Démonstration nouvelle de la règle de convergence de Gauss

N

G ^ODEFROY

Démonstration nouvelle de la règle de convergence de Gauss

Nouvelles annales de mathématiques 3^e série, tome 18 (1899), p. 157-160

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1899_3_18__157_0>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1899, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

[D2aa]

DÉMONSTRATION NOUVELLE DE LA KÈGLE DE CONVERGENCE DE (.VISS ;

FAI\ M. GODEFROY,

Bibliothécaire de la Faculté des Sciences de Marseille.

La règle de convergence de Gauss peut s'énoncer : Si dans une série positwe le rapport d'un terme au précédent est de la forme

un+i n'} - h anP~l -+- a i nP~2 - 4 - . . . - h ap-x

un nP -+- p

les termes décroissent constamment à partir d'un cer- tain rang et tendent vers zéro pour b — a ^> o, ils finissent par augmenter indéfiniment pour b — a << o, et ont une limite non nulle pour b — a •= o; la série est convergente quand on a b — a > i \ dans tous les autres cas elle est divergente.

Si Ton pose

et que Ton remplace —— par sa valeur, on trouve pour noin une fraction rationnelle dont les deux termes sont de degré/?; en effectuant la division et limitant le quo- tient à son premier terme b — a, l'expression ncnn peut donc se mettre sous la forme

b ()

A désignant une constante et »(«) une fraction dont la limite est l'unité ou zéro pour n = oc.

( '58 )

I. Soit d'abord b — a >> o, le nombre 0Ln finissant par devenir positif, les termes vont en décroissant à partir d'un certain rang; d'autre part, k étant un nombre compris entre zéro et b — a pour une valeur de n suffisamment grande m, on aura

Uffi

tóm+j

k m

U,i-\

um ( k\[ k \ ! k \

— > H H • • • H , un \ fn ) \ m -\- \) \ n — i /

et, à plus forte raison,

m restant fixe, le second membre de cette inégalité croit au delà de toute limite, lorsque n augmente indéfini- ment; par suite, un tend vers zéro.

II. Soit maintenant b—^<^o, la série de ternie général — se trouve dans les mêmes conditions que la

Un

série de ternie général un dans l'hypothèse précédente, ses termes à partir d'un certain rang, vout donc en dé- croissant et tendent vers zéro ; par suite, ceux de la série considérée finissent par augmenter indéfiniment.

III. Soit enfin b — a •=. o, on trouve alors que n'2GLn

peut se mettre sous la forme

n*xn =zbx — f/H 'f ('O,

\ désignant encore une constante et <p(n) une fraction dont la limite est l'unité ou zéro pour « = x . Si l'on

suppose bK — ay <^ o, le nombre a,, finissant par devenir négatif, les termes vont en croissant à partir d'un cer- tain rang; d'autre part, k étant un nombre supérieur à as — bs pour une valeur de n suffisamment grande m, on aura

U,n k_^

um-L.i m'2 '

W/H-i-2 ( Hl - H l)1 Un ( 1 — l ƒ"

d'où, comme on peut supposer m supérieur à k,

rt à plus forle raison

U,n , f ! J ï I

> I — A r -+- . . . -f- x a 4 - . . . ; W/j L / y i ( A ; i - f - i )2 ( / i — i )2 J

or, la série de terme général — étant convergente, on peut toujours prendre m a^sez grand pour cjue le coef- ficient de A soit inférieur h un nombre positif déter- miné ar plus petit que j ; on a dès lors

a'ⁿ

m restant fixe, uH reste toujours inférieur à un nombre déterminé et fini, lorsque n augmente indéfiniment;

comme il croît constamment, il a donc une limite infé- rieure ou au plus égale à ce nombre et, par suite, non nulle. Il en est de même si l'on suppose bK — aK > o, car, en considérant la série de terme général —y ses

Un

termes, d'après ce qu'il vient d'être dit, croissent

à partir d'un certain rang et tendent vers une limite non nulle, ceux de la série considérée finissent donc par décroître constamment et tendent aussi vers une limite non nulle.

Il résulte de ce qui précède que le seul cas o ù la série puisse être convergente est celui où Ton a b — a^> o\

si l'on applique alors la règle de Raabe, comme la limite de net.,! pour n = oo est égale à b — a, ou en conclut que la série est convergente pour b — a^> \ et diver- gente pour b — fl<i; elle est encore divergente pour b — a = i • en eflel, dans ce cas, eu désignant par i + fi,, le produit noi.,n la limite de n $n est égale à X ou à zéro. La série n'est donc c o m e r g e n t e que si l'on a b — a > F .

BIBLIOGRAPHIE.

GAUSS (Cari Friedrich Gauss Werk e, t. JIJ, p. 139-144).

J. BERTRAND (Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. 1, p. 240-244 )•

EUGÈNE ROUCIIÉ (Nouvelles Annales de Mathématiques,

2e série, t. V, p. 10-14 ; 1866).

BAILLAUD (Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, t. VI, p. 189-192; 1869).

CHARLES BRISSE (Nouvelles Annales de Mathématiques,

2e série, t. IX, p. 36-3j; 1870).

ANONYME (Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série,

[. I X , p . 111-112; 1870).

A. DE SAINT-GERMAIN (Bulletin des Sciences mathéma-

tiqueSy 2e s é r i e , t. X I V , p .i2 i 2 - 2 i 5 ; 1 8 9 0 ) .

CH. MÉRVV (Bévue bourguignonne de l'Enseignement supérieur, t. III, p. 33-4i; 1893).