Fig. 1: Bande de papier.

MPSI B Énoncé du DS 03 29 juin 2019

a b

P

Q M

Fig. 1: Bande de papier.

Exercice 1

Sur une bande de papier, on place trois points Q , M , P . Le point M est entre P et Q avec QM = a ≥ M P = b > 0 comme sur la gure.

Un repère orthonormé (O, − → i , − →

j ) étant xé, on fait glisser la bande de papier en plaçant le point Q sur l'axe (Oy) et le point P sur l'axe (Ox) . On note E l'ensemble décrit par les points M .

1. Construire quelques points de E sur une gure.

2. On note I le point du plan dont les projetés orthogonaux sur les axes sont P et Q . On note θ l'angle orienté ( − →

i , −→

OI) . a. Calculer k −→

OI k .

b. Calculer en fonction de θ les coordonnées de P , Q , M . c. Que peut-on en déduire pour E ?

3. (cercles de Chasles) On dénit les points I _θ et J _θ par :

−−→ OI θ = (a + b) − → e θ

−−→ OJ θ = (a − b) − → e _−θ

Montrer que le milieu de [I _θ , J _θ ] est le point M et que la droite (I _θ , J _θ ) est la normale en M à E .

Exercice 2

Un repère (O, − → i , − →

j , − →

k ) d'un espace étant xé, on dénit les points suivants par leurs coordonnées

A : (0, 0, 0), B : (0, 1, 0), C : (0, 0, 1) A ⁰ : (a, 0, 0), B ⁰ : (b, 1, 0), C ⁰ : (c, 0, 1)

M

P

P

P

P

P

P

Fig. 2: Ensemble X dans un plan.

avec abc 6= 0 . On pose de plus

s = 1 a + 1

b + 1 c

et on suppose s 6= 0 . Il n'est pas nécessaire de faire une gure.

1. Montrer que les trois plans (A ⁰ BC) , (AB ⁰ C) , (ABC ⁰ ) ont un point commun S dont on déterminera les coordonnées.

2. Montrer que les trois plans (AB ⁰ C ⁰ ) , (A ⁰ BC ⁰ ) , (A ⁰ B ⁰ C) ont un point commun S ⁰ dont on déterminera les coordonnées. Montrer que les droites (SS ⁰ ) et (AA ⁰ ) sont parallèles.

3. Soit T le point d'intersection de la droite (SS ⁰ ) avec le plan (ABC) et T ⁰ le point d'intersection de la droite (SS ⁰ ) avec le plan (A ⁰ B ⁰ C ⁰ ) . Vérier que

−→ T S = −−→

SS ⁰ = −−→

S ⁰ T ⁰

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

MPSI B Énoncé du DS 03 29 juin 2019

Exercice 3

Dans une espace de dimension 3, on considère un ensemble X = {P ₁ , P ₂ , · · · , P _n } de n ≥ 3 points xés distincts et non alignés.

Pour tout point M de l'espace, on pose

d(M ) =

n

X

i=1

k −−→

M P i k

et lorsque M n'est pas dans X

−

→ V (M ) =

n

X

i=1

1 k −−→

M P i k

−−→ M P i

lorsque M n'est pas dans X et − → v est un vecteur quelconque, on pose

q M ( − → v ) =

n

X

i=1

k− → v k ² k −−→

M P i k −

n

X

i=1

( −−→

M P i / − → v ) ² k −−→

M P i k ³

On dira que d est minimale en un point A lorsque d(A) ≤ d(M ) pour tous les points M de l'espace.

1. Montrer que

q _M ( − → v ) =

n

X

i=1

k −−→

M P _i ∧ − → v k ² k −−→

M P _i k ³ 2. Étant donné trois points M , N et P , montrer l'inégalité

k −−→

N P k − k −−→

M P k ≤ ( −−→

N M / −−→

N P ) k −−→

N P k 3. Montrer que s'il existe un point N tel que − →

V (N ) = − →

0 alors d est minimale au point N .

4. S'il existe un entier k entre 1 et n tel que

X

i∈{1,···n}−{k}

1 k −−→

P _k P _i k

−−→ P _k P _i

≤ 1 montrer que d est minimale au point P _k .

5. Si N est le milieu d'un segment [M 0 , M 1 ] , établir l'inégalité 2d(N ) ≤ d(M ₀ ) + d(M ₁ )

En déduire l'unicité du point où d est minimale lorsqu'un tel point existe.

6. Trouver les points où d est minimale dans les cas suivants

a. n = 3 et X est formé par les trois sommets d'un triangle équilatéral.

b. n = 3 et X est formé par les trois sommets d'un triangle dont l'un des angles est compris entre ^2π ₃ et π .

c. n = 8 et X est formé par les huit sommets d'un cube.

d. n = 4 et X = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } où les points P i sont dénis par leurs coordonnées dans un repère orthonormé

P 1 : (0, 0, 0), P 2 : (1, 0, 0), P 3 : (0, 1, 0), P 4 : (x, y, z)

où x , y , z vérient

x ² + y ² + z ² = 1 x + y ≤ −1 (On pourra calculer k −−−→

P 1 P 2 + −−−→

P 1 P 3 + −−−→

P 1 P 4 k )

7. On xe un point M et un vecteur − → u et on pose pour tout t réel M t = M + t − → u , f (t) = d(M t ) Montrer que

f ⁰ (t) = −( − → u / − →

V (M t )), f ⁰⁰ (t) = q M

( − → u )

Que peut-on en déduire lorsque d est minimale en un point M qui n'est pas dans X ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2