A377 – Les nombres italiens [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Un nombre rationnel est dit italien s’il est le quotient de deux termes de la suite de Fibonacci :
Q₁. Trouver tous les nombres entiers italiens inférieurs à 200.
Q₂. Quel est le
Q₃. Montrer que dans la suite des entiers naturels, il existe une infinité de paires d’entiers consécutifs qui sont tous deux des nombres italiens.
Solution Q1
Il y a d'abord une solution "triviale".
Les nombres de Fibonacci sont italiens, comme quotients entiers d'un nombre de Fibonacci par F1
= 1. Il y en a onze < 200 :
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Le nombre 1, quotient entier de tout nombre de Fibonacci par lui-même, est déjà compté.
Les solutions non triviales découlent de ce que Fk divise Fn si et seulement si k divise n. Les nombres italiens Fn / Fk sont en bijection avec les couples (n,k) de tout entier n et de ses diviseurs.
Par exemple, F12 = 144 et 12 a pour diviseurs non triviaux 2, 3, 4, 6.
144 est donc divisible par :
F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F6 = 8
Et les nombres italiens correspondants sont les quotients : 144, 72, 48, 18.
On trouve ainsi treize nombres italiens non-nombres de Fibonacci < 200 : 4 7 11 17 18 29 47 48 72 76 122 123 199 Au total donc 24 nombres italiens < 200.
Q2
F19 / F3 = 4181 / 2 = 2090,5 semble un bon candidat.
Q3
La liste ci-dessus fournit des exemples de telles paires.
7 = F8 / F4 8 = F6 / F2
17 = F9 / F3 18 = F12 / F6
47 = F16 / F8 48 = F12 / F4
L'exemple des paires (7,8) et (47,48) suggère une extension au modèle : Fa / Fb = Fc / Fd – 1
avec :
a = 2n b = 2n-1 c = ¾ 2n d = ¼ 2n
Dans l'approximation qui consiste à négliger le terme en φ' = – 1/φ dans : Fk = 1/√5 (φk – φ'k)
on a :
Fa / Fb = φ^2n / φ^2n-1 = φ^2n-1
Fc / Fd = φ^ ¾ 2n / φ^ ¼ 2n = φ^ (¾ 2n – ¼ 2n) = φ^2n-1
Cette approximation rend bien compte de ce que ces nombres italiens sont très proches mais ne fait pas apparaître la différence de 1. Toutefois, on peut faire le raisonnement approché suivant.
Fk n'est pair que si k est multiple de 3.
Fa et Fb sont donc impairs, car a et b sont des puissances de 2, et leur quotient l'est donc aussi.
Fc est pair car c est multiple de 3. Donc Fc / Fd est pair.
Fa / Fb et Fc / Fd sont très proches mais de parité opposée; on peut raisonnablement en déduire qu'ils sont consécutifs.
