Analyse algébrique. Démonstration de la règle de Descartes, d'après M. Gauss

G ^ERGONNE

Analyse algébrique. Démonstration de la règle de Descartes, d’après M. Gauss

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 18 (1827-1828), p. 352-359

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352 HEGLE DES SIGNES

c est- i’t-dire

_que pour avoir la

gravité ~~ ,

^{il faut}

en1plo,yer

^{la va-}

leur

de C

^{y et non celle}

de g.

8.

Lorsque ,

par ^les

phénomènes astronomiques ,

^{on détermine}

les musses des

planètes ,

^{ou ,} pour mieux

dire ,-

^les rapports que ^ces

masses ont entre

elles

^on

comprend

nécessairement dans ces nias-

ses celles des

atmosphères

^{dont ces}

planètes peuveiit

^être

envelop- pées. ^Or,

il résulte de ce

qui précède

que la connaissance de ^ces

masses totales ne suffit pas pour déterminer l’Intensité de la gra-

vité,

^{à la}

su?-face

^{de ces}

planètes;

^{car, cette intensité ne}

dépend point

^{des masses des}

atmosphères.

^Il

^faut,

pour la

déterminer ,

connaître

séparément

^{les masses des}

planètes

^et celles de leurs at-

rnosp~~ères ,

^{ou du} moins leur

rapport qui peut

^{être fort diiîerent} d’une

planète

^à

^{l’autre ,}

^et

beaucoup plus

considérable

que

^celui

qui

existe entre la masse du

sphéroïde

terrestre et celle de son atmos-

phère.

.

Turin,

^{le 13} avril 1828.

ANALYSE ALGÉBRIQUE.

Démonstration de la Règle ^de Descartes, d’après

M. Gauss ;

GERGONNE.

LA .

démonstration

de

la

ré~le de ^{D~~~~~ ,}

^{sur les}

signes

^{des ra-}

cines des

~quadon3 ,

donnée par

Segner,

^et

adoptée

^{par la}

plu-

"

part ^{des auteurs} de traités

élémentaires

^{ne laisse sans} doute rien a désirer du coté de la

rigueur ,

mais elle est d’une

exposition

L~ 147, E !cP C Z"~;, ’B- T 7ti~ S.

353

assel,

pénible ,

^{de 60rie}

qu’on

^ne

parvient

^{p~~ ~ sans}

quelque peine

^y

à la faire bien

comprendre

^ans commençant En outre ~ ^la manière dont ^{on en}

brusque

^la

conclusion

dans les traites

d’analyse ~

^sein-

blerait ^la rendre inexacte ou du moins

incomplète.

A la vérité les

professeurs

^{habiles savent} fort bien

suppléer

^{en’ cet endroit au la-}

, conisme ^des auteurs ;

mais,

malheureusement les

professeurs

^{ne sont}

pas ^tous

habiles ,

^et d’ailleurs les personnes

qui

s’instruisent dans les

livres,

^{sans le secours d’aucun}

maître ,

^{ne sauraient}

guère

sup-

pléer

d’elles-mêmes aux omissions

qu’elles

y

rencontrent,

Dans la dernière livraison du Journal allemand de M. Crelle

( tom. ^III,

pag.

i.re ) ,

^{M. Gauss a donné une} démonstration nou-

velle du théorème de

Descartes, qui

^n’est

sujette

^{à aucun de ces}

Inconvéniens ; c’est ,

pour le

fond,

^cette démonstration que ^nous

nous proposons ^de

reproduire ^ici,

^en

n’y

^faisant que

quelques

^chan-

gemens

légers qui

^{nous ont} paru propres à rendre

l’exposition plus

claire et

plus

^{briève encore.} Nous croyons faire ^en cela une chose d’autant

plus agréable

^{à MM.} les Professeurs de nos

écoles ,

que la

démonstration

^de

_la, règle

de Descartes fait actuellement

partie

^du

programme des connaissances

exigées

^des

aspirans à

^l’Ecole

poly- technique.

Soit ^une

équation

^{en x d’un}

degré quelconque

^{dont toutes les}

racines soient

supposées

^connues. Soit fait le

produit

des facteurs binômes

qui répondent

^{tant aux racines}

imaginaires

^{de cette}

équa-

tion

qu’à

^{ses racines}

négatives ,

^{et soit}

représenté

^ce

produit

par X. Soient ^{en outre} oc

j3~

y, .... les racines

positives

^{de cette}

équa- tion ; l’équation

^sera

conséquemment

Soit ordonné le

produit -,Ï

suivant les

puissances

descendantes de

x. Soit alors 1l~x’~ son

premier

^terme que ^nous pouvons

toujours

supposer

positif.

Soit -Nxn son

premier

^terme

nrgalif;

^soit

-~-,Px~

354

REGLE ^DES

SIGNES

le

premier

^terme

positif qui

^se

^présente

à la suite de

celui-là ;

^soit

2013~~

^le

premier

^terme

négatif qui

^le

^{suit ,}

^{et ainsi du reste. Soit}

:t [[.2"’’’

^le

premier

^{des termes} consécutifs

qui

^{ont tous le même}

signe jusqu’au

^dernier

inclusivement ;

^{et soit}

~~ ce

^{dernier terme ,}

on aura ainsi

.t~, N, P, Q,

^{.... U,} V étant des nombres

positifs quelconques,

^et

~ a t~ , p, ~ 9 ^{..~, r~} des nombres entiers continuellenlent décroissans.

Si l’on

lutiltiplie

^le

po!ynome

^X par .r2013o: ~ ^et

qu’on

^ordonne

le

produit

par

rapport

^{à x , le}

premier

^{terme du}

produit

^sera

M.x1Tl+x. Il est

n1anifeste ,

^{en outre,} que ^{le terllle en x’--’-’ sera né-}

gatif,

que le ^{terme en} xl’~’a sera

positif,

que ^{le terme en x~7-~l,}

sera

négatjf,

^et ainsi de suite.

Quant

^{ati terme en}

x’t~‘I ,

^son

signe

sera le même que celui du ^{terme en xu}

dans .~ ,

^{et le} dernier

terme sera

I~(x~;

^{de sorte}

qu’on

^aura

~? ~? ~ ?

""" Il/ étant des nombres

positifs quelconques.

Quant

^{aux termes}

intermédiaires,

^{3 sous}

entendus,

^leurs

signes dépendront,

^dans

chaque

^cas

particulier,-

^de la valeur

numérique

des

coefficiens ; mais , quels qu’ils ^soient,

^{on voit} que, ^y tandis que parvenu ^{au terme} 2013A~" de

(2),

^on avait rencontré une seule va-

riation ;

^{on en aura rencontré une au}

moins, quand

^{on sera} par-

venu au cerrne 2013A~~ de

(3) ;

que, tandis que parvenu ^{au terme}

+PxP

^de

(2) ~

^on avait rencontré deux

variations ;

^{on en aura}

rencontré deux au

moins, quand

^{on sera} parvenu ^{au terme} +

PlzP -,- -

de

(,3) ;

qne , tandis que parvenu ^{au terme}

2013(?~

^de

^{(.2) ,}

^on

avait rencontré trois

variations ;

on en aura rencontré trois au

moins quand

^{on sera parvenu au terme}

2013~~~’

^de

^(3),

^{et ainsi de}

suite ;

de sorte que, parvenus ^{au terme}

~6~r~’

^de

(3),

^{on aura}

rencontré ^autant de variations au moins

qu’on

^{en avait rencontré}

DE DESCARTES.

^-- 355

dans (~)~ lorsqu’on

était parvenu ^{au terme}

~- ~i~~u ;

^{; mais comme}

le

signe

du dernier terme

1~~

^de

(3)

^{est contraire à celui du}

terme

~~7~"’+’’ ~

tandis que le

signe

du dernier ^terme

-~-Y

^de

(2)

^est semblable à celui du terme

~~7~",

^il s’ensuit que ^{. fina-}

lement,

parvenu ^au dernier terme de

(3) ,

^{on aura rencontré tout}

au moins une variation de

plus qu’on

^n’en avait rencontré dans

(2) lorsqu’on

^était

parvenu à

^{son dernier terme ,}

c’est-à-dire,

^en

d’autres termes 3 que dans

~(.r2013(x)

^il y ^{a tout au} moins une va-

riation de

plus qu’il

^{ne s’en trouve dans X.}

Par une raison tout à fait

semblable ,

_{il y} ^{aura tout au} moins dans

.X(jr2013oc)(~2013j3)

^une variation de

plus qu’on

^n’en

^rencontre

^dans

.X(.r2013x)~

^et par suite deux cl-

plus

que ^{n’en offre}

J~;

_{il y} ^aura de ll1êlne dans

~(.r2013(x)(.r2013j3)(~2013~)

^{tout au moins une variation}

de

plus qu’il

^{ne s’en trouve dans}

~‘x-~a)~x--~~ ,

^{et ,} par

suite

tout au moins trois de

plus

que ^n’en renferme

X,

^{et ainsi de}

.

suite ;

^{de sorte} _que ^y

finalement,

^le

premier

^{membre de la}

proposée (t)

^{devra offrir au moins autant de} variations que ^cette

équation.

a de racines

positives.

Si la

proposée

^{n’avait ni racines}

négatives

^{ni racines}

Imaginai-

res, cela reviendrait ^à supposer

.X~ i ,

^{y et la}

proposition

^à

laquelle

nous venons de

parvenir

subsisterait dans toute sa force.

Soit

présentement

^une

équation

^{en .17,}

de degré quelconque, 3J-ant

aussi ^ou du moins

pouvant

^{avoir des racines}

négatives

^{et des ra-}

cines

Imaginaires. Supposons ^’cette équadon complète

^{ou du moins}

rendue

telle,

^{si elle ne} l’est pas , par la restitution des termes

qui manquent y aûectés

du coeflicleat

zéro, auquel

^on pourra ^donner d’ailleurs

quel signe

^{on voudra.}

Soit ensuite

changé ,

^{dans cette}

équation ,

^les

signes

^{de tous}

les termes de rangs

pairs ,

^{il en résultera une} transformée

qui d après

^ce

qui précède ,

^{aura au moins autant} de variations que de racines

po~iti v’es ;

^{mais les} racines de cette

équation

transformée

ne sont autre chose que celle de ^la

proposée prise

^en

signes

^con-

traires ;

^{donc on} pourra dire ^aussi que ^cette transformée aura au

356 REGLE DES SIGNES

moins autant de variations que la

proposée

^aura de racines

néga-

tives.

^{D’un autre}

côté,

^{il est visible}

qu’à chaque

variation de la trans-

formée , répondra

^une permanence dans la

proposée ,

^{et v/ce}

~~e~sd;

de telle sorte que ^le nombre’ des permanences de la

proposée

^sera

précisément égal

^{au nombre des} variations de la

traiisfortiil~e ,

^d’où

il suit que ^la

proposée

^{devra offrir ait moins autant} de perma-

nences de

signes qu’elle

^{aura de racines}

négatives.

En

rapprochant

^cette

proposition

^{de celle}

qui

^{a été démontrée}

en

premier ^{lieu ,}

^{on aura donc ce théorème :}

.~ ~~.~~~~’1~~.~.

Une

équalion

^ne saurait avoir

plus

de racines

positi ~.~es qu’elle ~2’o~’re

^de

variations ,

ⁿⁱ

plus

de raci.,îes

néga-

tives

~u’et’le n’offre

de permanences de

signes.

Supposons présentement

que les racines de la

proposée

^soient

toutes

réelles,

^{et soient r} le nombre de ses racines

positives

^{et r~}

le nombre de ses racines

négatives ;

^{soient de}

plus s

^{le nombre}

de ses variations et s’ le nombre de ses permanences de

signes ;

^on

aura

et,

d’après

^ce

qui

^{vient d’être}

démontré ,

^{on ne} pourra adrnettre ni r &#x3E; s ⁿⁱ

r’ ) s’ ;

i les seules

hypothèses

admissibles seront donc

or, il

n’y

^a que les deux ^{de la}

prentière ligne

^{dont la combinai-}

son

puisse

^vérifier

l’équation (4-);

d’où il suit

qu’elles

^{seront seu-}

les cùnforn1es à la vérité. ^{On a} donc cet autre théol ènle :

~.~LO~i~~’~.~.~. Lorsque

les racines d’une

Priaatlo,~

^{sont toutes réel-}

les,

le nombre de ses racines

positives

^est

pr~cisé~nent égal

^{au nom-}

bre de ses

t,ariati*otîs ,

^{J et le nombre de ses raciraes}

négatives égal

au nombre de ses permanences de

signes.

Supposons présenteuleut

que

l’équation

^ne soit pas

complète;

^des

termes consécutifs

pourront

manquer ^en

plusieurs ^endroits,

^{et ces}

DE DES CARTE S. 357

termes consécutifs

pourront

^{être en nombre}

pair

^en

quêter:~

^en-

droits,

^{et nombre}

impair

^en

d’autres ;

^{en outre , 3} les séries de ter- mes consécutifs

manquant

y pourront manquer ^{tantôt entre des ter-}

mes effectifs de mêmes

signes

^{et tantôt entre des termes effectifs}

d,e signes

contraires.

Cela

posé,

sott oc le nombre des séries de termes consécutifs man-

quant

^{en nombre}

pair ,

^{entre deux termes} effectifs de même

signe,

et soient Ei’1 , C~a ~ CI3 , ... ~7~ ~ les nombres de termes dont se com-

posent

^{t ces diverses}

séries ;

Soit ~

^{le nombre des} séries de termes consécutifs

manquant,

^en nombre

Impair ,

^{entre deux termes effectifs de même}

signe ,

^{et soient}

b l , b’2 , ~3 ?

^{1 .. UI}

b,s,

³ les nombres de termes dont se

composent

^ces diverses

séries ; ,/

Soit ~

^le nombre des séries de termes consécutifs

manquant,

^en

nombre

pair,

^{9 entre deux termes effectifs de}

signes contraires,

^et

soient CI ,

^y c2 , c~ , ^... c~" les nombres de termes dont se compo-

sent ces diverses séries.

Soit

enfu~ ~

le nombre des séries de termes consécutifs man-

qoa~~f ~

^{en nombre}

iyair a

^{entre deux termes électifs de}

signes coi-itt.iires ,

^{et soient}

~~ d~ , d3 ,

^...

d~ ,

les nombres de termes

dont se

composent

^{ces diverses séries.}

Soient en ontre 17 et P les nombres de variations et de per-

manences

qu’eurent

^les diverses séries de termes effectifs et consé- cutifs de

l’équation

que ^nous supposons du 77?.~’

degré.

En considérant

qu’en général k

^termes

manquant cor~s~cr~tiven~ezlt ~

font manquer

k+ 1

^tant variations que permanences ^{on aura .}

~’ar~. ~:Y~II.

⁵⁰

358 REGLF,- DES SIGNES DE DESCARTES.

~ ~}:aOl1S restituons les ^termes

qui nlanquent,

affectés du coeffi-

’

cicnt

z;ro ,

^{y en donnant à ce}

coefficient,

dans chacun

d’eux,

^le

signe qui peut

rendre le nombre des variations le moindre

posai-

hie t

^il e~t visible que le nombre total de ces variations ^{sera seu-} lement

et telle sera aussi

cous é q 11 e Dl Dl e n lIa

^limite que le nombre des ra-

cines rcciïes

positives

^ne pourra

dépasser.

Si

au

contraire,

^nous restituons les ^fermes

qui manquent affectés

du

coefîicieu!.xcro~

^{en donnant à ce}

coei~icier~t ,

dans chacun

d’eux,

le

signe qui peu

^{t rendre} le nombre des

permanences le

^moindre

posbibte ,

^{il est visible} que ^{le nombre} total ^{de ces} permanences ^sera seu!emcnt

et t~l1e sera aussi

consrquernrncn t

^la limite qtle le nombre des racines ^réel1es

1 ~ ives

^iie pourra

dépasser.

l,e ~~~;~E1~~~ lotJl des racines

réelles,

^tant

positives

que

nl~gali-

ves de ia

proposée

^sera

doue,

^an

plus,

le nombre de ^ses racines

Imaginaires

^{sera donc au moins}

on

1)*1(111 ,

^en tiiett,,,tiit pour ^m- y=--~’ ^sa valeur donnée par

l~équa-

111,.1

(5) ,

^e

t’,~.’ fIni ^I ce ~~it ~f ~ t3iC :

.

NOUVELLE METHODE DE

RECHEUCÎIE. 359 359 T~’~’~~~~_~~~.

Le 72~~2~r~ des racines

irna~ i~~arres

^d’une

équa-

~ion

incorn~létc

^{est au /7ï?//2~}

ë~~a~

^ar~ norrhre des /?r~72~J’ dont eale

est

c~cyor~r~we ,

^y

a~tb~~rcnté

de l’e4~~~s du no~n~~ e ~~s sehleS ^~v /2~/?2-

~reS

dln pClrS

^{de termes}

cor?sLcutr~’s 772~/2yz/~/2/

^{3 ~~ar~e ~~a~~’ tc~’~eS}

C~~°C~I~S

^{de mcrr~e}

~Jg7~ ~

^Shlt’ Ï~’ /Z~/72~r~ f~;.’S ~iCt’i~L’S C~C nD~~~rCS ^~/72-’

pairs a’e

^t~~r,~es

ccnsëcut~~s /7~/2y~f?/2~ ~

^{~2/~~ ~~~«~~~ ~~~rr~~es}

~~~~ct~~s,

~~e

J/~/2~~

~~/2//"~/y~J.

On trouvera, à la pag. ³⁸³ du X’lI. e Toi. du

présent

^recueil

et à la pag. 68 de

celi,u-ci ~ quelques

^autres

conséquences

de la rè-

gle

de Descartes.

PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE.

Démonstration nouvelle de quelques propriétés

des lignes ^{du second ordre ;}

Par M. BOBILLIER , professeur ^à l’Ecole des

^{arts et}

métiers de Châlons-sur-Marne.

N-lus

i~iors nous proposons ~ ^nous proposons) dans ^s dans ^ce ce

qu’on qu’on

^{va va}

^{lire , lire ~} d’appliquer d~appliquer

^{la !a mé-mé-}

thode de recherche dont nous avons

déjà

fait l’essai dans un

précé-

dent

article (

pag.

3~0 ) ~

^{à la} déinonstration de

quelques propriétés

connues des

1 i g n es

^du second ordre. C’est en

examinant ,

^en

ef.’l’et

comment cette méthode conduit à -la découverte des vérités

déjà

connues,

qu’on

pourra

juger

^{de ce}

qu’on peut

^en

espérer

^{dans la}

recherche des vérités bien

plus

nombreuses et

plus importances qui

restent encore à découvrir.

1. Soient

A, B, ~lf,

^BI

quatre

^{fonctions linéaires}

quelconques

eti x et

y, et

^soient

~~ o, B=o ,

^les

équ atiolls

^{des deux cûtés}