MPSI B Année 2015-2016 corrigé DM 1 vendredi 11/09/15 29 juin 2019
1. On calcule les racines carrées de√ 4−3ipar la méthode du cours puis on multiplie par 2. On en tire que les racines carrées de8−6isont3−iet−3 +i.
Les antécédents de1 +iparf sont2et −1 +i.
En eet, ce sont les solutions de l'équation d'inconnuez z2
z−2i = 1 +i⇔z2−(1 +i)z+ 2(−1 +i) = 0
Le discriminant de cette équation du second degré est 8−6i dont on a calculé les racines. On en déduit les antécédents.
2. On se propose de montrer que :
sih∈ {0,8i}, hadmet un seul antécédent.
sih6∈ {0,8i}, hadmet deux antécédents distincts.
En eet la recherche d'un antécédent de hparf se traduit par f(z) =hc'est à dire l'équation du second degré
z2−hz+ 2ih= 0 dont le discriminant est∆ =h2−8ih=h(h−8i).
L'étude de la surjectivité et de l'injectivité de la fonction revient à celle de l'équation d'inconnue complexez
f(z) =h⇔z2= (z−2i)h
que l'on vient d'étudier. Elle admet toujours des solutions pour n'importe quel para- mètrew. La fonction est donc surjective.
En général (sauf si le discriminant est nul), cette équation admet deux solutions dis- tinctes : la fonction n'est donc pas injective.
3. Le calcul des parties réelles et imaginaires deg(z)conduit à :
Reg(z) = 2x3−2xy2−4xy Img(z) = 4x2y+ 2x2−2y2 En eet
g(z) =z2(z+ 2i) +z3=|z|2z+ 2iz2+z3
Le calcul se termine en exprimant à part les parties réelles et imaginaires dez2 etz3. 4. a. D'après la question précédente,g(z)est imaginaire pur si et seulement si
2x(x2−y2−2y) = 0
L'ensemble des points dont l'axez est tel queg(z)soit imaginaire pur est donc la réunion de la droite∆d'équationx= 0privée du point2ien lequel la fonction n'est pas dénie et de l'ensembleCd'équation
x2−y2−2y= 0
b. Les axesa,u1 et u2 du pointA des vecteurs−→u1 et−u→2 sont a=−i, u1= 1
√2(1 +i), u2= 1
√2(−1 +i) Comme|u1|=|u2|= 1etiu1=u2, le repèreR0 est orthonormé direct.
Le calcul des coordonnées se fait avec les axes. On cherche les réelsX etY tels que
x+iy=a+Xu1+Y u2⇔
x= 1
√2(X−Y) y=−1 + 1
√2(X+Y)
⇔
X = 1
√2(x+y+ 1) Y = 1
√2(−x+y+ 1) c. On transforme l'équation deC comme nous y invite l'énoncé :
x2−y2−2y= 0⇔x2−(y+ 1)2+ 1 = 0⇔(y+ 1)2−x2= 1
⇔(y+ 1 +x)(y+ 1−x) = 1⇔2XY = 1 L'ensembleC est donc formé par les points de coordonnées(t,2t1)dans le repère C. Il s'agit d'une hyperbole.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1501C
MPSI B Année 2015-2016 corrigé DM 1 vendredi 11/09/15 29 juin 2019
y
x A
O Y X
∆ C
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2 Rémy Nicolai M1501C
