ν 2,ν 3et ν 7 sesvaluationsselon2,3 et7.

(1)

Gilles Nithart

1. Trouverlepluspetit entierpositifdontletiersestuncubeparfait,leseptièmeestunepuissanceseptième

parfaite etlehuitièmeest unepuissancehuitièmeparfaite.

Soit

n

^un^tel^nombre,

ν ₂

^,

ν ₃

^et

ν ₇

^ses^valuations^selon

2

^,

3

^et

7

^.

•

^le^tiers^de

n

^est^un^cube^parfait^donc

ν ₃ − 1 ∈ 3 N

,

ν ₂ ∈ 3 N

et

ν ₇ ∈ 3 N

,

•

^le^septième^de

n

^est^une ^puissance^septième^donc

ν ₃ ∈ 7 N

,

ν ₂ ∈ 7 N

et

ν ₇ − 1 ∈ 7 N

,

•

^le^huitième^de

n

^est^une^puissance^huitième^donc

ν ₃ ∈ 8 N

,

ν ₂ − 3 ∈ 8 N

et

ν ₇ ∈ 8 N

,

Puisque

7

^et

8

^sont^premiers^entre^eux

ν ₃ ∈ 56 N

et

ν ₃ − 1 ∈ 3 N

d'où

ν ₃ = 56x = 3y + 1

^ce ^qui^conduit^à

uneéquationdeBézout

56x − y = 1

^de^solution

(2 + 3k, 37 + 56k)

^,^la^plus^petite^en^entiers^naturels^étant

(2, 37)

^pour

k = 0

^d'où

ν ₃ = 56 × 2 = 3 × 37 + 1 = 112

^.

De mêmeona

ν ₂ = 21x = 8y + 3

^d'où

21x − 8y = 3

^dont^les^solutions^sont

(−1 + 8k; −3 + 21k)

^,^la^plus

petiteenentiersnaturelsétantobtenuepour

k = 1

^et^alors

x = 7

^et

ν ₂ = 147

^.

Etenn

ν ₇ = 24x = 7y + 1

^d'où

24x − 7y = 1

^dont^les^solutions^sont

(−2 + 7k; −7 + 24k)

^, ^la^plus^petite

enentiersnaturelsétantobtenuepour

k = 1

^et ^alors

x = 5

^et

ν 7 = 120

^.^D'où

n = 3 ¹¹² × 7 ¹²⁰ × 8 ⁴⁹

^.

2. Démontrer qu'il existe 2009 nombres entiers distincts qui sont compris entre

2008 ⁷

^et

2009 ⁷

^et ^dont ^le

produit estune puissanceseptièmeparfaite.

Posons

n = 2008

^.S'inspirantduclassique

n ² < n(n + 1) < (n + 1) ²

^on^pense^d'abord^à^:

n ⁷ < n ⁶ ( n + 1) < n ⁵ ( n + 1) < n ⁴ ( n + 1) ³ < n ³ ( n + 1) ⁴ < n ² ( n + 1) ⁵ < n ( n + 1) ⁶ < ( n + 1) ⁷

Quifournit

6

^nombres^de^produit

n ³ (n + 1) ³ 7

.Biensur,noussommesloinducompte

. . .

Ontentealorsdeforcerlachanceengénéralisant

n ² < n(n + 1) < (n + 1) ²

^ainsi^:

Pourquels

k

^,^a-t-on

n ² < (n − k)(n + 1 + k) < (n + 1) ²

^?

n ² < (n − k)(n + 1 + k) < (n + 1) ² ⇐⇒ 0 < n − k(k + 1) < 2n + 1 ⇐⇒ 0 6 k 6 44

Posons

a _k = ( n − k )( n + 1 + k )

^et ^remarquons^que

i 6= j ⇒ a _i 6= a _j

^.

Enmultiplianttroisdecesnombresnousavons

n ⁶ < a _i a _j a _k < ( n +1) ⁶

^et^par^suite

n ⁷ < na _i a _j a _k < ( n +1) ⁷

^.

Soitalorspour

0 6 r 6 44

^:

p ( r ) = Y

06i<j<k6r

na _i a _j a _k

p(r)

^est^un^produit^de

na i a j a k

^distincts^puisque ^que^nous^avons^pris^soin^d'ordonner^les^indices.

Lecardinaldestriplets

(i, j, k)

^étant^donné^par^les^nombrestetraédriques

t(r) = (r − 1)r(r + 1)

6

^.

Un peudedénombrementmontreque:

p(r) = n ^t(r) [(n − r) × · · · × (n + r + 1)]

r ( r −1) 2

Nousvoulonsque

7| t ( r ) ⇐⇒ (7| r − 1

^ou

7| r

^ou

7| r + 1)

^et^aussi^que

7| ^r(r ₂ ⁻ ¹⁾ ⇐⇒ (7| r

^ou

7| r − 1)

^,

ces deuxconditionséquivalentà

r ≡ 0 mod (7)

^ou

r ≡ 1 mod (7)

^.

Nousvoudrionsennque

t(r) = 2009

^ce^qui^est ^faux^pour^tout^r, ^diantre^!

Onpensealorsàfairequelquestrousdansnotreproduit,soitpour

0 6 s < r 6 44

^:

q(s, r) = p(r)

p(s) = Y

s+16i<j<k6r

na i a j a k

Quiestdoncproduitde

t(r) − t(s)

^nombres

na i a j a k

^distincts.^Remarquons^aussi^que

q(s 1 , r 1 )

^et

q(s 2 , r 2 )

n'ont pasde facteur

na i a j a k

^commun^si

r 1 6 s 2

^ou^si

r 2 6 s 1

^. ^On^cherche^donc ^un^produit

q(s 1 , r 1 ) × q(s 2 , r 2 ) × q(s 3 , r 3 ) × · · ·

^avec

s 1 < r 1 6 s 2 < r 2 6 s 3 < r 3 6 · · ·

^où^tous^les

s i

^et ^les

r i

^sont^congrus^à

0

où

1

^modulo

7

^et^tel^que

2009 = [ t ( r ₁ ) − t ( s ₁ )] + [ t ( r ₂ ) − t ( s ₂ )] + [ t ( r ₃ ) − t ( s ₃ )] + · · ·

^.

En observant(attentivement)lalistedes

t ( r )

^pour

r ≡ 0 , 1 mod (7)

^et

0 6 r 6 44

^on^constate^que^:

[ t (43) − t (42)] + [ t (36) − t (35)] + [ t (15) − t (8)] = (13244 − 12341) + (7770 − 7140) + (560 − 84) = 2009

^.

Un produit convenableest donc

p(43)

p(42) × p(36)

p(35) × p(15)

p(8)

^.

(2)

Une implémentation(dansMaxima)plustardetnousavons:

ν 2,ν 3et ν 7 sesvaluationsselon2,3 et7.

n

ν 2

ν 3

ν 7

2

3

7

•

n

ν 3 − 1 ∈ 3 N

ν 2 ∈ 3 N

ν 7 ∈ 3 N

•

n

ν 3 ∈ 7 N

ν 2 ∈ 7 N

ν 7 − 1 ∈ 7 N

•

n

ν 3 ∈ 8 N

ν 2 − 3 ∈ 8 N

ν 7 ∈ 8 N

7

8

ν 3 ∈ 56 N

ν 3 − 1 ∈ 3 N

ν 3 = 56x = 3y + 1

56x − y = 1

(2 + 3k, 37 + 56k)

(2, 37)

k = 0

ν 3 = 56 × 2 = 3 × 37 + 1 = 112

ν 2 = 21x = 8y + 3

21x − 8y = 3

(−1 + 8k; −3 + 21k)

k = 1

x = 7

ν 2 = 147

ν 7 = 24x = 7y + 1

24x − 7y = 1

(−2 + 7k; −7 + 24k)

k = 1

x = 5

ν 7 = 120

n = 3 112 × 7 120 × 8 49

2008 7

2009 7

n = 2008

n 2 < n(n + 1) < (n + 1) 2

n 7 < n 6 ( n + 1) < n 5 ( n + 1) < n 4 ( n + 1) 3 < n 3 ( n + 1) 4 < n 2 ( n + 1) 5 < n ( n + 1) 6 < ( n + 1) 7

6

n 3 (n + 1) 3 7

. . .

n 2 < n(n + 1) < (n + 1) 2

k

n 2 < (n − k)(n + 1 + k) < (n + 1) 2

n 2 < (n − k)(n + 1 + k) < (n + 1) 2 ⇐⇒ 0 < n − k(k + 1) < 2n + 1 ⇐⇒ 0 6 k 6 44

a k = ( n − k )( n + 1 + k )

i 6= j ⇒ a i 6= a j

n 6 < a i a j a k < ( n +1) 6

n 7 < na i a j a k < ( n +1) 7

0 6 r 6 44

p ( r ) = Y

06i<j<k6r

na i a j a k

p(r)

na i a j a k

(i, j, k)

t(r) = (r − 1)r(r + 1)

6

p(r) = n t(r) [(n − r) × · · · × (n + r + 1)]

r ( r −1) 2

7| t ( r ) ⇐⇒ (7| r − 1

7| r

7| r + 1)

7| r(r 2 − 1) ⇐⇒ (7| r

7| r − 1)

r ≡ 0 mod (7)

r ≡ 1 mod (7)

ν ₂

ν ₃

ν ₇

ν ₃ − 1 ∈ 3 N

ν ₂ ∈ 3 N

ν ₇ ∈ 3 N

ν ₃ ∈ 7 N

ν ₂ ∈ 7 N

ν ₇ − 1 ∈ 7 N

ν ₃ ∈ 8 N

ν ₂ − 3 ∈ 8 N

ν ₇ ∈ 8 N

ν ₃ ∈ 56 N

ν ₃ − 1 ∈ 3 N

ν ₃ = 56x = 3y + 1

ν ₃ = 56 × 2 = 3 × 37 + 1 = 112

ν ₂ = 21x = 8y + 3

ν ₂ = 147

ν ₇ = 24x = 7y + 1

n = 3 ¹¹² × 7 ¹²⁰ × 8 ⁴⁹

2008 ⁷

2009 ⁷

n ² < n(n + 1) < (n + 1) ²

n ⁷ < n ⁶ ( n + 1) < n ⁵ ( n + 1) < n ⁴ ( n + 1) ³ < n ³ ( n + 1) ⁴ < n ² ( n + 1) ⁵ < n ( n + 1) ⁶ < ( n + 1) ⁷

n ³ (n + 1) ³ 7

n ² < n(n + 1) < (n + 1) ²

n ² < (n − k)(n + 1 + k) < (n + 1) ²

n ² < (n − k)(n + 1 + k) < (n + 1) ² ⇐⇒ 0 < n − k(k + 1) < 2n + 1 ⇐⇒ 0 6 k 6 44

a _k = ( n − k )( n + 1 + k )

i 6= j ⇒ a _i 6= a _j

n ⁶ < a _i a _j a _k < ( n +1) ⁶

n ⁷ < na _i a _j a _k < ( n +1) ⁷

na _i a _j a _k

p(r) = n ^t(r) [(n − r) × · · · × (n + r + 1)]

7| ^r(r ₂ ⁻ ¹⁾ ⇐⇒ (7| r

2009 = [ t ( r ₁ ) − t ( s ₁ )] + [ t ( r ₂ ) − t ( s ₂ )] + [ t ( r ₃ ) − t ( s ₃ )] + · · ·

(1965) ¹²⁹ (1966) ⁶ (1967) ⁶ (1968) ⁶ (1969) ⁶ (1970) ⁶ (1971) ⁶ (1972) ⁹⁶ (1973) ¹¹ (1974) ¹¹ (1975) ¹¹ (1976) ¹¹

(1977) ¹¹ (1978) ¹¹ (1979) ¹¹ (1980) ¹¹ (1981) ¹¹ (1982) ¹¹ (1983) ¹¹ (1984) ¹¹ (1985) ¹¹ (1986) ¹¹ (1987) ¹¹ (1988) ¹¹

(1989) ¹¹ (1990) ¹¹ (1991) ¹¹ (1992) ¹¹ (1993) ²⁶ (1994) ²⁶ (1995) ²⁶ (1996) ²⁶ (1997) ²⁶ (1998) ²⁶ (1999) ²⁶ (2000) ²²

(2001) ²² (2002) ²² (2003) ²² (2004) ²² (2005) ²² (2006) ²² (2007) ²² 2008 ³⁰⁹ (2009) ²² (2010) ²² (2011) ²² (2012) ²²

(2013) ²² (2014) ²² (2015) ²² (2016) ²² (2017) ²² (2018) ²⁶ (2019) ²⁶ (2020) ²⁶ (2021) ²⁶ (2022) ²⁶ (2023) ²⁶ (2024) ²⁶

(2025) ¹¹ (2026) ¹¹ (2027) ¹¹ (2028) ¹¹ (2029) ¹¹ (2030) ¹¹ (2031) ¹¹ (2032) ¹¹ (2033) ¹¹ (2034) ¹¹ (2035) ¹¹ (2036) ¹¹

(2037) ¹¹ (2038) ¹¹ (2039) ¹¹ (2040) ¹¹ (2041) ¹¹ (2042) ¹¹ (2043) ¹¹ (2044) ¹¹ (2045) ⁹⁶ (2046) ⁶ (2047) ⁶ (2048) ⁶

(2049) ⁶ (2050) ⁶ (2051) ⁶ (2052) ¹²⁹