Théorème de Bernstein.

Théorème de Bernstein.

2013 – 2014

Référence : Claude Zuily, Hervé Queffélec, Analyse pour l’agrégation, Dunod, 2006, p.518.

Théorème.

Soitf : [0,1]→Cune fonction continue. On pose

ω(h) := sup{|f(u)−f(v)|,|u−v| ≤h}

son module de continuité.

On considère

Bn(f, x) =Bn(x) :=

n

X

k=0

n k

x^k(1−x)^n−kf k

n

len^ième polynôme de Bernstein def. Alors

(i) (Bn)converge uniformément versf sur[0,1].

(ii) kf−Bnk∞≤Cω

√1 n

oùC est une constante.

(iii) L’estimation(ii)est optimale : il existeflipschitzienne telle quekf−B_nk_∞≥ ^√δ_n pour une constante δ >0.

Démonstration. (i) Soit x ∈ [0,1] et (Xi)_i≥1 une suite de variables de Ber- noulli i.i.d de paramètrex. On note Sn:=X1+· · ·+Xn.

On a alors E

f

Sn

n

=Bn(x) et E(f(x)) =f(x) par théorème de transfert, d’où

|f(x)−Bn(x)|= E

f(x)−f Sn

n

≤E

f(x)−f Sn

n

.

1

f est continue sur [0,1] compact donc uniformément continue par le théo- rème de Heine, donc ω(δ) est défini pour toutδ > 0 et limδ→0ω(δ) = 0.

Par ailleurs,|f(x)−f ^S_nⁿ

| ≤2kfk∞donc, pourδ >0, E

f(x)−f Sn

n

≤ω(δ)P

x−Sn

n

≤δ

+ 2kfk_∞P

x−Sn

n

> δ

.

Par l’inégalité de Tchebychev, on a alors P

x−S_n n

> δ

≤Var ^S_nⁿ δ²

=Var(Sn) n²δ²

=x(1−x) nδ²

≤ 1 4nδ². On en déduit que, pour toutx∈[0,1],

|f(x)−Bn(x)| ≤ω(δ) +kfk∞

2nδ², d’où

lim sup

n→+∞

kf−Bnk∞≤ω(δ).

Le résultat vient de lim_δ→0ω(δ) = 0.

(ii) Affinons le résultat de convergence uniforme prouvé ci-dessus. On a d’abord E

f(x)−f Sn

n

≤Eω

x−Sn

n

.

Montrons queω(λh)≤(λ+ 1)ω(h) :

ωest croissante etω(h+k)≤ω(h)+ω(k) donc, par récurrence,ω(nh)≤nω(h) pourn∈N. On a alors, pourλ∈R, ω(λh)≤ω(dλeh)≤ dλeω(h)≤(λ+ 1)ω(h).

On en déduit

|f(x)−B_n(x)| ≤ω 1

√n

E √

n

x−Sn

n

+ 1

=ω 1

√n 1 +√ n

x−Sn

n ₁

≤ω 1

√n 1 +√ n

x−Sn

n ₂

2

par l’inégalité de Hölder. Or

x−Sn

n

2

2

=E

x−Sn

n

2!

= Var

x−S_n n

+

E

x−S_n

n ²

= 1

n²nx(1−x) +

x− 1 nnx

²

= x(1−x)

n .

D’où

|f(x)−Bn(x)| ≤ω 1

√n

1 +√ n

rx(1−x) n

!

≤ 3 2ω

1

√n

.

D’oùkf−B_nk∞≤³₂ω

√1 n

. (iii) On pose f :x7→

x−¹₂

, on aω(h)≤h. Par ailleurs,

kf−Bnk_∞≥ f

1 2

−Bn

1 2

=

Bn

1 2

=E

Sn

n −1 2

= 1

2nE|2Sn−n|.

D’où kf −B_nk∞ ≥ _2n¹E|ε1+· · ·+ε_n| avec ε_j := 2X_j−1 variables de Rademacher i.i.d. D’où

kf−Bnk_∞≥ 1

2nkε1+· · ·+εnk1

≥ 1 2n√

ekε1+· · ·+εnk2

par inégalité de Khintchine.

Orkε1+· · ·+εnk²₂= Var(ε1+· · ·+εn) + (E(ε1+· · ·+εn))²=n. D’où kf−B_nk∞≥ 1

2√

ne ≥ 1 2√

eω 1

√n

.

3

Détails supplémentaires

Proposition (Inégalité de Khintchine).

Soitε₁, . . . , ε_n des variables de Rademacher (i.e. valant ±1 avec probabilité ¹₂) i.i.d. Soitf ∈vect_R(ε₁, . . . , ε_n).

Alors kfk₂≤√

eE(|f|).

Démonstration. On af =P

jajεj et on peut supposerkfk²₂= 1 =P

ja²_j. Posonsg:=Qn

j=1(1 +iajεj). Alors pour presque toutx,

|g(x)|=

n

Y

j=1

q

1 +a²_jε²_j(x)

=

n

Y

j=1

q 1 +a²_j

≤

n

Y

j=1

q exp(a²_j)

= r

expX

a²_j

=√ e.

D’oùkgk∞≤√ e.

De plus, sij∈ {1, . . . , n},

E(ε_jg) =E



ε_j(1 +ia_jε_j)Y

k6=j

(1 +ia_kε_k)





=E(εj(1 +iajεj))E



 Y

k6=j

(1 +iakεk)



 par indépendance desεj

E(εjg) =E(εj(1 +iajεj))Y

k6=j

E(1 +iakεk)

=ia_j carE(ε_j) = 0.

OrE(f g) =Pn

j=1a_jE(ε_jg), d’où|E(f g)|= iPn

j=1a²_j = 1.

Or

kfk1≥ |E(f g)|

kgk_∞ ≥ 1

√e.

4