, etλ•F 0F = λ•φ(u). Donc φ(λ•Eu) =λ•F φ(u).
2
Exemple 1.2. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. Alors la fonction IdE est un automorphisme de E.
Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.
— La fonctionId est une fonction deE dansE.
— Soit u∈E,v∈E,
on a :IdE(u+v) =u+v; orIdE(u) =uetIdE(v) =v. etλ∈K; doncIdE(u+v) =IdE(u) +IdE(v).
— Soit u∈E et soitλ∈K,
on a :IdE(λ•u) =λ•u; or IdE(u) =u;doncIdE(λ•u) =λ•IdE(u).
DoncIdE∈ GL(E).
2
Exemple 1.3. La fonctionφdéfinie par : φ :
(
K2 →K2 (x, y) 7→(y, x)
est un automorphisme de (K2,+,. •). Exemple 1.4. La fonctionφdéfinie par :
φ : (
K2 →K (x, y) 7→x+ 2·y est une forme linéaire de K2.
Exemple 1.5. La fonction diff définie par :
diff :
D(R) → F(R) f 7→
R →R t 7→ δf(t)
δt ,
est une application linéaire de l’espace des fonctions dérivables deRdansRmuni de l’addition et du produit externe point à point, dans l’espace des fonctions deRdansRmuni de l’addition et du produit externe point à point.
Exemple 1.6. SoitI un intervalle de R. La fonctionR
I de l’espace des fonctions deI dans Rintégrables muni de l’addition et du produit externe point à point dans l’espace(R,+,·), et qui associe à toute fonction f ∈ F(I,R) intégrable, le réelR
If, est une application linéaire.
Exemple 1.7. Toute fonctionφ deQdansQ, qui vérifieφ(q+q0) =φ(q) +φ(q0)est une forme linéaire.
Preuve
à faire en exercice 2
Propriété 1.1. Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels et φune fonction de EdansF.
Alorsφ(0E) = 0F.
Preuve Soit(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels.
On a0E= 0•E0E. Puisφ(0E) =φ(0•E0E).
Et par la définition 1.1.(2),φ(0E) = 0•F φ(0E).
Puis 0•Fφ(0E) = 0F. Doncφ(0E) = 0F. 2
Propriété 1.2. Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels et φune fonction de EdansF.
Soitu∈E, Alorsφ(−Eu) =−Fφ(u).
Preuve Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels etφune fonction deEdansF. Soit u∈E.
Puis, on au+E(−Eu) = 0E.
Or, commeu+E(−u) = 0E et par la propriété 1.1,φ(u+E(−Eu)) = 0F. D’autre part, par la définition 1.1.(1), on a :φ(u+E(−Eu)) =φ(u) +Fφ(−Eu).
D’où :φ(u) +F φ(−Eu) = 0F. Donc,−Fφ(u) =φ(−Eu).
2
Propriété 1.3. Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et φ une fonction de E dans F. Alorsφest une application linéaire de(E,+E,•E)dans(F,+F,•F)si et seulement si, pour tout scalaire λ∈K, tout couple de vecteurs(u, v)∈E2, on a :φ(u+Eλ•Ev) =φ(u) +Fλ•Fφ(v).
Preuve Soient(E,+E,•E)et (F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels. Soitφune fonction deE dansF.
— (⇒)On suppose queφest une application linéaire.
Soitu, v∈E etλ∈K.
Par la définition 1.1.(1), on a :φ(u+Eλ•Ev) =φ(u) +Fφ(λ•Ev).
Par la définition 1.1.(2), on a :φ(λ•Ev) =λ•F φ(u).
Puis,φ(u+Eλ•Ev) =φ(u) +Fλ•F φ(v).
— (⇐)On suppose queφsatisfaitφ(u+Eλ•Ev) =φ(u) +F λ•Fφ(v), pour toutu, v∈E etλ∈K. 1. Soientuetv deux vecteurs deE.
On a v= 1•Ev.
Puis,φ(u+Ev) =φ(u+E1•Ev).
Puis par hypothèse, φ(u+E1•Ev) =φ(u) +F1•Fφ(v).
Or φ(v) = 1•Fφ(v).
Puis,φ(u) +F1•F φ(v) =φ(u) +Fφ(v).
Donc,φ(u+Ev) =φ(u) +F φ(v).
2. Soitu∈E un vecteur et soitλ∈Kun scalaire.
On a : λ•Eu= 0E+Eλ•Eu.
D’où, φ(λ•Eu) =φ(0E+Eλ•Eu).
Puis, par hypothèse,φ(0E+Eλ•Eu) =φ(0E) +Fλ•Fφ(u).
Puis, par la propriété 1.1, on aφ(0E) = 0F. Donc,φ(0E+Eλ•Eu) = 0F+F λ•Fφ(u).
Or par la définition??.(??),0F+Fλ•Fφ(u) =λ•Fφ(u).
Puis,φ(λ•Eu) =λ•F φ(u).
2
Propriété 1.4. Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deux K-espaces vectoriels etφ∈ L(E, F)une application linéaire de(E,+E,•E)dans(F,+F,•F). Alors,φest injective si et seulement si pour tout vecteuru∈Etel queφ(u) = 0F, on a :u= 0E.
Preuve Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et φ ∈ L(E, F) une application linéaire de(E,+E,•E)dans(F,+F,•F).
— (⇒) On suppose queφest injective.
Soitu∈E tel que φ(u) = 0 .
On a doncx∈E et0E ∈E etφ(u) =φ(0E).
Puis commeφest injective,u= 0E.
— (⇐) On suppose que pour toutu∈E tel queφ(u) = 0F, on a : u= 0E. Montrons queφest injective :
Soientx, y∈E tels que φ(x) =φ(y). On a :φ(x)−Fφ(y) = 0F. Puis, par la propriété 1.2,−Fφ(y) =φ(−Ey).
Donc,φ(x) +Fφ(−Ey) = 0F.
Puis, par la définition 1.1.(1),φ(x−Ey) = 0F. Donc par hypothèse,x−Ey= 0E.
Puisx=y.
2
Propriété 1.5. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. AlorsGL(E)est un groupe pour la composition.
Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.
— Montrons que la composition◦ est une loi interne surGL(E). Soitφ, ψ∈ GLE.
— φ◦ψ est une fonction deE dansE comme composition de fonctions deE dansE.
— φ◦ψ est une bijection comme composition de bijections.
— Soientu∈E,v∈E, etλ∈K, on a :
[φ◦ψ](u+λ•v) =φ(ψ(u+λ•v)(par définition de la composition)
[φ◦ψ](u+λ•v) =φ(ψ(u)) +λ•φ(ψ(v))) (par la propriété 1.3)
[φ◦ψ](u+λ•v) = [φ◦ψ](u) +λ•[φ◦ψ](v) (par définition de la composition) Puis, par la propriété 1.3, la fonction φ◦ψest une application linéaire.
Doncφ◦ψ∈ GLE.
— Soit φ, ψ, ξ∈ GL(E).
Montrons que[φ◦ψ]◦ξ=φ◦[ψ◦ξ].
[φ◦ψ]◦ξetφ◦[ψ◦ξ]sont deux fonctions deE dansE.
De plus, pouru∈E, on a :
[[φ◦ψ]◦ξ](u) = [φ◦ψ](ξ(u)) [[φ◦ψ]◦ξ](u) =φ(ψ(ξ(u))) [[φ◦ψ]◦ξ](u) =φ([ψ◦ξ](u)) [[φ◦ψ]◦ξ](u) = [φ◦[ψ◦ξ]](u) Donc[φ◦ψ]◦ξ=φ◦[ψ◦ξ].
— D’après l’exemple 1.2, la fonctionIdE∈ GL(E). De plus, on sait que :φ∈ GL(E), on a :φ◦IdE=φ etIdE◦φ=φ.
— Soit φ∈ GL(E). On aφ◦φ−1=IdE et φ−1◦φ=IdE. Montrons queφ−1∈ GL(E).
— φ−1 est une bijection de E dansE.
— Soitu∈F, soit v∈F et soitλ∈K. On a :
φ−1(u+λ•v) =φ−1(φ(φ−1(u)) +λ•φ(φ−1(v))) carφ◦φ−1=IdE
φ−1(u+λ•v) =φ−1(φ(φ−1(u) +λ•φ−1(v))) par la propriété 1.3 φ−1(u+λ•v) =φ−1(u) +λ•φ−1(v) carφ−1◦φ=IdE
2
Propriété 1.6. Soient (E,+E,•E)et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels. Alors l’ensemble des applica- tions linéaires de(E,+E,•E)dans (F,+F,•F), muni de la somme +F point à point et du produit externe
•F point à point, est un espace vectoriel.
Preuve Soient (E,+E,•E)et (F,+F,•F)deux K-espaces vectoriels. Montrons que(L(E, F),+.F,•.F) est un sous-espace vectoriel de(F(E, F),+.F,•.F).
— Par l’exemple ??,(F(E, F),+.F,•.F)est unK-espace vectoriel.
— On a :L(E, F)⊆ F(E, F).
— Par l’exemple 1.1, la fonction constante de E dans F, qui à tout élément u∈E associe0F est une application linéaire deE dansF.
— Soientφ, ψ∈ L(E, F).
φ+.F ψest une fonction deE dansF.
De plus, pouru, v∈E etλ∈K, on a :
[φ+.F ψ](u+Eλ•Ev) =φ(u+Eλ•Ev) +Fψ(u+Eλ•Ev)
[φ+.F ψ](u+Eλ•Ev) =φ(u) +F λ•Fφ(v) +Fψ(u) +F λ•Fψ(v) (par la propriété 1.3) [φ+.F ψ](u+Eλ•Ev) =φ(u) +F ψ(u) +Fλ•F(φ(v) +Fψ(v))
[φ+.F ψ](u+Eλ•Ev) = [φ+.F ψ](u) +Fλ•F[φ+.F ψ](v)
— Soit φ∈ L(E, F)etλ∈K,λ•.F φest une fonction deE dansF. De plus, pouru, v∈E etµ∈K, on a :
[λ•.F φ](u+Eµ•Ev) =λ•.F φ(u+Eµ•Ev)
[λ•.F φ](u+Eµ•Ev) =λ•.F (φ(u) +Fµ•Fφ(v)) (par la propriété 1.3) [λ•.F φ](u+Eµ•Ev) =λ•F φ(u) +Fµ•F(λ•F (φ(v)))
[λ•.F φ](u+Eµ•Ev) = [λ•.F φ](u) +Fµ•F[λ•.F φ](v)
DoncL(E, F)est un sous-espace vectoriel deF(E, F). Puis, d’après la propriété??,L(E, F)est unK-espace vectoriel.
2
1.2 Image des familles de vecteurs
Propriété 1.7. L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est une famille libre.
Preuve Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels, soit φ une application linéaire injective entre(E,+E,•E)et (F,+F,•F), soientI un ensemble et(ui)i∈I ∈EI une famille libre d’éléments deE indexée parI.
Soit J ⊆ I un sous-ensemble fini de I et (λj)j∈J ∈ FJ une famille de scalaires indexée par J et tel que P
j∈Jλj•Fφ(uj) = 0F. On a, par linéarité,φ(P
j∈Jλj•Euj) = 0F. Puis par la propriété 1.1,P
j∈JλJ•Euj= 0E. Puis par la définition??, pour toutj∈J,λj= 0.
Donc la famille(φ(ui))i∈I est libre.
2
Propriété 1.8. Une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels (E,+E,•E) et (F,+F,•F) est injective si et seulement si l’image de toute famille libre (deE) est une famille libre (deF).
Preuve Soient(E,+ ,• )et (F,+ ,• )deux K-espaces vectoriels. Soitφ∈ L(E, F)une application
— (⇒) On suppose queφest injective.
SoitIun ensemble et(ui)i∈I ∈EI une famille libre.
Alors par la propriété 1.7,(φ(ui))i∈I est une famille libre deF.
— (⇐) On suppose que, pour tout ensembleIet toute famille libre(ui)i∈I ∈EI d’éléments deEindexée parI, la famille(φ(ui))i∈I est libre.
Montrons queφest injective.
Soientu∈E tels queφ(u) = 0F. Il faut montrer queu= 0E. Par l’absurde, on suppose queu6= 0E.
La famille(u)serait donc une famille libre.
Puis par hypothèse, la famille(φ(u))serait une famille libre.
Puis, par la propriété??,φ(u)6= 0F (ce qui est absurde).
Doncu= 0E. 2
Propriété 1.9. Si l’image d’une base par une application linéaire est libre, alors cette application linéaire est injective.
Preuve
à faire en exercice 2
Propriété 1.10. L’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective est une famille génératrice.
Preuve Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels, soit φ une application linéaire surjective entre(E,+E,•E)et (F,+F,•F), soientI un ensemble et(ui)i∈I ∈EI une famille génératrice de E indexée parI.
Soitu∈F.
Commeφest surjective, prenonsv∈E tel que u=φ(v).
Comme (ui)i∈I est une famille génératrice de E, il existe un sous-ensemble fini J ⊆ I et une famille (λj)j∈J∈KI de scalaires indexée parJ, telle queP
j∈Jλj•Euj =v.
Puisφ(P
j∈Jλj•Euj) =φ(v).
D’oùu=P
j∈Jλj•F φ(uj).
Ainsi,(φ(ui))i∈I est une famille génératrice de F.
2
Propriété 1.11. Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels etφ∈ L(E, F)une application linéaire entreE etF. Alors les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. φest surjective ;
2. L’image de chaque famille génératrice de(E,+E,•E)est une famille génératrice de(F,+F,•F); 3. Il existe une famille génératrice de(E,+E,•E)dont l’image est une famille génératrice de(F,+F,•F).
Preuve Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et φ ∈ L(E, F) une application linéaire entreE etF.
— (1.⇒2.) D’après la propriété 1.10, siφest surjective, alors l’image de chaque famille génératrice de (E,+E,•E)est une famille génératrice de(F,+F,•F).
— (2.⇒3.) On suppose que l’image de chaque famille génératrice E est une famille génératrice deF. La famille(u)u∈E est une famille génératrice deE, donc son image est une famille génératrice deF.
— (3.⇒1.) On suppose qu’il existe une famille(ui)i∈I ∈EI génératrice de E indexée par un ensemble I, telle que la famille(φ(ui))i∈I soit une famille génératrice deF.
Montrons queφest surjective.
Soitu∈F,
(φ(ui))i∈I est une famille génératrice de F.
Donc soitJ un sous-ensemble fini deI et (λj)j∈J ∈KJ une famille de scalaires indexée parJ et tel que u=P
j∈Jλj•Fφ(uj).
On a donc, par linéarité,u=φ(P
j∈Jλj•Fuj).
Ainsiφest surjective.
2
Théorème 1.1. Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deux K-espaces vectoriels etφ∈ L(E, F)une application linéaire entreE etF. On suppose, de plus, qu’il existe une base deE1. Alors les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. φ∈Isom(E, F);
2. L’image de chaque base de(E,+E,•E)est une base de(F,+F,•F); 3. Il existe une base de(E,+E,•E)dont l’image est une base de (F,+F,•F).
Preuve Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et φ ∈ L(E, F) une application linéaire entreE etF. On suppose que(E,+E,•E)admet une base.
— (1.⇒2.) On suppose queφest bijective.
Soit(ui)i∈I une base deE indexée par un ensembleI.
La famille(ui)i∈I est libre etφest injective. Donc par la propriété 1.7, la famille(φ(ui))i∈I est libre.
De plus, la famille(ui)i∈Iest génératrice etφest surjective. Donc la propriété 1.10, la famille(φ(ui))i∈I
est génératrice.
Ainsi, la famille(φ(ui))i∈I est une base.
— (2.⇒3.) On suppose que l’image de chaque base de(E,+E,•E)parφest une base de(F,+F,•F).
Or on a supposé qu’il existait une base de(E,+E,•E). Donc il existe une base de(E,+E,•E) dont l’image parφest une base de(F,+F,•F).
— (3. ⇒1.) On suppose qu’il existe une base (bi)i∈I ∈ EI de(E,+E,•E)indexée par un ensemble I, telle que la famille(φ(bi))i∈I soit une base de(F,+F,•F). Montrons que φest un isomorphisme.
— La famille(bi)i∈Iest génératrice de(E,+E,•E)et la famille(φ(bi))i∈Iest génératrice de(F,+F,•F), donc par la propriété 1.11,φest une fonction surjective.
Montrons queφest injective.
— Soitu∈E, tel queφ(u) = 0F.
Comme (bi)i∈I est une famille génératrice, on peut choisir K un sous-ensemble fini de I et (λk)k∈K ∈KK une famille de scalaires indexée parK, tel queu=P
k∈Kλk•F bk. Puisφ(u) =φ(P
k∈Kλk•Fbk).
Puis0F =P
k∈Kλk•Fφ(bk).
Or (φ(bi))i∈I est une famille libre, donc pour k∈K,λk= 0.
Or u=P
k∈Kλk•Ebk, puisu= 0E. Doncu= 0E et φest injective.
Puisφest un isomorphisme entre(E,+E,•E)et(F,+F,•F).
2
1. C'est toujours vrai, mais on ne l'a prouvé que si(E,+E,•E)admet une famille génératrice nie.
Théorème 1.2. Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et φ ∈ L(E, F). Soit I un ensemble d’indices et(ui)i∈I une famille génératrice deE. Soientφ, ψ∈ L(E, F)deux applications linéaires deE dansF. Si pour tout indicei∈I,φ(ui) =ψ(ui), alors φ=ψ.
Preuve Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deuxK-espaces vectoriels etφ∈ L(E, F). SoitIun ensemble d’indices et(ui)i∈I une famille génératrice deE. Soientφ, ψ∈ L(E, F)deux applications linéaires deEdans F telles que pour tout indicei∈I,φ(ui) =ψ(ui).
φetψ sont deux fonctions deE dansF. De plus, pouru∈E,
comme la famille (ui)i∈I est génératrice, il existe un sous-ensemble J ∈ I et une famille de scalaires (λj)j∈J∈KJ tel que :u=P
j∈Jλj•Euj; puis
φ(u) =φ(P
j∈Jλj•Euj) φ(u) =P
j∈Jλj•Fφ(uj) φ(u) =P
j∈Jλj•Fψ(uj) φ(u) =ψ(P
j∈Jλj•Euj) φ(u) =ψ(u).
Ainsiφ=ψ.
2
Théorème 1.3. Soit(E,+,•)un Kespace vectoriel de dimension n, alors il existe un isomorphisme entre (E,+,•)et(Kn,+,. .·).
Preuve
à faire en exercice 2
1.3 Noyau, Image et dimension
Définition 1.6 (Noyau). Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et soit φ ∈ L(E, F) une application linéaire entreE etF.
On définit le noyau de φ, Ker(φ)par :
Ker(φ)=∆{x∈E|φ(x) = 0F}.
Propriété 1.12. Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et soit φ ∈ L(E, F) une application linéaire entreE etF. Alors Ker(φ)est un sous-espace vectoriel de (E,+E,•E).
Preuve
à faire en exercice 2
Définition 1.7 (Image). Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et soit φ∈ L(E, F) une application linéaire entreE etF.
On définit l’image deφ, Im(φ)par :
Im(φ)=∆{φ(x)∈F |x∈E}.
Propriété 1.13. Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels et soit φ ∈ L(E, F) une application linéaire entreE etF. Alors Im(φ)est un sous-espace vectoriel de(F,+F,•F).
Preuve
à faire en exercice 2
Théorème 1.4. Soient(E,+E,•E)et(F,+F,•F)deux K-espaces vectoriels et soitφ∈ L(E, F)une appli- cation linéaire entre E etF. On suppose que(E,+E,•E)est de dimension fini. Alors,
dim (E) = dim (Ker(E)) + dim (Im(E))
Preuve
à faire en exercice 2
Corollaire 1.1. Soient (E,+E,•E) et(F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels. Si E ouF est de dimension fini et s’il existe un isomorphisme φ∈Isom(E, F), alors E et F sont de dimensions finis et égales.
Preuve
à faire en exercice 2
Corollaire 1.2. Soient (E,+E,•E) et (F,+F,•F) deux K-espaces vectoriels. On suppose que (E,+E,•E) est de dimension fini. Soitφ∈ L(E, F)une application linéaire deE dans F.
Les trois assertions suivantes sont équivalents : 1. φest un isomorphisme ;
2. φest injectif et dimE= dimF; 3. φest surjectif etdimE= dimF.
Preuve
à faire en exercice 2
