MPSI 1 CPGE Agadir

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Feuille N°1

Théorie des ensembles Samedi Le: 14-09-2001

Exercice 1 :

SoitEun ensemble non vide , pour toute partieAdeEon associe l’application notée 1A

définie deEvers0, 1par : 1Ax = 1 si x ∈ A, 1Ax = 0 sinon.

1. trouver 1Eet 1_∅.

2. soientAetBdeux parties deEmontrer que : 1A∩B = 1A1B, 1A∪B = 1A+1B −1A1B. 3. soientAetBdeux parties deE,exprimer 1_A^Cet 1AΔBen fonction de 1Aet 1B

4. montrer que l’applicationϕPE→ ϜE,0, 1est injective.

5. en déduire que siA,B et Csont trois parties deEalors :AΔBΔC = AΔBΔC, on dit alors queΔest associative .

Exercice 2 :

soitEun ensemble non vide etf : E  Eune application . Définition : une partieAdeEest dite stable parfsi fA ⊂ A.

1. montrer que toute réunion ou intersection d’une famille quelconque (finie ou non ) de parties deEtoutes stables parfest aussi stable parf.

2. soitA ∈ PEon poseDA = X ∈ PE/A ⊂ X et X stable par f ∗  2.1) montrer que DA≠ ∅.

2.2) on note parA∗l’intersection de toutes les parties qui vérifient (*) montrer que minDA = A∗( NB : la relation d’ordre considérée est l’inclusion) .

3. avec les notation précédentes montrer que : 3.1. ”A ∈ PEetAest stable parfA∗= A 3.2. ”A,B ∈ PExPEA ⊂ B  A∗⊂ B∗

3.3. ”A,B ∈ PExPEon a :A∪B∗= A∗ ∪B∗ 3.4. ”A,B ∈ PExPEon a :A∩B∗⊂ A∗ ∩B∗. 3.5. ”A,B ∈ PExPEon a :DA∪B = DA∩DB. 3.6. ”A,B ∈ PExPEon a :DA∩B = DA∪DB.

Exercice 3 :

SoitEetFdeux ensembles etf : E → F,Aune partie deEetBune partie deF 1. montrer quef⁻¹A = f⁻¹A

2. montrer queff⁻¹B ⊂ B.

3. montrer quef⁻¹fA ⊂ A 4. quand est ce qu’on a égalité?

Exercice 4 : DS 1 (2001-2002)

Montrer que l’applicationf : INxIN → INdéfinie parfn,m = 2ⁿ2m+1est injective est - elle surjective ?

Exercice 5 : Contrôle 1 (2001-2002)

SoientE,FetGtrois ensembles non vides ;f : E → F,g : F → G.

Montrer que :gofsurjective etginjective⇒ fsurjective

Exercice 6:

SoitEensemble ,AetBdeux parties fixes deE, on définit l’application g : PE → PAxPB

X → X∩A,X∩B

1. donner uneCNSpour quegsoit injective.

2. donner uneCNSpour quegsoit surjective.

3. donner uneCNSpour quegsoit bijective.

Exercice 7 :

SoeintE,F,Gdes ensembles ,f :: E → F,g : F → G,h : G → E.

1. Montrer que :gofethogbijectives⇒gethbijectives.

2. Montrer que :gofohetfohoginjectives ethogofsurjectives⇒gethbijectives.

3. Montrer que :gofohetfohogsurjectives ethogofinjectives⇒gethbijectives.

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