On dit quec∈P est un majorant de Qsi pour tout a ∈Q l’on a a≤c

(1)

Ecole Normale Sup´erieure 2005-2006

Cours d’Analyse Fonctionnelle et EDP 7 mars 2006

Chapitre 3 - Espaces de Banach et introduction aux topologies faibles

Dans tout ce chapitreE désigne (sauf mention explicite du contraire) un espace vectoriel normé réel et en fait dès la section 3 un espace de Banach.

1 - Espaces vectoriels norm´es de dimension infinie (A compl´eter)

Lemme (ou axiome) de Zorn. SoitP un ensemble muni d’une relation d’ordre (partiel) noté≤. Soit Q⊂P. On dit queQest totalement ordonné si pour touta, b∈Qon a a≤b oub≤a. On dit quec∈P est un majorant de Qsi pour tout a ∈Q l’on a a≤c. On dit quem ∈P est un élément maximal deP si pourx ∈P on a m≤x impliquem=x. On dit que P est inductif si tout sous-ensembleQtotalement ordonné de P admet un majorant. Tout ensemble ordonné, inductif, non vide, admet un élément maximal.

Lemme de Baire. SoitX un espace m´etrique complet non vide et (Xn) une suite de ferm´es.

- si IntXn=∅pour chaquen≥1 alors Int [

n≥1

Xn =∅.

- en particuliert, si [

n≥1

Xn=X, il existen0tel que IntXn0 6=∅.

R´eciproquement, si (On) est une suite de d’ouverts denses dansX alorsG:=∩On est dense dansX.

2 - Théorèmes de Hahn-Banach, forme linéaire continue, hyperplan et séparation des convexes Théorème 2.1. (forme analytique de Hahn-Banach) SoitEun ev etpune application sous-additive et positivement homogène, i.e. p:E→R+ satisfait l’inégalité triangulaire et

(i⁰) p(λ x) =λ p(x) ∀x∈E, ∀λ >0.

SoitG⊂E un sous-espace vectoriel etg:G→Rune application lin´eaire telle que g(x)≤p(x) ∀x∈G.

Il existe alors une forme lin´eairef d´efinie surE qui prolongeg, i.e.

f(x) =g(x) ∀x∈G et telle que

f(x)≤p(x) ∀x∈E.

Preuve du Théorème 2.1: On définit

P := {h; h:D(h) → R, D(h) s.ev. deE, G⊂D(h), hlin´eaire, h|G=g, h(x)≤p(x)∀x∈D(h)}.

(2)

P est muni de la relation d’ordre:

(h1≤h2) ⇔ D(h1)⊂D(h2) et h2|_D(h1)=h1.

Il est clair que P 6=∅ puisque g ∈P. P est inductif: siQ ={hi}i∈I ⊂ P est totalement ordonné, alors on définit D(h) = ∪i∈ID(hi) et h(x) = hi(x) si x ∈D(hi), de sorte que hest un majorant de Q. Par le lemme de Zorn il existe un élément maximalf àP. Montrons queD(f) =E. Supposons par l’absurde que D(h)6=E. Construisons un majorant strict àf. Il existex0∈E,x0∈/D(f). On définit

D(h) =D(f) +Rx0, h(x+t x0) =f(x) +t α ∀x∈D(f), ∀t∈R, avecα∈R`a d´etreminer. On doit assurer

f(x) +t α≤p(x+t x0) ∀x∈D(f), ∀t∈R, et il suffit de montrer par homogénéité def et homogénéité positive dep

f(x) +α≤p(x+x0), f(x)−α≤p(x−x0) ∀x∈D(f).

Or

f(x) +f(y) =f(x+y)≤p(x+y)≤p(x−x0) +p(y+x0) ∀x, y∈D(f), de sorte que

f(y)−p(y+x0)≤p(x−x0)−f(x) ∀x, y∈D(f),

et il suffit de prendreαcompris entre la borne sup´erieure du terme de gauche et la borne inf´erieure du terme

de droite. tu

Dans toute la suite E d´esigne un e.v.n. Soit E⁰ son dual topologique. C’est l’espace vectoriel des formes lin´eaires continues surE, que l’on munit de la norme duale

kfkE⁰ =kfk= sup

x∈E,kxk≤1

|f(x)|= sup

x∈E,kxk≤1

hf, xi.

On a donc

∀f ∈E⁰, ∀x∈E hf, xi ≤ kfkE⁰kxkE.

Remarque 2.1. La forme analytique de Hahn-Banach affirme en particulier que pour un evn E, un sev G⊂E et une forme lin´eaire continueg∈G⁰, il existe f ∈E⁰ telle que f|G =g et kfkE⁰ =kgkG⁰ (prendre p(x) :=kgkG⁰kxkE).

Corollaire 2.2. Pour toutx∈E, on a kxk= sup

f∈E⁰,kfk≤1

|hf, xi|= max

f∈E⁰,kfk≤1|hf, xi|.

Preuve du Corollaire 2.2. L’inégalité≥est immédiate. Montrons≤. On consièrex6= 0 et on définitG=Rx et l’application linéaire

∀y∈G, g(y) =t avec t∈R tel que y=t x kxk.

Comme kyk = t, on a |g(y)| = kyk. Le théorème de Hahn-Banach affirme l’existence d’une application linéairef :E→Rtelle que|f(x)| ≤ kxk, de sorte quef ∈E⁰ etkfk ≤1, et donc

hf, xi=g(x) =kxk.

u t

(3)

Remarque 2.3. PourE=L^p (ou`^p) avecp∈[1,∞), on prendra simplementg =kfk^1−p_Lp f|f|^p−2∈L^p⁰, pour E=L^∞ on prendrag = sign(f)1K ∈L¹, avec mes(K) = 1 et kg1KkL^∞ =kgkL^∞, pourE =`^∞ on n’a pas en g´en´eralkfk_`¹ =hf, giavecg∈B`¹: prendre par exemplef = (fk),fk= 1−1/k.

Définition 2.3. Soient A, B⊂E. On dit que l’hyperplanH = [f =α], f forme linéaire,α∈R, sépareA etB au sens large si l’on a

f(a)≤α ∀a∈A et f(b)≥α ∀b∈B, s´epareAetB au sens strict s’il existeε >0 tel que

f(a)≤α−ε ∀a∈A et f(b)≥α+ε ∀b∈B.

Rappelons que l’hyperplanH est ferm´e si, et seulement si,f ∈E⁰.

Théorème 2.4. (première forme géométrique de Hahn-Banach). SoientA, B ⊂E deux ensembles convexes, non vides et disjoints. On suppose queAest ouvert. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare Aet B au sens large.

Lemme 2.5. Soit O ⊂ E un convexe ouvert non vide et soit x0 ∈ E avec x0 ∈/ O. Alors il existe un hyperplanH = [f =α] qui s´epare{x0}etO au sens large.

Preuve du Lemme 2.5. Par translation on peut supposer 0 ∈ O. On introduit la jauge p = pO de O.

On rappelle que pO est sous-additive, positivement gomog`ene et O = {x ∈ E, pO(x) <1}. On introduit G=Rx, g:G→R, g(t x0) =t. Il est clair que g(x)≤p(x) ∀x∈Gpuisque g(x0) = 1≤p(x0) (puisque x0∈/O) et g(−x0)≤0≤p(−x0). Par Hahn-Banach analytique, il existef ∈E^∗ tel quef|G =g et

f(x)≤p(x)≤ 2

rkxk ∀x∈E, puisque (r/2)x/kxk ∈O si on choisitr >0 tel queB(0, r)⊂O, puis

|f(x)| ≤ 2

rkxk ∀x∈E,

puisque les deux applications sont (”réelement”) homogènes. En particulier,f ∈E⁰. Enfin,hf, x0i=g(x0) = 1 ethf, xi ≤p(x)<1 pour toutx∈O. L’hyperplanH = [f = 1] convient. tu Preuve du Théorème 2.4. On introduit O =A−B = {a−b; a ∈ A, b ∈ B} qui est non vide, convexe (immédiat), ne contenant pas l’origine (car Aet B sont disjoints) et ouvert (puisque O=∪b∈B(A−y) est une union d’ouverts). On sépare{0}et O au sens large grâce au lemme 2.5. On a donc 0≤ hf, ai − hf, bi pour touta∈A, b∈B et un certainf ∈E⁰. L’hyperplan [f =α], avecα= infa∈Ahf, ai, sépareAet B au

sens large. tu

Théorème 2.6. (deuxième forme géométrique de Hahn-Banach). Soient A, B⊂Edeux ensembles convexes, non vides et disjoints. On suppose queAest fermé etBest compact. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépareAet B au sens strict.

Preuve du Théorème 2.6. On définitAε=A+B(0, ε),Bε=B+B(0, ε). Ce sont des convexes, ouverts, non vides et disjoints pourε < δ/2 avecδ:= dist(A, B)>0. On sépareAεetBεau sens large par un hyperplan H = [f =α] grâce à la première forme géométrique de Hahn-Banach. On a alors

hf, a+ε ui ≤α≤ hf, b+ε vi ∀a∈A, b∈B, u, v∈BE, et donc

hf, ai+η≤α≤ hf, bi −η ∀a∈A, b∈B,

avecη=εkfk. tu

(4)

Corollaire 2.7. SoitF ⊂E un sous-espace verctoriel tel que ¯F 6=E. Alors il existef ∈E⁰ tel quef 6= 0 et hf, xi= 0 ∀x∈F.

R´eciproquement, soitD un sous-espace vectoriel tel que (f ∈E⁰ et f|D = 0 implique f ≡ 0) alorsD est dense dansE.

Preuve du Corollaire 2.7. Prendrex0∈E\F¯et séparerx0 et ¯F au sens strict. tu On déduit également du théorème de Hahn-Banch le résultat fondamental suivant (pour lequel on a également une preuve élémentaire en raisonnant par récurrence surn∈N^∗).

Lemma 2.8. (des noyaux) SoitX un ev. ϕ,ϕ1, ...,ϕn des formes lin´eaires telles que [ϕi(v) = 0 ∀i= 1, ..., n] =⇒ [ϕ(v) = 0],

i.e. \

i=1,...,n

kerϕi⊂kerϕ. Il existe alors des r´eelsλ1, ...,λn tels que ϕ= X

i=1,...,n

λiϕi.

Preuve du Lemme 2.8. On d´efinitF :X→Rⁿ⁺¹,x7→(ϕ(x), ϕ1(x), ..., ϕn(x)),A=F(X) eta= (1,0, ...,0).

L’ensembleAest un convexe (sev), fermé, non vide et, par hypothèse,a /∈A. On peut donc sépareraet A au sens strict dansRⁿ⁺¹: il existe (µ, µ1, ..., µn)∈Rⁿ⁺¹ etα∈Rtels que

µ < α≤µ ϕ(x) + X

i=1,...,n

µiϕi(x) ∀x∈X.

Par linéarité, on déduit

µ ϕ(x) + X

i=1,...,n

µiϕi(x) = 0 ∀x∈X,

ce qui implique µ <0 et on conclut en posantλi =−µi/µ. tu

Désormais dans ce chapitre, tous les espaces vectoriels considérés seront supposés être des espaces de Banach.

3 - Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus.

Théorème 3.1. (Banach-Steinhaus ou Principle of Uniform Boundedness). Soient E et F deux espaces de Banach. Soit (Ti)i∈I une famille d’opérateurs linéaires continus deE dansF. On suppose

(1) sup

i∈I

kTixk<∞ ∀x∈E.

Alors

(2) sup

i∈I

kTikL(E,F)<∞,

i.e. il existeC tel quekTixkF ≤CkxkE pour toutx∈E,i∈I.

Preuve du Théorème 3.1. On définitEn :={x ∈E; sup_i∈IkTixk ≤n}. En appliquant le lemme de Baire, on voit qu’il existen0 tel queEn0 contient une bouleB(x0, r). Alors,

∀i∈I, ∀z∈BE kTi(x0+r z)k ≤n0,

et on conclut ais´ement. tu

(5)

Corollaire 3.2. SoientEetF deux espaces de Banach et soit (Tn) une suite d’opérateurs linéaires continus deE dansF tels que pour toutx∈E,Tnxconverge quandn→ ∞vers une limite notée T x. On a alors

sup

n

kTnk_L(E,F₎<∞, T ∈ L(E, F) et kTk_L(E,F)≤lim inf

n→∞ kTnk_L(E,F).

Preuve du Corollaire 3.2. Comme kTnxkest bornée, par BS, il existeC tel quekTnxk ≤Ckxkpour tout x ∈ E, n ∈N. A la limite, on obtient kT xk ≤ Ckxkpour tout x ∈E. Il est également clair que T est linéaire. Enfin, on akTnxk ≤ kTnkL(E,F)kxkpour toutx∈E, d’où le dernier point. tu 4 - La topologie faible σ(E, E⁰) de E.

Proposition 4.1. La famille de semi-normes (pf)f∈E⁰, pf(x) :=|hf, xi|, s´epare les points.

Preuve du Proposition 4.1. Pour tout x ∈E, x 6= 0, on akxk= maxfpf(x) par le corollaire de la forme analytique du Théorème de Hahn-Banach, et donc∃f ∈E⁰ tel que pf(x)6= 0. tu Définition 4.2. La topologie σ(E, E⁰) est la toplogie d’evtlcs de E associée à la famille de semi-normes (pf)f∈E⁰,pf(x) :=|hf, xi|. Ajoutons deux remarques:

- Pour toutx0∈E, une base de voisinage dex0 pour la topologieσ(E, E⁰) est donn´ee par les ensembles de la forme

V ={x∈E; |hfi, x−x0i|< ε ∀i∈J}

o`uJ est fini, fi∈E⁰ et ε >0.

- La topologie σ(E, E⁰) est exactement la toplogie la moins fine rendant continues toutes les applications lin´eairesx 7→ hf, xi. En effet, pourT :E →R lin´eaire, on ax7→ |T x|est continue (en 0) si, et seulement si,x7→T xest continue.

Remarque 4.3. La topologie σ(E, E⁰) est plus grossière que la topologie (initiale) de E (i.e. induite par la norme): les ouverts de σ(E, E⁰) sont des ouverts pour la topologie forte. Si la dimension de E est finie alors les deux topologies co¨ıncident. En effet, si (ei)i=1,...,N est une base de E, alors la famille des semi-normes (pe^∗_i) engendreσ(E, E⁰) et est équivalente à la norme. Si la dimension deE est infinie alors la topologieσ(E, E⁰) n’est pas métrisable et elle possède strictement moins d’ouverts que la topologie initiale.

Par exemple,U ={x; kxk<1}n’est jamais ouvert pour la topologieσ(E, E⁰) puisque en dimension infinie les ouverts deσ(E, E⁰) contiennent au moins une droite (et en fait un sous-espace affine de dimension infinie).

Exercice 4.3. D´emontrer avec pr´ecision les assertions de la Remarque 4.3.

Remarque 4.4. LorsqueEest de dimension infinie il existeen généraldes suites qui convergent faiblement mais pas fortement. C’est toujours le cas si E⁰ est séparable ou si E est réflexif. Par exemple, si E = H =`²(N), qui est un espace de Hilbert, en particulierH⁰ =`²(N), et si on note en = (δi=n)_i∈N la base Hilbertienne usuelle, alorsen*0 σ(`², `²) etkenk`² = 1 pour toutn≥1. Néanmoins, il existe des espaces de Banach de dimension infinie dans lesquels toute suite faiblement convergente est fortement convergente, par exemple `¹ possède cette propriétérare. Cela n’est pas en contradiction avec le fait que σ(`¹, `^∞) ne co¨ıncide pas avec la topologie de`¹, car (`¹, σ(`¹, `^∞)) n’est pas métrisable.

Exercice 4.4. D´emontrer le lemme de Schur: toute suite de `¹ qui est faiblement convergente (pour la topologieσ(`¹, `^∞)) est fortement convergente (au sens de la norme de`¹).

Proposition 4.5. Soit (xn) une suite deE. On a (i)xn* x σ(E, E⁰) ssihf, xni → hf, xi ∀f ∈E⁰; (ii)xn → xfortement impliquexn* xfaiblement;

(iii)xn* x σ(E, E⁰) implique (kxnk) born´ee etkxk ≤lim infkxnk;

(iv)xn* x σ(E, E⁰) etfn → f fort impliquehfn, xni → hf, xi.

(6)

Preuve de la Proposition 4.5. (i) cf. chapitre 1.

(ii) Puisque|hf, xn−xi| ≤ kfk kxn−xk →0.

(iii) On d´efinit Sy : E⁰ → R, Sy(f) =hf, yi, de sorte que par hypoth`ese Sxn(f)→Sx(f) lorsquen→ ∞ pour toutf ∈E⁰. On remarque que par Hahn-Banach

kSyk= sup

f∈E⁰,kfk≤1

|Sy(f)|= sup

f∈E⁰,kfk≤1

|hf, yi|=kyk.

Par le corollaire de Banach-Steinhaus, on a

∃C kSxnk ≤C et kSxk ≤lim infkSxnk.

(iv) Puisque

|hfn, xni − hf, xi| ≤ |hfn−f, xni|+|hf, xn−xi| →0.

Théorème 4.6. SoitC⊂Econvexe. AlorsCest faiblement ferméσ(E, E⁰) si et seulement s’il est fortement fermé.

Preuve du Théorème 4.6. On sait déjà que faiblement fermé implique fortement ferrmé. Supposons donc que C est un convexe fermé et montrons que O =C^c est ouvert. En effet, étant donnéx0 ∈O, on peut séparer{x0}etC au sens strict:

∃f ∈E⁰, ∃α∈R hf, x0i< α <hf, yi ∀y∈C,

ce qui implique queV :={x∈E, hf, xi< α}est un ouvert deσ(E, E⁰) etx0∈V ⊂O. tu Exercice 4.6. SoitE un espace de Banach et soitC un convexe deE. Montrer qu’il y a équivalence entre (a)C est séquentiellement fermé faible; (b)Cest séquentiellement fermé;

(c)C est ferm´e; (d)C est ferm´e faible.

Exercice 4.7. Soit E un evn de dimension infinie. Montrer que la topologie faible σ(E, E⁰) n’est pas métrisable. (Ind. Raisonner par l’absurde, et supposer qu’il existe une métrique dsur E engendrant une topologie identique àσ(E, E⁰). En particulier, cela implique que pour tout entierk≥1, il existe un voisinage Vk de 0 de la topologie faible tel que

Vk⊂

x∈E; d(x,0)< 1 k

.

En utilisant ces voisinages, montrer qu’il existe une partie débombrableF ⊂E⁰, telle que tout g∈E⁰ est combinaison linéaire d’un nombre fini éléments deF; conclure).

5 - La topologie faible ∗σ(E⁰, E)de E⁰.

Proposition 5.1. La famille de semi-normes (qx)x∈E,qx(f) :=|hf, xi|, s´epare les points.

Définition 5.2. La topologie faible∗σ(E⁰, E) est la toplogie d’evtlcs de E⁰ associée à la famille de semi- normes (qx)x∈E. Pour toutf0∈E⁰, une base de voisinage def0 pour la topologieσ(E⁰, E)∗est donnée par les ensembles de la forme

V ={f ∈E⁰; |hf−f0, xii< ε ∀i∈J} o`uJ est fini xi∈E et ε >0.

Remarque 5.3. On d´efinitE⁰⁰ le bidual deE, comme ´etant le dual deE⁰, muni de la norme ξ∈E⁰⁰ 7→ kξk:= sup

f∈B_E⁰

|hξ, fi|.

(7)

On définitJ :E →E⁰⁰ l’injection canonique comme suit: soit x∈E fixé, l’applicationf ∈E⁰ 7→ hf, xi de E⁰ dansRest linéaire et continue, c’est donc un élément deE⁰⁰ que l’on noteJ x. On a alors

∀x∈E, ∀f ∈E⁰ hJ x, fiE⁰⁰,E⁰ =hf, xiE⁰,E.

Il est clair que J est lin´eaire et queJ est une isom´etrie, i.e. kJ xkE⁰⁰ =kxkE pour toutx∈E; en effet par Hahn-Banach

kJ xkE⁰⁰ = sup

f∈B_E⁰

hJ x, fiE⁰⁰,E⁰ = sup

f∈B_E⁰

hf, xiE⁰,E

H.B.= kxkE.

On peut donc toujours identifiéE=J(E) à un sev fermé (car complet) deE⁰⁰. Il peut arriver queJ(E)6=E⁰⁰ (si E = L¹, L^∞ ou C(K)). Il existe cependant des espaces de Banach tels que J(E) = E⁰⁰ (si E est de dimension finie, siE =L^p, 1< p <∞, ou siE est un espace de Hilbert), on dit alors queE est réflexif.

Quelques propriétés des espaces réflexifs seront présentées au prochain paragraphe. Lorsque queJ n’est pas surjective deE surE⁰⁰(i.e. E6=E⁰⁰) alors la topologieσ(E⁰, E) est strictement moins fine que la topologie σ(E⁰, E⁰⁰). Il existe même des convexes fermés pour σ(E⁰, E⁰⁰) qui ne sont pas fermés pourσ(E⁰, E)∗: par exemple siξ ∈E⁰⁰\E alorsH = kerξ est fermé pour la topologie forte deE⁰, donc pour la topologie faible σ(E⁰, E⁰⁰), mais n’est pas fermé pour la topologie faible∗-σ(E⁰, E).

Proposition 5.4. Soit (fn) une suite deE⁰. On a (i)fn

* f σ(E∗ ⁰, E) ssihfn, xi → hf, xi ∀x∈E;

(ii)fn → f fortement implique fn* f faiblementσ(E⁰, E⁰⁰);

etfn* f faiblementσ(E⁰, E⁰⁰) impliquefn

* f∗ faiblementσ(E⁰, E);

(iii)fn

* f∗ faiblementσ(E⁰, E) implique (kfnk) born´ee etkfk ≤lim infkfnk;

(iv)fn ∗

* f faiblementσ(E⁰, E) etxn → xfort impliquehfn, xni → hf, xi.

Preuve de la Proposition 5.4. identique `a la preuve de la Proposition 4.5.

Remarque 5.5. Sifn* f σ(E⁰, E⁰⁰) ouσ(E⁰, E)∗etxn* x σ(E, E⁰) on ne peut pas conclure quehfn, xni → hf, xi. En effet, dans `², en posant xn = fn = (δi=n)i≥1, on a fn, xn*0 au sens σ(`², `²) et pourtant hfn, xni= 16→0!

Théorème 5.6. SupposonsEséparable. Alors la boule unitéBE⁰ ={f ∈E⁰;kfk ≤1}est séquentiellement compacte au sens de la convergenceσ(E⁰, E).

Preuve du Théorème 5.6. Soit (xp) une suite dense deBE. Soit (fn) une suite deBE⁰. Pour toutp, la suite (hfn, xpi)nest bornée dansR. Par le procédé diagonal de Cantor, on peut extraire une sous-suite (fn_k) telle quehfn_k, xpiconverge vers une limite, notéeTp, pour toutp∈N. En effet, il suffit de définir par récurrence ϕ^p_k telle que (ϕ^p+1_k )⊂(ϕ^p_k) ethf_ϕ^p

k, xpiconverge, puis de prendrenk:=ϕ^k_k.

Pour toutx∈E, la suite (hfnk, xi)kconverge vers une limite not´eef(x). En effet, c’est une suite de Cauchy, puisque pour toutε >0 il existexp tel que kx−xpk ≤ε/3 et donc

En reprenant la fin de la preuve du corollaire de Banach-Steinhaus, on en d´eduit quef est lin´eaire,f ∈E⁰ etkfk ≤1. On a donc fnk

* f∗ faiblementσ(E⁰, E). tu

Proposition 5.7. Soit E un espace de Banach s´eparable. Alors BE⁰ est m´etrisable pour la topologie σ(E⁰, E).

Preuve de la proposition 5.7. Soit (xk) une famille dénombrable et dense deBE. On a montré au chapitre 1 comment construire une distance d dont la topologie induite est équivalente à la topologie T engendrée par la suite de semi-normes (pk) définies par pk(f) :=|hf, xki|. Il suffit donc de montrer que sur BE⁰ la

(8)

topologie σ(E⁰, E) est ´equivalente `a la topologie T. Evidemment σ(E⁰, E) ⊂ T (un ouvert de T est un ouvert de σ(E⁰, E)). Soit maintenant U un ouvert de BE⁰ pour la topologie σ(E⁰, E) et contenant 0. Il existe (yi)i=1,...,n et ε >0 tels que

V :={f ∈BE⁰, |hf, yii|< ε∀i= 1, ..., n} ⊂U.

On fixek1, ...,kn tels quekyi−xkik ≤ε/2. Alors, par in´egalit´e triangulaire, on a W :={f ∈BE⁰, |hf, xkii|< ε/2} ⊂V

de sorte queW ∈ T etW ⊂U. tu

Exercice 5.7. Réciproquement, montrer queBE⁰ est métrisable pour la topologieσ(E⁰, E) alorsE est séparable. (Ind. Soit d une métrique équivalente à la topologie faible σ(E⁰, E). Montrer que pour tout n∈N, il existeDn une partie finie deE et εn>0 tel que

Vn:={f ∈BE⁰; |hf, xi|< εn ∀x∈Dn} ⊂ {f ∈BE⁰; d(f,0)<1/n}.

En déduire une partie dénombrableD deE telle que leR-espace vectoriel engendré par D est dense dans E. PrendreD=∪nDn et vérifier quehf, xi= 0 pour toutx∈D impliquef = 0). Montrer que siEest un Banach de dimension infinie alorsE⁰ n’est jamais métrisable pour la topologieσ(E⁰, E). tu Corollaire 5.8. Soit E un espace de Banach séparable. Alors BE⁰ est compacte pour la topologie

∗σ(E⁰, E).

Remarque 5.9. LorsqueE n’est pas séparable on peut encore montrer que BE⁰ est compacte au sens de la topologie σ(E⁰, E). Il faut pour cela utiliser le théorème de Tykonov qui affirme que tout produit de compacts est compact, dont la démonstration fait appel à la théorie des filtres (et à l’existence d’ultra-filtre), qui repose (et tout cela est plus ou moins équivalent ....) sur le lemme de Zorn/ l’axiome du choix.

Th´eor`eme (Banach-Alaoglu-Bourbaki). (exo) SoitE un espace de Banach. AlorsBE⁰ est compacte pour la topologie∗σ(E⁰, E).

Il existe des convexes fermés (forts ou faibles σ(E⁰, E⁰⁰)) de E⁰ qui ne sont pas fermés de∗σ(E⁰, E) (si E n’est pas reflexif!). Par exemple, H ={ξ = 0}pour ξ ∈E⁰⁰\E. Par contre la boule ferméeBE⁰ est fermée (par BAB) et séquentiellement fermée (direct). Il existe même des convexes fermés bornés deE⁰ qui ne sont pas séquentiellement fermé: prendre H ∩BE⁰. Question: est-il vrai que l’adhérence forteE⁰ d’un ouvert convexe de E⁰ est un fermé∗σ(E⁰, E)?

6 - Espaces r´eflexifs.

D´efinition 6.1. SoitE un espace de Banach et soit J l’injection canonique deE dans E⁰⁰. On dit queE est r´eflexif siJ(E) =E⁰⁰ et dans ce cas on identifie implicitementE et E⁰⁰.

Notons que la réflexivité est une notion topologique: siEest isomorphe àF alorsEest réflexif si et seulement siF est réflexif. En effet, siT :E→F est un isomorphisme d’espace de Banach alorsJF =T^∗∗JET⁻¹, où T^∗∗:E⁰⁰→F⁰⁰dénote l’opérateur bi-adjoint deT, puisque pour toutx∈E,g∈F⁰ on a

hJFT x, gi=hg, T xi=hT^∗g, xi=hJEx, T^∗gi=hT^∗∗JEx, gi.

Définition 6.2. SiT :E→F est un opérateur linéaire continu, on définit l’opérateur adjointT^∗:F⁰→E⁰ par

hT^∗g, xi=hg, T xi ∀x∈E, g∈F⁰.

En effet, on remarque que x 7→ hg, T xi définit une application linéaire continue de E dans R, on la note T^∗g∈E⁰. Il est clair queg7→T^∗gest linéaire et que (par Hahn-Banach forme analytique)

kT^∗k_L(F⁰_,E⁰₎= sup

g∈B_F⁰

kT^∗gkE⁰ = sup

g∈B_F⁰, x∈BE

|hT^∗g, xi|= sup

g∈B_F⁰, x∈BE

|hg, T xi|^H.B.= sup

x∈BE

kT xk=kTk_L(E,F).

(9)

Proposition 6.3. SoitE un espace réflexif. Tout sous-espace vectoriel ferméM⊂Eest un espace réflexif.

Tout produit fini d’espaces r´eflexifs est r´eflexif.

Preuve de la Proposition 6.3.On définit l’opérateur de restrictionR:E⁰→M⁰,f 7→f|M et T :M⁰⁰→E⁰⁰ l’opérateur défini par dualité (i.e. T =R^∗)

∀ξ ∈M⁰⁰, ∀f ∈E⁰ hT ξ, fiE⁰⁰,E⁰ =hξ, R fiM⁰⁰,M⁰. CommeT ξ∈E⁰⁰ et queE est r´eflexif, il existex∈Etel que T ξ=J x. On a donc,

∀ξ ∈M⁰⁰ ∃x∈E; ∀f ∈E⁰ hξ, R fi=hf, xiE⁰,E

Montronsx∈ M. Dans le cas contraire, on peut s´eparer strictement{x} et M dans E: ∃f ∈E⁰, ∃ε >0 tels que

hf, yi ≤ hf, xi −ε pour tout y∈M.

M ´etant un s.e.v., cela impliquef|M ≡0, puis donchf, xi>0. Mais def|M ≡0, on d´eduitR f = 0, puis hf, xi=hξ, R fi= 0 et une contradiction.

Enfin, toute forme linéaire continue surM,ϕ∈M⁰, est la restriction àMd’une forme linéaire continue sur E, ˜ϕ∈E⁰ (par Hahn-Banach). Soit donc, ϕ= ˜ϕ|M =Rϕ. On a donc, pour˜ ξ ∈M⁰⁰ et x∈ M construit comme précédemment:

∀ϕ∈M⁰ hξ, ϕiM⁰⁰,M⁰ = hξ, Rϕi˜M⁰⁰,M⁰ =hT ξ,ϕi˜E⁰⁰,E⁰

= hϕ, xi˜ E⁰,E=hϕ, xiM⁰,M

AinsiM est r´eflexif. tu

Proposition 6.4. SoitE un Banach.

a)E r´eflexif ⇔ E⁰ r´eflexif;

b)E⁰ s´eparable ⇒ E s´eparable;

c)E réflexif et séparable ⇔ E⁰ réflexif et séparable.

Remarque 6.4.Il existeE séparable tel queE⁰ n’est pas séparable (exemples: `¹, L¹). Il existe E e.v.n. tel queE⁰ est réflexif etEne l’est pas (exempleE= (D,k.k`²) de sorte queE⁰ =E⁰⁰=`²).

Preuve de la Proposition 6.4.a) SiE est réflexif, on a (E⁰)⁰⁰= (E⁰⁰)⁰=E⁰ et donc E⁰ est réflexif. SiE⁰ est réflexif, alorsE⁰⁰= (E⁰)⁰ est réflxif etJ(E) (qui est un s.e.v. fermé deE⁰⁰) est réflexif. On en déduit queE (qui est isomorphe àJ(E)) est réflexif.

b) Soit (fn) une suite dénombrable dense dansE⁰. Soit (xn) une suite deEtelle quekxnk= 1 ethfn, xni ≥ kfnk/2. On désigne parL l’ensemble des combinaisons linéaires finies à coefficients dansQdes (xn) etM leR-e.v. engendré par les (xn). On sait déjà (par construction) queM est séparable. Montrons qu’il est dense dansE. Soitf ∈E⁰ tel quehf, xi= 0 pour toutx∈M. Etant donnéε >0, il existefn ∈E⁰ tel que kf−fnk< ε. On a alors

1

2kfnk ≤ hfn, xni=hfn−f, xi+hf, xni=hfn−f, xi ≤ kf−fnk< ε.

Donckfk ≤ kf−fnk+kfnk ≤3ε, etf = 0. On d´eduit d’un corollaire de Hahn-Banach que M est dense

dansE. tu

c) On sait déjà que si E⁰ est réflexif et séparable alors E est réflexif et séparable. Inversement, si E est réflexif et séparable, alorsE⁰⁰ est réflexif et séparable, et donc égalementE⁰. tu Proposition 6.5. SoitE un espace réflexif. SoitF ⊂E⁰ un sev fermé tel que (x∈E ethf, xi= 0∀f∈F impliquex= 0). AlorsF =E⁰.

(10)

Preuve de la Proposition 6.5. On applique un corollaire de Hahn-Banach géométrique. Soitξ∈E⁰⁰tel que hξ, fi= 0∀f ∈F. On a alors, pour un certain x∈E, ξ=J x, hf, xi= 0∀f ∈F, et donc par hypothèse,

x= 0. On en d´eduitξ= 0 etF est dense dansE⁰. tu

L’intérêt principal des espaces réflexifs réside dans le résultat suivant (à comparer avec le théorème de Riesz) qui est une agrégation des théorèmes 4.6, 5.6 et des propositions 6.3 et 6.4.

Théorème 6.6. SoitEun espace réflexif. SoitK⊂E un sous-ensemble convexe, fermé et borné. AlorsK est séquentiellement compact pour la convergenceσ(E, E⁰).

Preuve du Théorème 6.6. Supposons dans un premier tempsE séparable. AlorsE⁰ est séparable (Proposi- tion 6.4) et la bouleBEest séquentiellement compacte pour la topologieσ(E, E⁰) =σ((E⁰)⁰, E⁰) (Théorème 5.6). Soit (xn) une suite deK, c’est donc aussi une suite dem BEpourmassez grand. Grâces aux remarques précédentes, on peut extraire une sous-suite (xnk) qui converge versx∈E au sens de la convergence faible σ(E, E⁰). On ax∈K (Théorèmes 4.6), ce qui conclut dans ce cas.

On ne suppose plusE séparable. Etant donné une suite (xn) deK on introduitM la fermeture de l’espace vectoriel engendré par les (xn). C’est un espace réflexif séparable (Proposition 6.3) ce qui permet d’appliquer la première étape: il existe une sous-suite (xnk) et x∈K tels que xnk* xau sensσ(M, M⁰). On conclut

en remarquant queE⁰ ⊂M⁰. tu

Th´eor`eme 6.7 (Kakutani et Eberlein-Smulian) (admis). Soit E un espace de Banach. Il y a

´equivalence entre (i)E est r´eflexif;

(ii)BE est compact pour la topologie σ(E, E⁰);

(iii)BE est s´equentiellement compact pour la convergenceσ(E, E⁰).

7 - Espaces uniform´ement convexes.

D´efinition 7.1. On dit qu’un espace de BanachE est uniform´ement convexe si: ∀ε >0∃δ >0 tel que x, y∈BE et ky−xk> ε

⇒

x+y

2

<1−δ .

Remarque 7.1. On vérifie aisément (faire un dessin en introduisant un troisième point) que si

∀ε >0, ∃δ >0 x, y∈E, kxk=kyk= 1 et ky−xk> ε

⇒

x+y

2

<1−δ , alorsE est uniform´ement convexe.

Exemples 7.1. - Un espace de Hilbert (H,(., .)) est uniformément convexe pour la norme associée au produit scalaire|.|= (., .)^1/2. En effet, d’après l’identité du parallélogramme

a+b 2

2

+

a−b 2

2

=1

2(|a|²+|b|²) ∀a, b∈H, on a pour toutε >0,u, v∈BH,|u−v|> ε,

u+v 2

2

<1−ε² 4 et

u+v 2

<1−δ, δ:= 1−

1−ε² 4

^1/2 .

- Les espaces`^pet L^p sont uniform´ement convexes pourp∈(1,∞) (on verra cela au chapitre 4).

- Les espaces`¹,`^∞,c0,L¹,L^∞,C(K) ne sont uniform´ement convexes. On a par exemple dansL¹(R) avec u=1[0,1],v=1[1,2] `a la foiskukL¹=kvkL¹ = 1 etku−vkL¹ = 2>0 et pourtantk(u+v)/2kL¹= 1. Dans

(11)

L^∞(R) on prendw=u+v, z=u−v de sorte quekwkL^∞ =kzkL^∞ = 1,k(w+z)/2kL^∞= 1 et pourtant kw−zkL^∞ = 2>0.

Théorème 7.2. SoitE un espace de Banach uniformément convexe. Soit (xn) une suite dansE telle que xn* xpour la topologieσ(E, E⁰) et

lim supkxnk ≤ kxk.

Alorsxn→xfortement.

Preuve du Th´eor`eme 7.2. On peut supposer x 6= 0. On introduit λn = max(kxnk,kxk), yn = λ⁻¹_n xn et y=kxk⁻¹x. On a alors λn → kxk, kynk ≤1,kyk= 1 etkynk → kyk. Il suffit de montrer que yn →y dans E pour conclure.

On remaque que

yn+y 2

→1, puisque yn+y

2 * y implique kyk ≤lim inf

yn+y 2

et lim sup

yn+y 2

≤ 1

2(limkynk+kyk) =kyk.

Cela impliqueky−ynk →0 (puisque dans le cas contraireyn⁰, y ∈BE et ky−yn⁰k ≥ε >0 impliquerait

yn+y 2

≤1−δ). tu

Soient E et F deux evn. On dit que ϕ: E →F est G-dérivable en x ∈ E (ou différentiable au sens de Gâteaux) s’il existeA∈ L(E, F) linéaire continue, on noteA=ϕ⁰(x), telle que

∀y∈E, ∀t∈R ϕ(x+t y)−ϕ(x)−t A y=o(t).

Théorème 7.3. SoitEun espace de Banach uniformément convexe. On suppose que l’applicationϕ:E→ R,x 7→ kxk² est G-dérivable. On suppose enfin qu’il existe un sevF ⊂E⁰ tel que pour tout x∈E on ait ϕ⁰(x)∈F. AlorsE⁰ =F.

Commen¸cons par présenter une conséquence immédiate de ce résultat.

Théorème 7.4 (de représentation de Riesz-Fréchet). SoitH un espace de Hilbert. AlorsH⁰ =H.

Plus précisément, étant donnéf ∈H⁰, il existeu∈H tel que hf, vi= (u, v) ∀v∈H.

De plus,kfk=|u|.

Preuve du Théorème 7.4. On définit l’applicationT:H →H⁰ par

∀x, y∈H hT x, yi= (x, y).

Il est clair que T est une isométrie (kT xk =|x| ∀x ∈ H) et F = T(H) est un sev de H⁰. D’autre part, ϕ : H → R, y 7→ |y|² est G-dérivable en tout point x ∈ H, de dérivéehϕ⁰(x), zi = (2x, z). On a donc

ϕ⁰(x)∈F. tu

Lemme 7.5. SoitE un espace de Banach uniform´ement convexe. SoitK⊂Eun convexe ferm´e non vide.

Il existe une applicationpK:E→Ktelle que

∀x∈E, kx−pKxk= min

y∈Kkx−yk.

Si de plus, l’applicationϕ:E→R,x7→ kxk² estG-d´erivable, alors (1) hϕ⁰(x−pKx), y−pKxi ≤0 ∀y∈K,

(12)

et cette relation caract´erisepKx.

Si enfinM⊂E est un sev ferm´e, alors

(2) hϕ⁰(x−pMx), zi= 0 ∀z∈M.

Preuve du Lemme 7.5. i) existence. Soitx∈E\K et soityn ∈Ktelle que kx−ynk=Jn d´ecroˆıt et Jn → J = inf

y∈Kkx−yk>0.

On a doncx−yn∈BE(0, Jp),x−yp∈BE(0, Jp) pourn≥p. Si∃ε >0 tel quekyn−ypk> ε Jp alors, par uniforme convexit´e, il existeδ >0 tel que

x−yn+yp

2 =

(x−yn) + (x−yp) 2

≤Jp(1−δ)< J,

pourpassez grand, ce qui serait absurde. Donc (yn) est une suite de Cauchy. On notepKx sa limite.

ii) unicit´e. Siy1, y2∈K satisfontkx−y1k=kx−y2k=J et y16=y2 alorskx−(y1+y2)/2k< J, ce qui est absurde.

iii) preuve de (1) et (2). On a pour touty∈K et t∈(0,1)

kx−pKxk² ≤ kx−[(1−t)pKx+t y]k²=kx−pKx+t(pKx−y)k²

≤ kx−pKxk²+thϕ⁰(x−pKx), pKx−yi+o(t).

On conclut en divisant part et en passant `a la limitet→0. Pour le point (2) on remarque que pour tout z∈M, il existey, y⁰∈M tels que y−pMx=z,y⁰−pMx=−z, et on utilise (1). tu iv) (1) et (2) caract´erisentpKx. On remarque que commeψ(a) :=ϕ(a−pKx) est convexe, on a

(3) ψ(b)−ψ(a)≥ hψ⁰(a), b−ai.

En effet, il suffit d’écrire le critère de convexité

ψ(t b+ (1−t)a)≤t ψ(b) + (1−t)ψ(a) sous la forme

1

t[ψ(a+t(b−a))−ψ(a)]≤ψ(b)−ψ(a)

et de passer à la limite t → 0. Si pKx ∈ E vérifie (1) on déduit que pKx est solution du problème de minimisation grâce à (3).

Exercices 7.5. a) Montrer que x 7→ pKx est continue. (Ind. Prendre une suite xn → x /∈ K (le cas x∈Kest trivial) et montrer queJn= dist(xn, K)→J = dist(x, K). En d´eduire que l’on ne peut pas avoir kpKxn−pKxk ≥ε >0 pour toutn.

b) Montrer que dans le lemme 7.5 on peut remplacer l’hypothèse ”E un espace de Banach uniformément convexe” par l’hypothèse ”Eest un espace réflexif”.

Preuve du Théorème 7.3. Soitf ∈E⁰, f 6= 0. On définit l’hyperplan ferméM = kerf 6=E. Soit x0∈E, x0∈/M. Alors

hϕ⁰(x0−pMx0), yi= 0 ∀y∈M,

i.e. kerf ⊂kerϕ⁰(x0−pMx0). Il existe doncλ6= 0 tel quef =λ⁻¹ϕ⁰(x0−pMx0)∈F. tu Théorème 7.6 (Milman-Pettis). Tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif.

8 - Espaces de Hilbert.

(13)

Définition 8.1. SoitH un espace vectoriel. On appelle produit scalaire, on note (., .) une forme bilinéaire deH×H dansR, symétrique, définie positive:

∀u∈H (u, u)≥0 et (u, u) = 0 ⇒ u= 0.

On dit queH est un espace de Hilbert s’il est muni un produit scalaire (., .) et s’il est complet pour la norme associ´ee au produit scalaire: ∀u∈H |u|= (u, u)^1/2.

Remarque 8.1. Rappelons qu’un produit scalaire vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz:

∀u, v∈H |(u, v)| ≤ |u| |v|.

En effet, il suffit de développer (en utilisant la bilinéarité du produit scalaire) l’expression 0≤(u+t v, u+t v) et d’écrire la condition pour un polynôme du deuxième degré en t d’être toujours positif. L’inégalité de Cauchy-Schwarz permet de vérifier facilement que |.| satisfait l’inégalité triangulaire et en conclure que

|.| : H →R+ est bien une norme. Enfin, une norme issue d’un produit scalaire est caractérisé par le fait qu’elle vérifie l’identité du parallélogramme:

∀a, b∈H

a+b 2

2

+

a−b 2

2

= 1

2(|a|²+|b|²).

Théorème 8.3. (Projection sur un convexe fermé)SoitK⊂H un convexe fermé non vide. Il existe une applicationpK :H →K telle que

(4) ∀u∈H, |u−pKu|= min

v∈K|u−v|.

De plus,pKuest caract´eris´e par

(5) (u−pKu, v−pKu)≤0 ∀v∈K.

et l’applicationpK:H→Kest 1-Lipschitzienne. Si enfinM⊂Eest un sev fermé, alorspMuest caractérisé par

(6) pMu∈M, (u−pMu, v) = 0 ∀v∈M.

Preuve du Théorème 8.3. Les seuls points nouveaux sont le caractère Lipschitzien (cas général) et linéaire (siK=M sev) depK.

On a

(u1−PKu1, v−PKu1)≤0, (u2−PKu2, v−PKu2)≤0 ∀v∈K.

On prendv=u2dans la première inégalité etv=u1 dans la seconde inégalité. On obtient (u1−PKu1−u2+PKu2, PKu2−PKu1)≤0

de sorte que

et donc|PKu2−PKu1| ≤ |u2−u1|. tu

Th´eor`emes de Stampacchia et de Lax-Milgram Somme Hilbertienne et Base Hilbertienne.

9 - Quelques Compl´ements.

(14)

Dans cette section nous démontrons quelques résultats ”abstraits” supplémentaires liés aux topologies faibles dans les espaces de Banach.

Questions: SoitX un espace de Banach muni d’une topologie/converge faibleσ(X, Y) avecY ⊂X⁰telle que cette topologie sépare les points. Plus précisément, on considèreX=Emuni de la topologie/convergence faibleσ(E, E⁰) ouX=E⁰muni de la topologie/convergence∗σ(E⁰, E).

1 - SoitT une forme lin´eaire surX. A-t-onT est s´equentiellement faiblement continue ssiT est faiblement continue ? 2 - Montrer queU:={x∈E, kxk<1}n’est pas ouvert pour la topologie faibleσ(E, E⁰) siEest de dimension infinie.

3 - La topologie faible deX fait-elle deX un espace complet?

Réponses: 1 - SoitT :X →Rune forme linéaire séquentiellement faiblement continue dansX. Montrons queT(BX) est borné. Dans le cas contraire, il existe .existe une suite (xn) telle quexn∈BXetT(xn)≥n. On arrive à une contradiction en considérantyn=n^−1/2xn→0 dansX fort (donc dansXfaible) et pourtantT(yn)≥n^1/26→0!

2 - SiUest ouvert au sens deσ(E, E⁰), il existeε >0 etf1, ..., fn∈E⁰tels que 0∈∆ :=

n

\

i=1

kerfi⊂ {x∈E;|hfi, xi|< ε∀i= 1, ..., n} ⊂U,

et on peut supposer que lesfisont lin´eairement ind´ependantes. Soit ∆ contient un point autre que l’origine et donc une droite et cela contredit l’inclusion ∆⊂U, soit ∆ ={0}. Cela signifie alors que pour toutf∈E⁰on a∩kerfi⊂kerfet par le lemme des noyaux, il existe (λi) tels quef=P

λifi. On a doncE≈Rⁿet doncE⊂E⁰⁰≈Rⁿ. DoncE est de dimension finie.

3 - Il y a a priori deux sens à donner aux suites de Cauchy: une suite de Cauchy séquentielle est une suite (xn) telle que (hy, xni) est de Cauchy pour tout y ∈ Y; une suite de Cauchy au sens topologique est une suite (xn) telle que pour tout voisinageV de l’origine (au sensσ(X, Y)) il existeN tel quexn−xp∈V ∀n, p≥N. En fait, ces deux notions co¨ıncident (reprendre la preuve du fait que la convergence au sens topologique est la convergence ”dans chaque direction”). Ce qui est clair est que l’espaceE⁰muni de la convergenceσ(E⁰, E)-∗est complet (il suffit d’appliquer Banach-Steinhaus), donc également la topologieσ(E, E⁰) siEest réflexif. Il est également vrai queL¹muni de la convergenceσ(L¹, L^∞) est complet (voir la preuve de Dunford-Pettis, cela provient de ce queL¹_loc⊂L²_loc+εB_L¹ pour toutε >0). Idem pour`¹ muni de la convergence faible σ(`¹, `^∞): il est complet (cela se montre ”coordonnée par coordonnée”). Par contre la topologieσ(c0, `¹) n’est pas complète (doncE=c0,E⁰=`¹,E⁰⁰=`^∞). En effet, soitxn= (1, ...,1,0, ...,0, ...). Pour touty∈`¹ on ahy, xni →P

yn=hy,1io`u 1 = (1, ....,1, ....)∈ `^∞\c0. On en d´eduit que (xn) est de Cauchyσ(c0, `¹) mais ne converge pas au sens de cette topologie.

On peut ”généraliser” en considérant un espace E tel queE et E⁰ sont séparables mais pas E⁰⁰ 6=E. Alors soitξ∈E⁰⁰\E et disonskξk_E⁰⁰ ≤1. Alors d’une part, par le lemme de Golstine,B_E est denseσ(E⁰⁰, E⁰) dansB_E⁰⁰. D’autre part,E⁰étant séparable, la topologieσ(E⁰⁰, E⁰) restreinte àB_E⁰⁰ est métrisable, doncB_Eest séquentiellement denseσ(E⁰⁰, E⁰) dansB_E⁰⁰. Il existe donc une suite (xn) deBE qui convergeσ(E⁰⁰;E⁰) versξ. Alors (xn) est de Cauchy pour la topologieσ(E, E⁰) puisque hf, xni=hJxn, fi → hξ, fi, mais ne converge pasσ(E, E⁰) car alors on aurait également∀f∈E⁰hf, xni=hf, xi, de sorte que

∀f∈E⁰hf, xi=hξ, fietξ=J x∈E!

Proposition 8.1. - Une application lin´eaireϕ:E⁰→Rest continue pour la topologie∗σ(E⁰, E) si, et seulement si,ϕ=J x pour un certainx∈E.

- L’hyperplanH:= [ϕ=α] est ferm´e pour la topologie∗σ(E⁰, E) si, et seulement si,ϕ=J xpour un certainx∈E.

Lemme de Goldstine. SoitEun espace de Banach. AlorsJ(BE) est dense dansB_E⁰⁰ pour la topologieσ(E⁰⁰, E⁰).

Th´eor`eme 8.2 (Banach-Alaoglu-Bourbaki). L’ensembleB_E⁰:={f∈E⁰, kfk ≤1}est compact pour la topologie faible

∗σ(E⁰, E).

Théorème 8.3 (Kakutani). Un evnEest réflexif si, et seulement si,B_E:={x∈E, kxk ≤1}est compact pour la topologie faibleσ(E, E⁰).

Théorème 8.4. SoitE un espace de Banach. AlorsE est séparable si, et seulement si, B_E⁰ := {f ∈E⁰,kfk ≤1} est métrisable pour la topologie faible ∗σ(E⁰, E). De même,E⁰ est séparable si, et seulement si,B_E :={x∈ E, kxk ≤1} est métrisable pour la topologie faibleσ(E, E⁰).

Lemme 8.5 (Mazur). SoientE un espace de Banach et (un) une suite d’´el´ements deEqui converge faiblement versu∈E.

Alors

a) - pour toutn∈N, il existe une suite (vn) dans l’enveloppe convexe de{uk}k≥nqui converge versufortement.

b) - pour toutn∈N, il existe une suite (wn) dans l’enveloppe convexe de{uk}k≤nqui converge versufortement.

Preuve du Lemme 8.5.a) - SoitAn:= conv{uk, k≥n}l’enveloppe convexe de{uk}k≥n. L’ensembleFn=Anest un convexe fermé deE, c’est donc un convexe fermé faible deEet donc également un convexe séquentiellement fermé faible deE. Comme uk∈Fnpour toutk≥non en déduit queu∈Fnpour toutnet donc il existevn∈Antel que (par exemple)kvn−uk ≤1/n.

b) - Soit Bn := conv{u_k, k ≤ n} l’enveloppe convexe de {u_k}_k≤n. C’est une suite croissante de convexes de sorte que G:= limGpest un convexe fermé deE. L’ensembleGn=Bnest un convexe fermé deE, donc un séquentiellement fermé faible deE. Deun∈Gpour toutnon déduit queu∈Gpuis qu’il existezn∈Gtelle quekzn−uk ≤1/npour toutn∈N^∗. On pose σ(1) = 1 et on construit par récurrenceσ(n) comme étant le plus petit entierk∈ {σ(n−1) + 1, σ(n−1) + 2, ...}tel quezn∈Gk. Ainsiσ est injective strictement croissante etω=σ⁻¹ est croissante non stationnaire (on poseω(k) = min(i; σ(i)≥k)) de sorte quewn=z_ω(n)∈Gn(carσ(i)≥iimpliqueω(k)≤k) etkwn−uk= 1/ω(n)→0. tu