Liste 48

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 48

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

1

Exercice 1:

I/ soit g la fonction de ]0, +[ dans R définie par g(x)= xlogx 1/ étudier les variations deg et dresser son tableau de variation.

2/ tracer la courbe , préciser l’allure de  au voisinage de l’origine.

II/ on considère l’application f de [0,+[ dans r définie par : f(0)=0 et f(x)=/xlogx/ si x0 .

1/ étudier les variations de f et tracer sa courbe f dans le même repère.

2/ montrer qu’il existe un réel unique ]1,e[ tel que f()=1/e.

III/ on définie la suite U par U0R+*

\{1}

Un+1=f(Un) pour tout nN 1/ pour quelles valeurs de U0 la suite U est constante ?

2/ on choisit U0]0,1/e[ démontrer que a/ pour tout nN on a 0 Un  1/e b/ la suite U est strictement croissante.

c/ la suite U converge vers 1/e.

3/ on choisit U0 ]1/e,1[, montrer que U1]0,1/e[, la suite U est-elle convergente

4/ a/ pour U0 > e, montrer que la suite U est strictement croissante b/ montrer que, pour tout x>e, on a f’(x) 2

c/ en déduire que Un+1 -Un 2(Un –Un-1 ) d/ montrer que Un+1 –Un 2ⁿ(U1 –U0 )

e/ montrer Un+1 U0 +(U1 –U0 ) ( 2ⁿ⁺¹-1) déduisez-en la nature de la suite U.

5/ que dire de la suite U si on choisit U0= Exercice 2:

A/ 1/ soit la fonction g définie sur ]0,+[ par g(x)=

1 x ) x x

1 log(x

 

 .

a/ dresser le tableau de variations de g b/ en déduire que g(x) > 1 ; x >0.

2/ soit f la fonction définie par f(x)= ) x

1 log(x

x  si x>0 et f(0)=0.

a/ étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

b/ exprimer pour tout x>0, f’(x) en fonction de g(x) . c/ dresser le tableau de variations de f.

d/ représenter la courbe de f dans un repère orthonormé.

B/ 1/démontrer que pour tout x[

2

1,1] ; f(x)[

2 1,1].

2/ démontrer que pour tout x[

2

1,1] ; |f’(x)|

2 1

3/ démontrer que f(x)=x, x>0 ; admet une solution unique ]

2 1 ,1[.

4/ soit U la suite définie par U0=1 et pour tout nIN ; Un+1=f(Un).

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L.S.Marsa Elriadh

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^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

2

a/ démontrer que pour tout nIN ; Un[

2 1 ,1].

b/ démontrer que pour tout nIN ; |U_n+1-|

2

1|U_n-| . c/ démontrer que pour tout nIN ; |Un-|

2ⁿ

1 . d/ en déduire la limite de U.

Exercice 3:

A/ soit f la fonction définie par : f(x)= [ ,2 ] 4 x tgx si 1

tgx _ _ 

 et f(

2

 )=1

1/ étudier la continuité et la dérivabilité de f en

2

 .

2/ étudier les variations de f et en déduire que f réalise une bijection de ]-

4

 ,

2

 ] sur un intervalle I à préciser.

3/ soit g la réciproque de f.

a/ étudier la dérivabilité de g en 1 b/ dresser le tableau de variations de g c/ calculer g(0) et en déduire le signe de g.

4/ calculer g’(x) pour x]-,1].

B/ soit h la fonction définie sur ]0,1] par : h(x)= x+log(g(x)).

1/ étudier les variations de h

2/ montrer que h réalise une bijection de ]0,1] sur un intervalle J à préciser.

3/ tracer dans le même repère h et h -1

4/ a/ montrer que h(x)=x admet une unique solution ] ,1 2 1 [ b/ en déduire le signe de h(x)-x sur ]0,1].

5/ soit U la suite définie par U0=

5

7 et Un+1=h^-1(Un) ; nIN.

a/ montrer que pour tout nIN ; U_n>.

b/ montrer que U est croissante ; en déduire que converge et déterminer sa limite.