Num´ ero d’anonymat :
Universit´e Joseph-Fourier – Licence 2
Unit´e d’enseignement STE232 – Physique de la Terre
Examen final du 10 janvier 2008
Dur´ee : 2h – Sans document – Calculatrice autoris´ee
Si l’espace allou´e `a une r´eponse ne vous suffit pas, servez-vous de votre feuille d’examen, que vous rendrez de toute fa¸con en y joignant ce document.
Gardez la guestion ´etoil´ee pour la fin, c’est du bonus (elle est assez difficile).
1 G´ eodynamique globale
1. L´egendez/annotez la figure suivante :
2. Supposons que la langue correspondant au courant descendant ait une ´epaisseur de 200 km, et qu’elle soit attaqu´ee par une ondeP selon la figure suivante (avec une incidence de 45 degr´es)
P
Repr´esentez le chemin suivi par l’onde `a travers cette structure, en expliquant votre raisonnement.
R:
⋆ En supposant cette structure caract´eris´ee par une anomalie de vitesse positive de 5 % par rapport au man- teau environnant (et que nous nous trouvons `a 1500 km de profondeur, ce qui correspond `a une vitesse de r´ef´erence de 12 km/s), calculez l’anomalieδtdu temps de trajet de l’onde due `a la pr´esence de la structure.
R:
2 Mod` ele de g´ eotherme continental
Nous souhaitons ´etablir le profil de temp´erature conductif dans la croˆute continentale. On divise cette derni`ere en deux couches, une croˆute continentale (CC) sup´erieure d’´epaisseur e1, caract´eris´ee par une puissance vo- lum´etrique d´egag´ee par d´esint´egration radioactiveH1, et une CC inf´erieure d’´epaisseure2, caract´eris´ee parH2. Nous supposerons la conductivit´e thermiquekdes roches constante dans les deux couches.
z
z = 0
z =−e1
z =−(e1+e2) T =T0
CC sup´erieure
CC inf´erieure
Manteau
e1 H1
e2 H2
qm~ez qm~ez qm~ez
Par convention, les ´epaisseurse1 ete2 sont positives. Conform´ement au sch´ema, l’axe vertical des zest orient´e vers le haut, z = 0 correspondant `a la surface de la Terre. L’interface entre les deux couches se trouve en z=−e1, et la base de la croˆute enz=−(e1+e2).
1. Pourquoi ne tenons-nous pas compte d’un ´eventuel transport de la chaleur par convection ? R:
2. En r´egime conductif, je vous rappelle l’´equation de la chaleur `a une dimension ρC∂T
∂t =k∂2T
∂z2 +H,
avec T la temp´erature, k la conductivit´e thermique, ρ la masse volumique, C la capacit´e calorifique, et H la puissance d´egag´ee par unit´e de volume par d´esint´egration radioactive.
Donnez l’interpr´etation physique de chacun des trois termes de cette ´equation.
R:
3. Nous cherchons un profil de temp´erature stationnaire dans la CC. Il faut donc r´esoudre
(a) Montrer que dans une couche idonn´ee, la temp´erature est de la forme Ti(z) =−Hi
2kz2+Aiz+Bi,
avecAi etBi deux constantes d’int´egration, `a d´eterminer pour chaque couche.
R:
(b) On suppose la temp´erature connue `a la surface z= 0, ´egale `aT0. En d´eduire la valeur deB1. R:
(c) On suppose ´egalement connu le flux conductif `a la base de la croˆute, enz =−(e1+e2), ´egal `a qm
(il est issu du manteau). Rappelez la loi de Fourier ; ´ecrire la condition `a appliquer enz=−(e1+e2).
R:
(d) En d´eduire que
A2 = 1
k[−qm−H2(e1+e2)]. R:
(e) Pour d´eterminer la valeur des deux constantes manquantes, il faut exprimer la continuit´e du flux de chaleur et de la temp´erature `a l’interface entre les deux couches, en z = −e1. En d´eduire les deux relation suivantes
A1 = A2+e1
k (H2−H1), B2 = B1+ e21
2k(H1−H2). R:
(f) En conclusion, ´ecrire les lois donnantT1(z) etq1(z) pour−e1 ≤z≤0, ainsi queT2(z) etq2(z) pour
−(e1+e2)≤z≤ −e1, en fonction des donn´ees de ce probl`eme.
R:
4. Application num´erique : cas (a) :
– H1= 2,5.10−6 W.m−3,e1 = 10 km, – H2= 0,4.10−6 W.m−3,e2 = 30 km,
– k = 2,5 W.m−1.K−1, qm = 25 mW.m−2, T0 = 273 K.
cas (b) :
– H1= 2,5.10−6 W.m−3,e1 = 30 km, – H2= 0,4.10−6 W.m−3,e2 = 30 km,
– k = 2,5 W.m−1.K−1, qm = 25 mW.m−2, T0= 273 K.
(Seule l’´epaisseur de la CC sup´erieure varie d’un cas `a l’autre.) Pour chaque cas, calculer le flux de chaleur en surface, ainsi que la temp´erature `a 20 km de profondeur.
R:
5. Les figure suivantes repr´esentent la temp´erature et le flux de chaleur dans chacune des croˆutes consid´er´ees.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
T (K)
z(km)
cas (a) cas (b)
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
q (mW.m−2)
z (km) cas (a)
cas (b)
A quels types de r´egions `` a la surface de la Terre peuvent correspondre les cas (a) et (b) ? Justifier bri`evement, et donner si possible des exemples.
R:
Num´ ero d’anonymat :
3 Le champ magn´ etique de la plan` ete Uranus
Uranus est une des six plan`etes du syst`eme solaire poss´edant un champ magn´etique fort d’origine interne, probablement entretenu par un effet dynamo. La sonde Voyager 2, qui fut lanc´ee par la NASA (National Aeronautics and Space Administration) en 1977, passa `a proximit´e d’Uranus pendant 17 heures en 1986, et effectua une s´erie de mesures de son champ magn´etique. Comme nous allons le voir, celui-ci se trouve ˆetre assez diff´erent du champ magn´etique terrestre.
3.1 Pr´eliminaires
Commen¸cons par rappeler la d´efinition des diff´erents ´el´ements magn´etiques permettant de caract´eriser un champ magn´etique.
1. SoitM un point `a la surface d’Uranus. Sur la figure ci-contre, rappelez la d´efinition des trois ´el´ements magn´etiques que sont l’intensit´eF, l’inclinaisonI et la d´eclinaisonD. Sur cette figure,H~ d´esigne la com- posante horizontale du champ magn´etique d’Uranus B.~
2. Donnez les expressions de l’intensit´eF, l’inclinaison Iet la d´eclinaisonDen fonction des composantesX, Y etZ du champ magn´etique.
M•
Nord
Est
bas
X
Y
Z
B~ H~
R:
3.2 Le magn´etisme d’Uranus
Les ´el´ements magn´etiques `a la surface d’Uranus sont repr´esent´es (en projection de Mercator tronqu´ee `a 75 degr´es de latitude Nord et Sud) sur les figures suivantes, par le biais de lignes d’´egale valeur de ces diff´erents ´el´ements. Le pas entre deux lignes de niveau est de 5000 nT pour l’intensit´e, et de 5 degr´es pour l’inclinaison et la d´eclinaison. Les traits en pointill´e indiquent, le cas ´ech´eant, des valeurs n´egatives pour l’´el´ement consid´er´e. La quatri`eme et derni`ere carte montre les lignes isovaleurs du potentiel magn´etique (normalis´e).
Intensit´eF (nT)
10000 20000 20000
20000
30000
30000
30000
40000 40000
40000
40000
40000
50000 50000
50000
60000 60000
70000 80000
90000 120000
0˚
0˚
30˚
30˚
60˚
60˚
90˚
90˚
120˚
120˚
150˚
150˚
180˚
180˚
210˚
210˚
240˚
240˚
270˚
270˚
300˚
300˚
330˚
330˚
0˚
0˚
−75˚ −75˚
−60˚ −60˚
−45˚ −45˚
−30˚ −30˚
−15˚ −15˚
0˚ 0˚
15˚ 15˚
30˚ 30˚
45˚ 45˚
60˚ 60˚
75˚ 75˚
InclinaisonI (deg)
0 0
0 0
20 20
20
40 40
40
60 60
80
80
0˚
0˚
30˚
30˚
60˚
60˚
90˚
90˚
120˚
120˚
150˚
150˚
180˚
180˚
210˚
210˚
240˚
240˚
270˚
270˚
300˚
300˚
330˚
330˚
0˚
0˚
−75˚ −75˚
−60˚ −60˚
−45˚ −45˚
−30˚ −30˚
−15˚ −15˚
0˚ 0˚
15˚ 15˚
30˚ 30˚
45˚ 45˚
60˚ 60˚
75˚ 75˚
−80
−80
−60
−60 −60
−40
−40
−40
−20
−20
−20
−20
D´eclinaisonD(deg)
0
0 0
20
20 20
20
40
40
40
40
60
60
60
80
80
100
100
120 120
140 140
160 160
0˚ 30˚ 60˚ 90˚ 120˚ 150˚ 180˚ 210˚ 240˚ 270˚ 300˚ 330˚ 0˚
−60˚ −60˚
−45˚ −45˚
−30˚ −30˚
−15˚ −15˚
0˚ 0˚
15˚ 15˚
30˚ 30˚
45˚ 45˚
60˚ 60˚
75˚ 75˚
−160 −160 −140
−140
−140
−120
−120
−100
−100
−80
−80
−60
−60
−40
−40
−20
−20
Potentiel magn´etique V (unit´e arbitraire)
0 0
0 0.1
0.1
0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.5
0.5
0˚ 30˚ 60˚ 90˚ 120˚ 150˚ 180˚ 210˚ 240˚ 270˚ 300˚ 330˚ 0˚
−60˚ −60˚
−45˚ −45˚
−30˚ −30˚
−15˚ −15˚
0˚ 0˚
15˚ 15˚
30˚ 30˚
45˚ 45˚
60˚ 60˚
75˚ 75˚
−0.9
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.2
−0.1
−0.1
6
3. Comparez l’intensit´e magn´etique `a la surface d’Uranus `a l’intensit´e du champ magn´etique terrestre `a la surface de la Terre (ordre de grandeur et variabilit´e spatiale).
R:
4. Donner la d´efinition d’un pˆole magn´etique, ainsi que sa caract´erisation en termes d’´el´ements magn´etiques.
R:
5. Combien Uranus compte-t-elle de pˆoles magn´etiques ? Indiquer leur position approximative sur les cartes appropri´ees.
R:
6. Quelle est la diff´erence principale entre le champ magn´etique terrestre et le champ magn´etique d’Uranus ? R:
7. Un explorateur spatial terrien arrive sur Uranus, au point de coordonn´ees (60,−15). Il compte sur sa boussole pour lui indiquer la direction du Nord g´eographique et y planter son drapeau.
(a) Quelle hypoth`ese ce pauvre h`ere fait-il implicitement sur la structure du champ magn´etique d’Ura- nus ? Justifiez.
R:
(b) La surface d’Uranus ne contenant pas de courant ´electrique, il est justifi´e d’y ´ecrire le champ magn´etique−→
B comme d´erivant d’un potentiel V
−
→B =−−−→
gradV.
Les lignes iso-valeurs de ce potentiel (lignes ´equipotentielles) sont repr´esent´ees sur la quatri`eme carte de la page pr´ec´edente (l’unit´e n’a pas d’importance, mais le signe si). En outre, je vous rappelle que le gradient d’un potentiel est orthogonal aux lignes ´equipotentielles.
Tracez la direction et l’orientation du champ magn´etique au point d’arriv´ee de l’explorateur.
(c) Tracez ensuite le chemin suivi par l’explorateur, en indiquant l’endroit o`u il va planter son drapeau.
