MPSI B DS 8 29 juin 2019
Exercice 1
SoitAla matrice réelle d'ordrendont tous les éléments sont égaux à 1 sauf les éléments diagonaux qui sont nuls.
1. Pourλréel, calculerdet(A−λIn).Préciser les valeurs deλannulant cette expression.
2. Montrer queAest inversible, calculer son inverse.
3. SoitB la matrice réelle d'ordrenqui ne contient que des1, montrer que
∀k∈Z, Ak= (−1)kIn+(n−1)k−(−1)k
n B
Exercice 2
1. Montrer que la fonction
t→ 1
√t(1 +t2) est intégrable sur]0,+∞[. Calculer son intégrale.
2. Soitαun réel strictement positif, pour quelles valeurs deαla fonction t→ arctant
tα
est-elle intégrable sur]0,+∞[. Calculer la valeur de l'intégrale pourα=32.
Premier problème
Pourαréel etλréel strictement positif, on notefα,λ l'application dénie par
∀t∈]0,+∞[, fα,λ(t) =tαe−λt. PARTIE I
1. a. Déterminer l'ensembleA des couples(α, λ)tels que fα,λ converge en 0 à droite.
b. Déterminer l'ensemble B des couples (α, λ) tels que fα,λ soit intégrable sur ]0,+∞[.
2. Pour tout nombre réelx, montrer que les fonctions t→ e−t
√t cosxt, t→e−t
√t sinxt
sont intégrables sur]0,+∞[.
Dans toute la suite du problème, on poserau(0) =aet
u(x) = Z +∞
0
e−t
√t cosxt dt, v(x) = Z +∞
0
e−t
√t sinxt dt.
3. Étudier la parité de chacune des deux fonctionsuetv. Montrer quea >0. 4. Soitxetx0 deux nombres réels, justier l'inégalité
|u(x)−u(x0)| ≤ |x0−x|
Z +∞
0
e−t√ t dt.
En déduire queuest continue.
PARTIE II
On se propose de démontrer que les fonctionsuetv sont indéniment dérivables.
1. a. Soitxun nombre réel, montrer que la fonctiont→e−t√
tsinxtest intégrable sur ]0,+∞[. On note
i(x) =− Z +∞
0
e−t√
tsinxt dt. Pourhréel non nul, justier l'inégalité
u(x+h)−u(x)
h −i(x)
≤|h|
2 Z +∞
0
t32e−tdt.
b. En déduire que u est dérivable au point x et que u0(x) = i(x). Démontrer un résultat analogue pourv.
2. Établir, pour tout nombre réelx
u(x) = 2 (v0(x)−xu0(x)) v(x) = −2 (u0(x) +xv0(x)) En déduire que les fonctionsuetv sont indéniment dérivables.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S0208E
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PARTIE III
On admet provisoirement le résultat suivant.
∀x >0, v(x)>0 (R) 1. On dénit des applicationsret θpar
∀x∈]0,+∞[ : r(x) =p
u(x)2+v(x)2, θ(x) = arctanu(x) v(x). Calculer rr0 et θ0 puisret θ.
2. A l'aide des questions précédentes, expliciter les fonctions u et v. On donnera des expressions ne faisant pas apparaître les fonctions sin et cos. On ne cherchera pas à déterminer la valeur de la constantea=u(0).
PARTIE IV
On se propose d'établir le résultat (R) de la partie III. Dans les deux premières questions, λdésigne un nombre réel strictement positif.
1. Montrer que
t→ e−λt
√t sint est intégrable sur]0,+∞[.
2. Étudier le sens de variation de la suite de terme général Ip=
Z 2pπ
0
e−λt
√t sint dt. En déduire que
I(λ) = Z +∞
0
e−λt
√t sint dt >0. 3. Montrer quev(x)>0pour toutx >0.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai S0208E
