Exercice 1
A etB sont deux points du plan tels queAB= 2.On cherche le lieu E des pointsM tels que M A M B = 3.
1.Démontrer que E est l’ensemble des points M tels que M A2−9M B2= 0.
2.G est le barycentre de(A,1),(B,3)et K est le barycentre de (A,1),(B,−3). Démontrer que E est l’ensemble des points M telsq que−−→
M G·−−→
M K= 0 3.Déterminer l’ensembleE et déterminer ses éléments caractéristiques.
Exercice 2 :
SABCD est une pyramide régulière dont la base est un carré de côté aet la hauteur[SO]a pour longueur h.
1. Calculer en fonction dea eth les poduits scalaires :−→SA·−→SO et−→SA·−→SC.
2. Comment choisir h pour que les arêtes [SA] et [SC] soient perpendiculaires. Quelle est alors la longueur de l’arête[SA].
Exercice 3 :
ABCD est un tétraèdre régulier de côté a.
1.a. A0 est l’isobarycentre du triangle BCD. Déterminer le réel m tel que le point G, milieu de [AA0] soit le barycentre de {(A;m),(B; 1),(C; 1) (D; 1)}.Placer ces différents points sur unefigure.
1.b. CalculerGA2 etGB2 eb fonction de a.
2.Déterminer l’ensembleΣdes points M de l’espace tels que6M A2+M B2+M C2+M D2 = 5a2. 3.a. Détermliner l’ensemble Π des pointsM de l’espace tels que M B2+M C2+M D2−3M A2 =a2. 3.b. Vérifier queΠ est le plan médiateur de[AA0].
4. Déterminer l’intersection C de Σ et Π et prouver que les milieux I, J, K des segments [AB],[AC], et [AD]
appartiennent à C.Placer C sur lafigure.
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