Calcul matriciel Jérôme Feret DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 14-18 mars 2016

Calcul matriciel

Jérôme Feret

DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 14-18 mars 2016

1 Matrices

1.1 Algèbre des matrices

Définition 1.1 (matrice). Soient m, n∈N deux entiers positifs. On appelle une matrice d’éléments deK àm lignes et à n colonnes une famille d’éléments (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n deK indexée par les couple(i, j) oùi varie entre 1et m, etj varie entre 1 etn.

On dit aussi que (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n est une matrice de taille m×n.

On noteMm,n(K)l’ensemble des matrices de tailles m×n d’élément deK. Enfin, lorsquem=n, on dit que les matrices deMm,n(K)sont carrés de taillem.

Définition 1.2 (ligne). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs SoitA ^∆= (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n ∈ Mm,n(K) une matrice de taillem×n. Soiti0un entier entre1etm. On appellei0-ième ligne deA, la famille denéléments deK(a_i0,j)_1≤j≤n.

Définition 1.3 (colonne). Soient m, n∈ N deux entiers positifs Soit A = (a^∆ _i,j)1≤i≤m,1≤j≤n ∈ M_m,n(K) une matrice de taillem×n. Soitj0 un entier entre1 etn. On appellej0-ième colonne de A, la famille de méléments de K(ai,j₀)_1≤i≤m.

Notation 1.1. On note habituellement les éléments d’une matrice sous forme de tableau. Par exemple, la matrice de taille 3×3 et d’éléments(ai,j)1≤i≤3,1≤j≤3 sera notée :





a1,1 a1,2 a1,3

a2,1 a2,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3





Définition 1.4 (somme). Soient m, n∈ N deux entiers positifs. SoientA ∈ Mm,n(K) et B ∈ Mm,n(K).

On noteA= (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n etB= (b^∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. La matrice (ai,j+bi,j)1≤i≤m,1≤j≤n est appelée la somme des deux matricesA etB. On la noteA+B.

Exemple 1.1.





1 2 3 4 1 5 2 6 8



+





3 4 5

10 2 −1

5 2 8



=





4 6 8

14 3 4 7 8 16





Définition 1.5(produit externe). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs SoientA∈ Mm,n(K)etλ∈K. On note A= (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. La matrice (λ·ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n est appelée le produit de la matrice A par le scalaire λ. On la note λ·A.

Exemple 1.2.

2·





3 4 5

10 2 −1

5 2 8



=





6 8 10 20 4 −2 10 4 16





Définition 1.6. Soient m, n ∈N deux entiers positifs. Soit k un entier entre 1 et m et soit k⁰ un entier entre1etn. On noteEk,k⁰

= (δ∆ ^k_i ·δ^k_j⁰)la matrice de taillem×ndont tous les éléments sont nuls, sauf dans la case à la ligne ket à la colonnek⁰ dans laquelle la valeur est1.

Propriété 1.1. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs(Mm,n(K),+,·)est unK-espace vectoriel de dimension m·n. De plus, la famille des matrices élémentaire(E_i,j^m,n)1≤i≤m,1≤j≤n est une base de(Mm,n(K),+,·).

Preuve On sait que(K,+,·)est unK-espace vectoriel. Puis (Mm,n(K),+,·)est unK-espace vectoriel.

La famille(Ei,j)est une base car la famille(1)est une base de(K,+,·).

2

Définition 1.7 (produit interne). Soient m, n, o ∈ N trois entiers positifs. Soient A ∈ M_m,n(K) et B ∈ Mn,o(K). On note A = (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n et B = (b^∆ i,j)1≤i≤n,1≤k≤o. La matrice (ci,j)∈ Mm,o(K) définie par :

ci,j

=∆ n

X

k=1

ai,k·bk,j,

pour1≤i≤met1≤j≤o, est appelée le produit entreAet B, et est notéeA×B.

Exemple 1.3.



 1 2 4 1 2 6



×

3 4 5 10 2 −1

=





23 8 3

22 18 19 66 20 4





Preuve

3 4 5

10 2 −1

1 2 1·3 + 2·10 1·4 + 2·2 1·5 + 2·(−1) 4 1 4·3 + 1·10 4·4 + 1·2 4·5 + 1·(−1) 2 6 2·3 + 6·10 2·4 + 6·2 2·5 + 6·(−1) 2

Propriété 1.2. Soient m, n, o, p∈ Nquatre entiers. Soient A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,o(K), C ∈ Mo,p(K) trois matrices à valeur dansK.

Alors :

A×(B×C) = (A×B)×C.

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.3. Soientm, n, o∈Ntrois entiers naturels. Soit A∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dans K. La fonction φ : Mn,o(K)→ Mm,o(K)qui à toute matrice B ∈ Mn,o(K)de taille n×o à valeur dansKassocie la matriceA×B est une application linéaire entre(Mn,o(K),+,·)et(Mm,o(K),+,·).

Preuve

à faire en exercice 2

Définition 1.8(transposée). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n d’éléments de K. On note A= (a^∆ _i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. La matrice (a_j,i)1≤j≤n,1≤i≤m est une matrice de taille n×m d’éléments deK. Cette matrice est appelée la transposée deA et est noté^TA.

Exemple 1.4. On a :

T

 1 2 4 1 2 6



=

1 4 2 2 1 6

.

Propriété 1.4. Soientm, n∈N deux entiers positifs. Soient iun entier entre 1 et m etj un entier entre 1 etn. Alors^TE_i,j^m,n=E_j,i^n,m.

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.5. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. La fonctionφ : Mm,n(K)→ Mn,m(K)qui à chaque matrice de taillem×nà valeur dansKassocie sa transposée est un isomorphisme entre(Mm,n(K),+,·)et (Mn,m(K),+,·).

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.6. Soient m, n, o ∈ N trois entiers positifs. Soient A ∈ Mm,n(K) et B ∈ Mn,o(K) deux matrices de taillesm×n etn×o, et d’éléments de K. Alors, on a :

T(M×N) =^TN×^TM.

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.7. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A∈ M_m,n(K)une matrice à valeur dans Ket de taille m×n. Alors, on a :

T(^TA) =A.

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.8. Soient m, n, o∈N trois entiers naturels. Soit A∈ Mn,o(K)une matrice de taille n×o à valeur dans K. La fonction φ : Mm,n(K)→ Mm,o(K)qui à toute matriceB∈ Mm,n(K)de taillem×oà valeur dansKassocie la matriceB×Aest une application linéaire entre(Mm,n(K),+,·)et(Mm,o(K),+,·).

Preuve Soitm, n, o∈Ntrois entiers naturels. SoitA∈ Mn,o(K) une matrice de taillen×o à valeur dansK. La fonction φ : Mm,n(K)→ Mm,o(K)qui à toute matrice B∈ Mm,n(K)de taillem×nà valeur dansKassocie la matriceB×A. SoientB, B⁰ ∈ Mm,n(K)deux matrices de taillesm×nà valeur dansK et soitλ∈K. On a :

(B+λ·B⁰)×A=^T(^T((B+λ·B⁰)×A)) (par la propriété 1.7) (B+λ·B⁰)×A=^T(^TA×^T(B+λ·B⁰)) (par la propriété 1.6) (B+λ·B⁰)×A=^T(^TA×(^TB+λ·(^TB⁰))) (par la propriété 1.5) (B+λ·B⁰)×A=^T(^TA×^TB+λ·(^TA×^TB⁰))) (par la propriété 1.3) (B+λ·B⁰)×A=^T(^T(B×A) +λ·^T(B⁰×A)) (par la propriété 1.6) (B+λ·B⁰)×A=^T(^T(B×A)) +λ·^T(^T(B⁰×A)) (par la propriété 1.5) (B+λ·B⁰)×A=B×A+λ·B⁰×A (par la propriété 1.7) Doncφest une application linéaire.

2

1.2 Transformations élémentaires

1.2.1 Matrice identité

Définition 1.9(identité). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. On noteIm,n∈ Mm,n(K)la matrice carrée (δ_i^j)1≤i≤m,1≤j≤n.

Exemple 1.5. Par exemple, on a :

I^3,4=





1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0





Propriété 1.9. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soitA∈ M_m,n(K). On a :A=Im,m×A.

Preuve Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×nà valeur dansK. On noteA= (a^∆ _i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. On noteIm,m×A= (b^∆ _i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. Soiti∈Nun entier entre 1et m, etj∈Nun entier entre1et n.

bi,j =

m

X

k=1

δ_kⁱ ·ak,j.

On aientre1 etm, la somme s’annule partout sauf, pourk=i.

b_i,j=a_i,j. 2

Propriété 1.10. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soitA∈ M_m,n(K). On a :A=A×In,n. Preuve Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×nà valeur dansK. On noteA= (a^∆ _i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. On noteA×In,n

= (b∆ _i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. Soiti∈Nun entier entre 1 etm, etj∈Nun entier entre 1etn.

bi,j=

n

X

k=1

ai,k·δ^k_j.

On aj entre1 etn, la somme s’annule partout sauf, pourk=j.

b_i,j=a_i,j. 2

Propriété 1.11. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs tels quem≤n, alors Im,n×In,m=Im,m. Preuve Soientm, n∈Ndeux entiers positifs tels quem≤n.

On noteI^m,n×I^n,m= (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤m. Soiti, jdeux entiers entre1 etm.

On a :ai,j =Pn

k=1δ^k_i ·δ_k^j.

1. sii=j, alors la somme s’annule partout, sauf pourk=i. Puisai,j= 1.

2. sinon, la somme s’annule partout. Puisai,j= 0.

2

1.2.2 Permutation de lignes et de colonnes

Définition 1.10 (matrice de permutation). Soitn∈N. Soient k et k⁰ deux entiers entre1 etn. On note Swapn(k, k⁰)la matrice In,n−E^n,nk,k−E^n,nk⁰,k⁰+E^n,nk,k⁰+E^n,nk⁰,k.

Exemple 1.6. Par exemple :

Swap3(2,3) =





1 0 0 0 0 1 0 1 0



.

Propriété 1.12. Soitn∈Net soientk, k⁰ deux entiers compris entre1 etn. On a :

T(Swapⁿ(k, k⁰)) =Swapⁿ(k, k⁰).

Preuve Soitn∈Net soientk, k⁰ deux entiers compris entre1et n. On a :

T(Swapⁿ(k, k⁰)) =^T(I^n,n−E^n,nk,k−E^n,nk⁰,k⁰+E^n,nk,k⁰+E^n,nk⁰,k)

T(Swapⁿ(k, k⁰)) =^TI^n,n−^TE^n,nk,k −^TE^n,nk⁰,k⁰+^TE^n,nk,k⁰+^TE^n,nk⁰,k T(Swapⁿ(k, k⁰)) =I^n,n−E^n,nk,k−E^n,nk⁰,k⁰+E^n,nk⁰,k+E^n,nk,k⁰ T(Swapⁿ(k, k⁰)) =Swapⁿ(k, k⁰).

2

Propriété 1.13 (permutation de lignes). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soient k, k⁰ deux entiers compris entre 1 et m. Soit A ∈ M_m,n(K) une matrice de taille m×n d’éléments de K. Alors la matrice Swapm(k, k⁰)×Aest la matrice dont lal-ième ligne est lal-ième ligne deApourl6∈ {k, k⁰}, lak-ième ligne est lak⁰-ième ligne deA, et lak⁰-ième ligne est lak-ième ligne deA.

Preuve Soient m, n∈Ndeux entiers positifs et soientk, k⁰ deux entiers compris entre1 et m. Soit A une matrice deMm,n(K). On noteA= (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n.

On a :

(Swapm(k, k⁰)×A)i,j =Pm

l=1(Swapm(k, k⁰))i,l·al,j

(Swap^m(k, k⁰)×A)i,j =Pm

l=1(δ_i^l−δ_i^k·δ^k_l −δ_i^k0·δ^k_l⁰+δ^k_i⁰·δ_l^k+δ_i^k·δ_l^k0)·al,j

Puis :

1. pouri6∈ {k, k⁰} :

δ^l_i−δ^k_i ·δ_l^k−δ_i^k0·δ_l^k0+δ_i^k0 ·δ^k_l +δ^k_i ·δ^k_l⁰ =δ_i^l. Puis :

(Swapm(k, k⁰)×A)_i,j=Pm

l=1δ^l_i·a_l,j ; (Swapm(k, k⁰)×A)_i,j=a_i,j

2. pouri=ket i6=k⁰ :

δ_k^l −δ_l^k+δ_l^k0 =δ^k_l⁰ Puis :

(Swapm(k, k⁰)×A)_k,j=Pm

l=1δ^k_l⁰·a_l,j ; (Swap^m(k, k⁰)×A)k,j=ak⁰,j

3. pouri=k⁰ eti6=k:

δ_k^l0−δ_l^k0 +δ_l^k=δ^k_l Puis :

(Swapm(k, k⁰)×A)_k0,j =a_k,j 4. pouri=k⁰ eti=k:

δ_k^l −δ^k_l −δ_l^k0+δ_l^k+δ_l^k0 =δ^l_k Puis :

(Swap^m(k, k⁰)×A)k,j =ak,j

(Swap^m(k, k⁰)×A)k,j =ak⁰,j

2

Propriété 1.14(permutation de colonnes). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soientk, k⁰ deux entiers compris entre 1 et n. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n d’éléments de K. Alors la matrice A×Swapⁿ(k, k⁰)est la matrice dont lal-ième colonne est lal-ième colonne deApourl6∈ {k, k⁰}, lak-ième colonne est lak⁰-ième colonne deA, et lak-ième colonne est la k⁰-ième colonne de A.

Preuve Soient m, n ∈ N deux entiers positifs et soient k, k⁰ deux entiers compris entre 1 et m. Soit A∈ M_m,n(K)une matrice de taillem×nd’éléments deK.

On a :^T(A×Swapⁿ(k, k⁰)) =Swapⁿ(k, k⁰)×^TA.

Donc la transposée deA×Swapⁿ(k, k⁰)est la transposée deA donc on a permuté les lignesketk⁰. PuisA×Swapⁿ(k, k⁰)est la matriceA dans laquelle on a permuté les colonnesk etk⁰.

2

Exemple 1.7.





1 0 0 0 0 1 0 1 0



×





1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6



=





1 2 3 4 3 4 5 6 2 3 4 5



.





1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6



×









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0









=





1 2 4 3 2 3 5 4 3 4 6 5



.

Propriété 1.15. Soitn∈Nun entier. Soientk, k⁰ deux entiers compris entre1 etn. On a : (Swapn(k, k⁰))²=In,n

1.2.3 Multiplication d’une ligne ou d’une colonne par un scalaire

Définition 1.11 (matrice de dilatation). Soit n ∈ N. Soient k un entier entre 1 et n et λ ∈ K\ {0} un scalaire non nul. On noteDilatⁿ(k, λ)la matrice I^n,n+ (λ−1)·E^n,nk,k.

Exemple 1.8. Par exemple,

Dilat3(2,4) =





1 0 0 0 4 0 0 0 1



.

Propriété 1.16. Soitn∈N et soientk un entier compris entre1 etn etλ∈K\ {0} un scalaire non nul.

On a :^T(Dilatn(k, λ)) =Dilatn(k, λ).

Preuve Soitn∈Net soientkun entier compris entre1etnet λ∈K\ {0}un scalaire non nul. On a :

T(Dilatⁿ(k, λ)) =^T(I^n,n+ (λ−1)·E^n,nk,k)

T(Dilatn(k, λ)) =^T(In,n) +^T((λ−1)·E^n,nk,k)

T(Dilatn(k, λ)) =^T(In,n) + (λ−1)·^TE^n,nk,k T(Dilatn(k, λ)) =In,n+ (λ−1)·E^n,nk,k T(Dilatn(k, λ)) =Dilatn(k, λ) 2

Propriété 1.17 (dilatation de lignes). Soient m, n∈Ndeux entiers positifs et soient k un entier compris entre1 etmetλ∈K\ {0} un scalaire non nul. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×n d’éléments deK. Alors la matrice Dilat^m(k, λ)×A est la matrice dont la l-ième ligne est lal-ième ligne de A pour l6=k, la k-ième ligne est lak-ième ligne deA multipliée par le scalaire λ.

Preuve Soient m, n∈Ndeux entiers positifs et soientkun entier compris entre 1et metλ∈K\ {0}

un scalaire non nul. SoitAune matrice deMm,n(K). On noteA= (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤i≤n. On a :

(Dilat^m(k, λ)×A)i,j=Pm

l=1(Dilat^m(k, λ))i,l·al,j

(Dilat^m(k, λ)×A)i,j=Pm

l=1(δ_i^l+ (λ−1)·δ_i^k·δ_l^k)·al_j

Puis :

1. pouri6=k:

δ^l_i+ (λ−1)·δ^k_i ·δ_l^k=δ_i^l. Puis :

(Dilatm(k, λ)×A)_i,j=Pm

l=1δ^l_i·a_l,j ; (Dilat^m(k, λ)×A)i,j=ai,j

2. pouri=k:

δ^l_i+ (λ−1)·δ^k_l =λ·δ^l_i Puis :

(Dilat^m(k, λ)×A)k,j =Pm

l=1λ·δⁱ_l·al,j ; (Dilat^m(k, λ)×A)k,j =λ·ai,j.

2

Propriété 1.18 (dilatation de colonnes). Soient m, n ∈ N deux entiers positifs et soit k, k⁰ deux entiers compris entre 1 et n et λ∈ K\ {0} un scalaire non nul. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n d’éléments deK. Alors la matriceA×Dilatn(k, λ)est la matrice dont lal-ième colonne est lal-ième colonne deApour l6=k, lak-ième colonne est la k-ième colonne de Amultipliée par le scalaire λ.

Preuve Soient m, n∈Ndeux entiers positifs, soitkun entier compris entre 1et n, et soit λ∈K\ {0}

un scalaire non nul. SoitA∈ M_m,n(K)une matrice de taillem×nd’éléments deK. On a :^T(A×Dilatⁿ(k, λ)) =Dilatⁿ(k, λ)×^TA.

Donc la transposée deA×Dilatⁿ(k, λ)est la transposée deAdonc on a multiplié lak-ième ligne parλ.

PuisA×Dilatⁿ(k, λ)est la matriceA dans laquelle on a multiplié la colonnek parn.

2

Exemple 1.9.





1 0 0 0 2 0 0 0 1



×





1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6



=





1 2 3 4

4 6 8 10

3 4 5 6



.





1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6



×









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1









=





1 2 6 4

2 3 8 5

3 4 10 6



.

Propriété 1.19. Soitn∈Nun entier, soit kun entier entre 1 etn, et soit λ, µ∈K∈ \{0} deux scalaires non nuls. AlorsDilatn(k, λ)×Dilatn(k, µ) =Dilatn(k, λ·µ).

Preuve

à faire en exercice 2

1.2.4 Ajout de lignes et de colonnes

Définition 1.12(matrice de combinaison). Soitn∈N. Soientketk⁰ deux entiers distincts entre1etnet soit λ∈Kun scalaire. On noteAddn(k, k⁰, λ) la matriceIn,n+λ·E^n,nk,k⁰.

Exemple 1.10. Par exemple,

Add3(1,2,4) =





1 4 0 0 1 0 0 0 1



.

Propriété 1.20. Soit n ∈ N et soient k, k⁰ deux entiers distincts compris entre 1 et n et soit λ ∈ K un scalaire. On a :^T(Addn(k, k⁰, λ)) =Addn(k⁰, k, λ).

Preuve Soitn∈Net soientk, k⁰ deux entiers distincts compris entre1 et net soitλ∈Kun scalaire.

On a :

T(Addⁿ(k, k⁰, λ)) =^T(I^n,n+λ·E^n,nk,k⁰)

T(Addn(k, k⁰, λ)) =^T(In,n) +^T(λ·E^n,nk,k⁰)

T(Addn(k, k⁰, λ)) =In,n+λ·^TE^n,nk,k⁰ T(Addn(k, k⁰, λ)) =In,n+λ·E^n,nk⁰,k T(Addn(k, k⁰, λ)) =Addn(k⁰, k, λ).

2

Propriété 1.21(ajout d’une ligne). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soientk, k⁰ deux entier distincts compris entre1 etm, et soitλ∈K un scalaire. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n d’éléments deK. Alors la matriceAdd^m(k, k⁰, λ)×A est la matrice dont la l-ième ligne est lal-ième ligne deA pour l6=k, la k-ième ligne est lak-ième ligne deA plus la k⁰-ième ligne deA multipliée par le scalaireλ.

Preuve Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soientk, k⁰ deux entiers distincts compris entre1et m etλ∈Kun scalaire. SoitAune matrice deMm,n(K). On noteA= (a^∆ i,j)1≤i≤m,1≤i≤n.

On a :

(Add^m(k, k⁰, λ)×A)i,j=Pm

l=1(Add^m(k, k⁰, λ))i,l·al,j

(Addm(k, k⁰, λ)×A)_i,j=Pm

l=1(δ^l_i+λ·δ_i^k·δ_l^k0)·a_lj Puis :

1. pouri6=k:

δ_i^l+λ·δ^k_i ·δ_l^k0 =δ^l_i. Puis :

(Addm(k, k⁰, λ)×A)i,j=Pm

l=1δ_i^l·al,j ; (Addm(k, k⁰, λ)×A)i,j=ai,j

2. pouri=k:

δ_i^l+λ·δ^k_i ·δ_l^k0 =δ^l_i+λ·δ_l^k0. Puis :

(Add^m(k, k⁰, λ)×A)k,j=Pm

l=1δ^l_i·al,j+Pm

l=1λ·δ^k_l⁰·al,j

(Addm(k, k⁰, λ)×A)k,j=ai,j+λ·ak⁰,j. 2

Propriété 1.22 (ajout d’une colonne). Soient m, n ∈ N deux entiers positifs et soit k, k⁰ deux entiers distincts compris entre1etnetλ∈Kun scalaire. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×nd’éléments deK. Alors la matrice A×Addn(k, k⁰, λ)est la matrice dont la l-ième colonne est la l-ième colonne deA pour l 6= k⁰, la k⁰-ième colonne est la k⁰-ième colonne de A plus la k-ième colonne de A multipliée par le scalaire λ.

Preuve Soient m, n∈Ndeux entiers positifs, soitk, k⁰ deux entiers distincts compris entre1 et n, et soitλ∈Kun scalaire. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×nd’éléments de K.

On a :^T(A×Addⁿ(k, k⁰, λ)) =Addⁿ(k⁰, k, λ)×^TA.

Donc la transposée deA×Addⁿ(k, k⁰, λ) est la transposée de A donc on a ajouté à la ligne k⁰ la ligne k multipliée par le scalaireλ.

PuisA×Addⁿ(k, k⁰, λ) est la matrice Adans laquelle on a ajouté à la colonne k⁰ la colonne k multipliée par le scalaireλ.

2

Exemple 1.11.





1 2 0 0 1 0 0 0 1



×





1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6



=





5 8 11 14

2 3 4 5

3 4 5 6



.





1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6



×









1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1









=





1 4 3 4

2 7 4 5

3 10 5 6



.

Propriété 1.23. Soitn∈Nun entier, soit k, k⁰ deux entiers distincts entre 1 et n, et soit λ, µ∈K deux scalaires. AlorsAddn(k, k⁰, λ)×Addn(k, k⁰, µ) =Addn(k, k⁰, λ+µ).

Preuve

à faire en exercice 2

1.3 Matrices inversibles

1.3.1 Inversibilité à gauche et à droite

Définition 1.13 (matrice inversible à gauche). Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K) une matrice de taillem×nà valeur dansK. On dit queAest inversible à gauche si et seulement si il existe une matrice B∈ Mn,m(K)de taillen×mà valeur dansKtelle que B×A=In,n.

La matrice B est alors appelée un inverse à gauche de A.

Exemple 1.12. La matrice :



 1 2 2 1 3 4





a plusieurs inverses à gauche.

Par exemple, pour tout a, b∈K, la matrice :









−^1+5·a

3

2−2·a

3 a

2−5·b

3 −^1+2·b

3 b









est un inverse à gauche de la matrice :



 1 2 2 1 3 4



 .

Preuve

à faire en exercice 2

Définition 1.14 (matrice inversible à droite). Soient m, n ∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ M_m,n(K) une matrice de taille m×n à valeur dansK. On dit queAest inversible à droite si et seulement si il existe une matrice B∈ M_n,m(K)de taillen×mà valeur dansKtelle que A×B=Im,m.

La matrice B est alors appelée un inverse à droite de A.

Exemple 1.13. La matrice :

1 2 3 2 1 4

a des inverses à droite.

Par exemple, pour tout a, b∈K, la matrice :













−^1+5·a

3

2−5·b 3 2−2·a

3 −^1+2·b

3

a b













est un inverse à droite de la matrice :

1 2 3 2 1 4

.

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.24. Soientm, n∈N deux entiers positifs. SoitA∈ M_m,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dans K. La matriceAest inversible à gauche si et seulement si la matrice^TAest inversible à droite.

De plus, soit B ∈ Mn,m(K) une matrice de taille n×m à valeur dans K. Alors la matrice B est un inverse à gauche deA si et seulement si la matrice ^TB est un inverse à droite de ^TA.

Preuve

à faire en exercice 2

Définition 1.15(matrice inversible). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n à valeur dans K. On dit que A est inversible si et seulement si il existe une matrice B ∈ M_m,n(K)telle queA×B=Im,m etB×A=In,n.

La matrice B est alors appelée un inverse deA.

Notation 1.2. Si une matriceAest inversible, son inverse est noté A⁻¹. Exemple 1.14. La matrice :





1 2 3 1 4 6 1 8 10





est inversible.

De plus, son inverse est :













2 −1 0

1 ⁻⁷

4 3 4

−1 ³

2

−1 2











 .

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.25. Les matrices carrés de transformation élémentaire sont inversibles.

Preuve Soitn∈Nun entier naturel.

1. Par la propriété 1.10, on a :

I^n,n×I^n,n=I^n,n. DoncI^n,n est inversible et son inverse estI^n,n.

2. SoitB ∈ Mn,n(K)est une matrice de permutation. Alors, par la propriété 1.15, on a :B×B=I^n,n. Donc la matriceB est inversible et son inverse est B.

3. Soit k ∈ N tel que 1 ≤ k ≤ n. Soit λ ∈ K\ {0}. Par la propriété 1.19, on a : Dilatn(k, λ)× Dilatn(k,¹

λ) =Dilatn(k,1)etDilatn(k, ¹

λ)×Dilatn(k, λ) =Dilatn(k,1). OrDilatn(k,1) =In,n. DoncDilatn(k, λ)est inversible et son inverse est Dilatn(k,¹

λ).

4. Si il existe k, k⁰ deux entiers distincts entre 1 et n et λ ∈ K. Alors, par la propriété 1.23, on a :Addn(k, k⁰, λ)×Addn(k, k⁰,−λ) =Addn(k, k⁰,0)etAddn(k, k⁰,−λ)×Addn(k, k⁰, λ) =Addn(k, k⁰,0).

Or,Addn(k, k⁰,0) =In,n.

DoncAddn(k, k⁰, λ)est inversible et son inverse estAddn(k, k⁰,−λ).

2

Propriété 1.26. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×n qui a un admet un inverse à droite B ∈ Mn,m(K) et un inverse à gauche C ∈ Mm,n(K). Alors B =C (et A est inversible).

Preuve Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×nqui a un admet un inverse à droiteB ∈ Mn,m(K)et un inverse à gauche C∈ Mm,n(K).

On a :

B=B×I^m,m (par la propriété 1.10) B=B×(A×C) (par la définition 1.14) B= (B×A)×C (par la propriété 1.2) B=I^n,n×C (par la définition 1.13) B=C (par la propriété 1.9).

DoncB=C.

2

1.3.2 Inversion à gauche

Propriété 1.27. Soientm, n∈N deux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dansKtelle que Asoit inversible à gauche. Alors,

1. pour toute matriceX ∈ Mn,1(K)de tallen×1 à valeur dansK, on a : A×X = (0)_{1≤i≤m,j=1} =⇒ X = (0)_{1≤i≤n,j=1};

2. les colonnes deA forment une famille libre deRⁿ. Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.28. Soient m, n∈N deux entiers positifs. La matrice identité I^m,n est inversible à gauche si et seulement si m≥n.

Preuve

1. (⇐) Soientm, n∈Ndeux entiers positifs tels quem≥n.

On a par la propriété??,In,m×Im,n=In,n. DoncIm,nest inversible à gauche.

2. (⇒) Soientm, n∈Ndeux entiers positifs tels queIm,nsoit inversible à gauche. Les colonnes de Im,n

forment une famille libre, donc il n’y a pas de colonne nulle, puism≥n.

2

Propriété 1.29. Soient m, n ∈ N deux entiers positifstels que m ≥ n. Soit A ∈ Mn,m(K). On note A= (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤m. AlorsA est un inverse à gauche de Im,n si et seulement si pour tout ientre 1 etn et toutj entre1 etn, on a : a_i,j=δ_jⁱ.

Preuve

à faire en exercice 2

Propriété 1.30. Soientm, n∈N deux entiers positifs. SoitA∈ M_m,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dansK. SoitB∈ M_m,m(K)une matrice inversible de taillem×m. AlorsA est inversible à gauche si et seulement si B×A est inversible à gauche.

Propriété 1.31. Soientm, n∈N deux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dansK. Soit B∈ Mm,m(K)une matrice inversible de taille m×m. Soit C∈ Mn,m(K)une matrice de taillen×m à valeur dans K. Alors C est un inverse à gauche de A si et seulement siC×B⁻¹ est un inverse à gauche deB×Aest inversible à gauche.

Preuve On prouve les propriété 1.30 et 1.31 en même temps.

1. (⇒) Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n à valeur dansK. SoitB∈ Mm,m(K)une matrice carrée inversible de taillem. On suppose queAest inversible à gauche. SoitC∈ Mn,m(K)un inverse à gauche deA.

On a :

(C×B⁻¹)×(B×A) = (C×(B⁻¹×B))×A (par la propriété 1.2) (C×B⁻¹)×(B×A) = (C×I^m,m)×A (par la définition 1.15) (C×B⁻¹)×(B×A) =C×A (par la propriété 1.10) (C×B⁻¹)×(B×A) =In,n (par la définition 1.13)

2. (⇐)Soient m, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n à valeur dansK. SoitB∈ M_m,m(K)une matrice inversible telle queB×Asoit inversible. On a :B⁻¹est une matrice inversible et de plusA =B⁻¹×(B×A). On peut dont appliquer la preuve du sens direct (⇒) de la propriété que l’on est en train de montrer. Ainsi,A est inversible à gauche.

2

Définition 1.16. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Une matriceA∈ Mm,n(K)de taille m×nest dite échelonnée, si et seulement si il existe une fonction pivot qui associe à chaque indice de ligne de A non nulle un indice de colonne, tel que :

1. Pour chaque ligne non nulle d’indice i, la première colonne non nulle a pour indicepivot(i).

2. Pour chaque ligne non nulle d’indice i,A_i,pivot(i)= 1.

3. Pour chaque lignei non nulle,A_i,pivot(i) est le seul élément non nul de la colonnepivot(i).

4. Pour chaque paire de lignes non nulles, d’indicei etj, on a :i < j =⇒ pivot(i)<pivot(j).

5. Les lignes nulles, si il y en a, sont à la fin de la matrice.

Exemple 1.15. La matrice





1 0 0 5 0 0 1 4 0 0 0 0





est échelonnée. La fonctionpivot associe1 à1 (le pivot de la première ligne est sur la première colonne), et2 à3 (le pivot de la seconde ligne est sur la troisième colonne).

Algorithme 1.1 (pivot de Gaus). Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n. Alors, quitte à permuter les lignes de A, multiplier les lignes de A par une constante non nulle, et ajouter à une ligne une autre ligne multipliée par une constante, alors on peut écrireAsous forme échelonnée.

On suppose m≥1 etn≥1.

1. Posonsp←1.

2. Si A n’est pas échelonnée, on prend la première colonne j₀ telle qu’il existe une ligne i₀ telle que a_i,j6= 0, avec i≥p.

3. On permute la lignepet la lignei₀.

4. On utilise la ligneppour annuler le reste de la colonnej0. 5. On pose p←p+ 1.

Preuve On montre par récurrence que lesp−1premières lignes deAforment une matrice échelonnée.

2

Propriété 1.32. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitA∈ M_m,n(K)une matrice échelonnée à valeur dansK. Alors la matriceA a un inverse à gauche si et seulement siA=I^m,n etm≥n.

Preuve Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice échelonnée à valeur dans K.

1. (⇐) Sim≥netA=I^m,n.

Alors, par la propriété 1.28,A est inversible à gauche.

2. (⇒)SoitB∈ Mn,m(K)un inverse à gauche deA. Supposons, par l’absurde, qu’il existe une colonne sans pivot. Prenons la colonne sans pivot d’indice minimalj0. On a :

(a) j0≤min(m, n).

(b) Pourk, k⁰∈Ktels que1≤k < j0et 1≤k⁰< j0,ak,k⁰ =δ^k_k0. (c) Pourk∈Ktel quej₀≤k≤m, on a : a_k,j0= 0.

Puis, pouri∈Nentre1et l, on a :

j₀−1

X

k=1

a_k,j0·a_i,k=

j₀−1

X

k=1

a_k,j0·δ_kⁱ.

On distingue deux cas : (a) sii < j0, on a :

Pj₀−1

k=1 a_k,j0·a_i,k=a_i,j0 (b) sii≥j0, on a :

Pj₀−1

k=1 ak,j₀·ai,k= 0, Pj₀−1

k=1 a_k,j0·a_i,j=a_i,j0. Dans les deux cas,

Pj₀−1

k=1 ak,j₀·ai,k=ai,j₀.

Ainsi la colonne j0 est la combinaison linéaire des colonnes 1 à j0−1 avec les coefficients a1,j₀ à aj₀−1,j0.

Puis les colonnes deAne sont pas libres.

Donc??,An’est pas inversible à gauche.

2

Propriété 1.33. Soient m, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K)une matrice à valeur dans K. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. Aa un inverse à gauche ;

2. A peut s’écrire sous la forme B ×Im,n où B est le produit de 0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taillem.

Preuve

à faire en exercice 2

Algorithme 1.2 (inversion à gauche). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K).

1. On utilise l’algorithme 1.1 permet de vérifier si Aa un inverse à gauche.

2. — soit la matrice n’est pas inversible ;

— soit la matrice est inversible :

(a) on a calculé une matrice B ∈ M_m,m(K) carrée de taille m et à valeur dans K qui vérifie : B×A=I^m,n;

(b) on calculeB×Im,men faisant agir les mêmes transformations élémentaires qui ont transformé Aen I^m,n surI^m,m;

(c) l’ensemble des inverses à gauche de A est alors l’ensemble des matrices C×B×Im,m pour chaque matriceC= (c^∆ i,j)1≤i≤n,1≤j≤m∈ Mn,m(K)de taillen×mà valeur dansKet telle que pour toutitel que1≤i≤net pour toutj tel que1≤i≤n, on ait ci,j=δ_jⁱ.

Preuve

à faire en exercice 2

Exemple 1.16. Reprenons l’exemple 1.12. On fait agir en parallèle les mêmes transformations sur la matrice



 1 2 2 1 3 4





et la matriceIm,m :



 1 2 2 1 3 4









1 0 0 0 1 0 0 0 1





L2←L2−2·L1

L3←L3−3·L1



 1 2 0 −3 0 −2









1 0 0

−2 1 0

−3 0 1





L₂←⁻¹

3 ·L₂



 1 2 0 1 0 −2













1 0 0

2 3

−1

3 0

−3 0 1









L1←L1−2·L2

L3←L3+ 2·L2



 1 0 0 1 0 0





















−1 3

2

3 0

2 3

−1

3 0

−5 3

−2

3 1

















Puis les inverses à gauche de



 1 2 2 1 3 4





sont les matrices de la forme :

1 0 a 0 1 b

×

















−1 3

2

3 0

2 3

−1

3 0

−5 3

−2

3 1















 .

Puis les inverses à gauche de



 1 2 2 1 3 4





sont les matrices :









−^1+5a

3 −^2+2a

3 a

2−5b

3 −^1+2b

3 b







 .

Lemme 1. Soit n ∈ N un entier naturel. Soient k, k⁰ ∈ N tels que 1 ≤ k ≤ n et 1 ≤ k⁰ ≤ n. Soit B ∈ Mm,n(K)une matrice carrée de transformation élémentaire et de taille n. Alors il existe une matrice C∈ Mn,n(K) carrée de transformation élémentaire et telle que :

Swapⁿ(k, k⁰)×B=C×Swapⁿ(k, k⁰)

Preuve Soit n ∈ N un entier naturel. Soient k, k⁰ ∈ N tels que 1 ≤ k ≤ n et 1 ≤ k⁰ ≤ n. Soit B∈ Mm,n(K)une matrice carrée de transformation élémentaire et de taillen.

On note :

σ^∆=











N → N

l 7→ l sil6∈ {k, k⁰} l 7→ k⁰ sil=k l 7→ k sil=k⁰. On distingue plusieurs cas sur la forme deB :

1. siB=I^n,n,

on a :Swapⁿ(k, k⁰)×I^n,n=I^n,n×Swapⁿ(k, k⁰); 2. siB est une matrice de permutation,

soientlet l⁰ entre1etn, tels que B=Swapⁿ(l, l⁰),

on a :Swapn(k, k⁰)×Swapn(l, l⁰) =Swapn(σl, σl⁰)×Swapn(k, k⁰); 3. siB est une matrice de dilatation,

soientlentre1 etnetλ∈K\ {0},

on a :Swapn(k, k⁰)×Dilatn(l, λ) =Dilatn(σ(l), λ)×Swapn(k, k⁰); 4. siB est une matrice de d’ajout,

soientl, l⁰ entre1et netλ∈K,

on a :Swapⁿ(k, k⁰)×Addⁿ(l, l⁰, λ) =Addⁿ(σl, σl⁰, λ).

2

Lemme 2. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitB ∈ Mm,m(K)une matrice carrée de transformation élémentaire, de taille m, qui n’est pas une matrice de permutation. Alors il existe une matrice carrée C ∈ Mn,n(K) de transformation élémentaire, de taillentelle que B×Im,n=Im,n×C.

Preuve

à faire en exercice 2

Théorème 1.1. Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Aest inversible à gauche ;

2. m≥netA peut s’écrire sous la formeB×Im,n oùB est le produit de0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taillem;

3. les lignes de Aforment une famille génératrice de Rⁿ; 4. les colonnes deA forment une famille libre dansR^m;

5. pour toute matrice X ∈ Mn,1(K)telle queA×X = (0)_{1≤i≤n,j=1}, on aX = (0)_{1≤i≤m,j=1}; 6. pour toute matrice Y ∈ Mn,1(K), il existe une matriceX ∈ Mm,1(K)telle que ^TA×X=Y. 1.3.3 Inverse à droite

Algorithme 1.3(inversion à droite). SoitA∈ M_m,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dans K. On utilise l’algorithme 1.2 pour décider si la transposée deA est inversible à gauche, et calculer ses inverses à gauche.

1. si ^TA n’est pas inversible à gauche, alorsAn’est pas inversible à droite ;

2. les inverses à droites de A sont alors les transposées des inverses à gauche de^TA.

Preuve

à faire en exercice 2

Théorème 1.2. Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Aest inversible à droite ;

2. m≤netA peut s’écrire sous la formeIm,n×B oùB est le produit de0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taillen;

3. les colonnes deA forment une famille génératrice de R^m; 4. les lignes de Aforment une famille libre dans Rⁿ;

5. pour toute matrice X ∈ M_m,1(K)telle que ^TA×X = (0)_{1≤i≤n,j=1}, on a X= (0)_{1≤i≤m,j=1}; 6. pour toute matrice Y ∈ Mm,1(K), il existe une matriceX ∈ Mn,1(K)telle que A×X =Y. 1.3.4 Inverses

Propriété 1.34. Soitn∈Nun entier naturel. SoitA∈ Mn,n(K)une matrice carrée de taillenet à valeur dansK. AlorsAest inversible à gauche si et seulement siA est inversible à droite.

Preuve Soitn∈Nun entier naturel. SoitA∈ Mn,n(K)une matrice carrée de taillenet à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Aest inversible à gauche ;

2. les lignes deAforment une famille génératrice de(Rⁿ,+,·);

3. les lignes deAforment une famille libre dans (Rⁿ,+,·); (pour des raisons de dimensions) 4. Aest inversible à droite. (par le théorème??)

2

Propriété 1.35. Soitn∈Nun entier naturel. SoitA∈ Mn,n(K)une matrice carrée de taillenet à valeur dansK. Alors un inverse à gauche deAest aussi un inverse à droite de A (et réciproquement).

Preuve Soitn∈Nun entier naturel. SoitA∈ Mn,n(K)une matrice carrée de taillenet à valeur dans K. SoitB ∈ Mn,n(K) un inverse à gauche de A. On sait que A est inversible à gauche. Donc il est aussi inversible à droite. SoitC∈ Mn,n(K)un inverse à droite. On sait par la propriété 1.26, queB=C.

2

Propriété 1.36. Soitn∈Nun entier naturel. Alors les matrices inversibles deM_n,n(K)sont les matrices obtenues comme produit d’un nombre arbitraire de matrices élémentaires carrées de taille n.

Algorithme 1.4(pivot de Gauss sur une matrice carrée). Soitn∈Nun entier naturel. SoitA∈ Mn,n(K) une matrice carrée de taillen à valeur dansK.

On suppose quen≥1.

1. On pose p= 1,X0=A, etY0=I^n,n.

2. Sip=n+ 1,A est inversible, et son inverse est Yn. 3. On noteX_p−1= (xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n.

4. Si pour touti≥p,xi,p= 0 alors la matriceA n’est pas inversible.

5. On prends le plus petit indice i0 tel quei0≥pet tel quexi₀,p6= 0.

6. On permute la lignepet la lignei0 à la fois dans la matriceXp−1 et dans la matriceYp−1.

7. On utilise la ligne ppour annuler le reste de la colonnej0 dans la matrice X_p−1, tout en effectuant les mêmes transformations dans la matrice Y_p−1

8. On pose Xp et Yp les matrices obtenues.

9. p←p+ 1,

Preuve On a appliqué l’algorithme 1.1, en remarquant que si on forme une colonne qui s’annule sur toutes les lignes qui n’ont pas encore de pivots, alors on ne peut pas obtenir la matrice I^n,n à la fin. On prouve, en case de succès de l’algorithme, que pour toutp, on a :A=Yp×Ap. Puis,Yn est l’inverse deA.

2

Exemple 1.17. La matrice :





1 2 3 2 1 3 0 1 1





n’est pas inversible.

En effet,





1 2 3 2 1 3 0 1 1





L2←L2−2·L1





1 2 3

0 −3 −3

0 1 1





L₂← ⁻¹

3 ·L₂





1 2 3 0 1 1 0 1 1





L1←L1−2·L2

L₃←L₃−L₂





1 0 1 0 1 1 0 0 0





Cette dernière matrice n’est pas inversible, car elle a une ligne nulle (donc ces lignes ne forment pas une famille libre de R³).

Exemple 1.18. La matrice :





1 2 3 1 2 4 0 1 2





est inversible.

On trouve son inverse par pivot de Gauss :





1 2 3 1 2 4 0 1 2









1 0 0 0 1 0 0 0 1





L2←L2−L1





1 2 3 0 0 1 0 1 2









1 0 0

−1 1 0

0 0 1





L₂↔L₃





1 2 3 0 1 2 0 0 1









1 0 0

0 0 1

−1 1 0





L₁←L₁−2·L₂





1 0 −1

0 1 2

0 0 1









1 0 −2

0 0 1

−1 1 0





L1←L1+L3

L2←L2−2·L3





1 0 0 0 1 0 0 0 1









0 1 −2

2 −2 1

−1 1 0



 .

On peut vérifier que la matrice :





0 1 −2

2 −2 1

−1 1 0





est l’inverse de la matrice :





1 2 3 1 2 4 0 1 2





1 2 3

1 2 4

0 1 2

0 1 −2 1 2−2 4−4

2 −2 1 2−2 4−4 + 1 6−8 + 2

−1 1 0 −1 + 1 −2 + 2 −3 + 4 .

Théorème 1.3. Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Aest inversible ;

2. Apeut s’écrire sous la forme d’un produit de0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémen- taire, toutes carrées et de taillen;

3. m≥net les colonnes de Aforment une famille génératrice de R^m; 4. m≤net les colonnes de Aforment une famille libre de R^m; 5. m≥net les lignes deA forment une famille libre dans Rⁿ; 6. m≤net les lignes deA forment une famille génératrice de Rⁿ.

7. m≥net pour toute matriceX ∈ Mm,1(K)telle que^TA×X = (0)1≤i≤n,j=1, on aX = (0)1≤i≤m,j=1; 8. m≥net pour toute matriceY ∈ Mm,1(K), il existe une matriceX∈ Mn,1(K)telle queA×X =Y. 9. m≤net pour toute matriceX ∈ Mn,1(K)telle que A×X = (0)1≤i≤m,j=1, on aX = (0)1≤i≤n,j=1; 10. m≤net pour toute matriceY ∈ Mn,1(K), il existe une matriceX ∈ Mm,1(K)telle que^TA×X =Y.