Fig. 1: Bande de papier.

MPSI B 29 juin 2019

a b

P

Q M

Fig. 1: Bande de papier.

Énoncé

Sur une bande de papier, on place trois points Q , M , P . Le point M est entre P et Q avec QM = a ≥ M P = b > 0 comme sur la gure.

Un repère orthonormé (O, − → i , − →

j ) étant xé, on fait glisser la bande de papier en plaçant le point Q sur l'axe (Oy) et le point P sur l'axe (Ox) . On note E l'ensemble décrit par les points M .

1. Construire quelques points de E sur une gure.

2. On note I le point du plan dont les projetés orthogonaux sur les axes sont P et Q . On note θ l'angle orienté ( − →

i , −→

OI) . a. Calculer k −→

OI k .

b. Calculer en fonction de θ les coordonnées de P , Q , M . c. Que peut-on en déduire pour E ?

3. (cercles de Chasles) On dénit les points I

et J

par :

−−→ OI

= (a + b) − → e

−−→ OJ

= (a − b) − → e

Montrer que le milieu de [I

, J

] est le point M et que la droite (I

, J

) est la normale en M à E .

Corrigé

Fig. 2: Construction de quelques points 1. Voir la gure.

2. a. Par dénition, 0 , P , I , Q est un rectangle donc les diagonales sont égales : OI = P Q = a + b

b. Les coordonnées de I s'obtiennent de la question précédente et de la dénition de θ , celles de P et Q s'en déduisent immédiatement :

coordonnées de I : ((a + b) cos θ, (a + b) sin θ) coordonnées de P : ((a + b) cos θ, 0)

coordonnées de Q : (0, (a + b) sin θ)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Γ

Γ

I(θ)

J(θ) M O

Fig. 3: Cercles de Chasles

Par dénition, M est le barycentre de (P, a) et de (Q, b) donc (a + b) −−→

OM = a − − → OP + b − − →

OQ

Les coordonnées de M sont donc

(a cos θ, b sin θ) c. D'après la question précédente E est une ellipse.

3. Voir la gure. Le point I(θ) est sur le cercle Γ , le point J (θ) est sur le cercle Γ

. coordonnées de I(θ) : ((a + b) cos θ, (a + b) sin θ)

coordonnées de J(θ) : ((a − b) cos θ, (−a + b) sin θ) coordonnées du milieu : (a cos θ, b sin θ)

On en déduit que le milieu est le point M de la question 2.

Les coordonnées de −−−−−→

I(θ)J(θ) sont

(−2b cos θ, −2a sin θ)

La tangente en M (θ) à l'ellipse E est portée par la dérivée dont les coordonnées sont : (−a sin θ, b cos θ)

Ce vecteur est orthogonal à −−−−−→

I(θ)J (θ) donc (IJ ) est la normale en M à l'ellipse.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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