an 09. p 29.
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = 9
2 e−2x – 3e-3x . Partie A. Soit l’équation différentielle (E) : y’ + 2y = 3 e−3x . 1. Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’ + 2y = 0.
2. En déduire que la fonction h définie sur IR par h(x) = 9
2 e−2x est solution de (E’).
3. Vérifier que la fonction g définie sur IR par g(x) = −3 e−3x est solution de l’équation (E).
4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E).
Partie B.
On nomme Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i→ , j→ ) d’unité 1 cm.
1. Montrer que pour tout x de IR, on a f(x) = 3 e−2x (3 2 − e−x ).
2. Déterminer la limite de f en +∞, puis la limite de f en –∞.
3. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variation de f.
4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.
5. Calculer f(1) et tracer l’allure de la courbe Cf.
6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm².
f est la fonction définie sur IR par : f(x) = 9
2 e−2x – 3e-3x . Partie A.
Soit l’équation différentielle (E) : y’ + 2y = 3 e−3x . 1. Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’ + 2y = 0.
(E’) : y’ + 2y = 0 ⇔ y’ = −2y
les solutions de cette équation (E’) sont les fonctions définies sur IR par y(x) = C e−2x avec C ∈ IR.
2. En déduire que la fonction h définie sur IR par h(x) = 9
2 e−2x est solution de (E’).
h(x) = 9
2 e−2x est de la forme C e−2x avec C = 9/2 donc h est une solution de (E’).
3. Vérifier que la fonction g définie sur IR par g(x) = −3 e−3x est solution de l’équation (E).
g est solution de (E) à condition que g’ + 2g = 3 e−3x .
g’(x) = −3× (−3x)’e−3x = −3 × (−3) e−3x = 9 e−3x donc g’ + 2g = 9 e−3x – 6 e−3x = 3 e−3x+
donc g est bien solution de (E).
4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E).
f est une solution de (E) à condition que f’ + 2f = 3e-3x c'est à dire g’ + h’ + 2g + 2h = 3 e−3x puisque f = g + h.
or h est une solution de (E’) donc h’ + 2h = 0 et g est une solution de (E) donc g’ + 2g = 3 e−3x on a alors g’ + h’ + 2g + 2h = g’ + 2g = 3 e−3x ce qui est bien le résultat attendu.
donc f est une solution de (E).
Partie B.
On nomme CCCCf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i→→→→ , j→→→→ ) d’unité 1 cm.
1. Montrer que pour tout x de IR, on a f(x) = 3 e−2x (3 2 − e−x ).
f(x) = 9
2 e−2x – 3e-3x = 3×3
2 e−2x – 3 e−2x−x = 3×3
2 e−2x – 3 e−2x × e−x = 3 e−2x (3 2 − e−x ).
2. Déterminer la limite de f en +∞∞∞, puis la limite de f en –∞∞ ∞∞∞.
limite de f en +∞ : quand x → +∞, -2x → –∞
-3x → –∞ donc
e-2x → 0 e-3x → 0 donc
(9/2)e-2x → 0
-3e-3x → 0 et par addition limx→+∞ f(x) = 0 limite de f en –∞ :
quand x → −∞, -2x → +∞
-3x → +∞ donc
e-2x → +∞
e-3x → +∞ donc
(9/2)e-2x → +∞
-3e-3x → -∞ f(x) prend la forme indéterminée « ∞ − ∞ » avec l’écriture de f(x) obtenue au 1. :
quand x → −∞, -2x → +∞
-x → +∞ donc
e-2x → +∞
e-x → +∞ donc
3e-2x → +∞
3/2 - e-x → -∞ et par produit limx→-∞ f(x) = −∞
3. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variation de f.
Il faut pour cela calculer la dérivée de f et étudier son signe.
Construite par composition, multiplication par un réel et différence de fonctions dérivables sur IR, f est dérivable sur IR.
f’(x) = 9
2 ×(−2x)’e−2x – 3×(−3x)’e-3x = 9
2 × −2e−2x – 3×−3e-3x = −9e−2x + 9e−3x = 9e−3x (−ex + 1) = 9e−3x (1 − ex) pour tout réel x, 9 e−3x > 0 donc f’(x) est du signe de 1 – ex
or 1 – ex≥ 0 ⇔ 1 ≥ ex ⇔ x ≤ 0 et donc 1 – ex < 0 ⇔ x > 0 donc : f est dans ]−∞ ; 0[
a une valeur maximale f(0) = 9/2 – 3 = 3/2 f est dans ]0 ; +∞[
4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe CCCCf avec les axes du repère.
Cf coupe l’axe des abscisses quand f(x) = 0.
on a démontré que f(x) = 3e−2x (3 2 − e−x ) on a alors f(x) = 0 ⇔ 3e−2x (3
2 − e−x ) = 0 ⇔ e−x = 3/2 car 3e−2x ≠ 0 et e−x = 3/2 ⇔ −x = ln(3/2) ⇔ x = − ln(3/2).
donc Cf coupe l’axe (O ; i→ ) au point de coordonnées (−ln(3/2) ; 0) Cf coupe l’axe des ordonnées quand x = 0 et f(0) = 3/2
donc Cf coupe l’axe (O ; j→ ) au point de coordonnées (0 ; 3/2).
5. Calculer f(1) et tracer l’allure de la courbe CCCCf. f(1) = 9
2 e−2 – 3e-3 = 9 2e² − 3
e3 ≈ 0,459
6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm².
2
-1
-2
0 1
1
x y
