-Vibrations-
Corrigé: Travaux dirigés
Série 1
EXERCICE 1 :
-mouvement plan :z=0 -M sur la paroi y =a x2
-
==> (∑) est conservatif à 1 paramètre principal : x (∑) ={ M} donc 3 paramètres primitifs x , y , z.
Toutes les liaisons sont prises principales:
- Contact sans frottement
0 x x a 2 )
/ ( avec
. .
0
x R
M
V
) / ( M R
0U
Pet Qx = o car le non frottement est une liaison
Donc : l’équation du mouvement s’écrit :
la position d’équilibre est obtenue pour :
*/Etude de la stabilité :
(∑) est conservatif ; on utilise le théorème de Lejeune-Dirichlet pour étudier la stabilité de cette position
d’équilibre: les minimums locaux stricts de l’énergie potentielle de (∑) % R0 sont des positions d’équilibres stables.
1 4 a x 4 m a x 2 m g a x 0
x m :
soit
. 2 2
2 .. 2
x
0 x
0 x
a g m 2 on trouve
0 x
x e
.
..
stable.
équilibre d'
position une
est 0 )
/ ( de
minimum un
est 0 x
0 a g m dx 2
) / ( d
0 e
2 0 0
2
e
P x
P R U R x
U
2
propre pulsation
de harmonique r
oscillateu un
est c'
0 a
g 2
0 a
g m 2 m
: derniers ces
à rapport par
es négligeabl étant
termes autres
les
1, à égal plus
au ordre d'
termes les
que conserve
ne on , linéarisée équation
l' obtenir pour
0 a
g m 2 a
m 4 a
4 1 m
: obtient on
mouvement, du
équation l'
dans reportant
en
ordre premier
du petits infiniment
et
, x x
- x
: introduit on
, 0 x
de ge Au voisina
: équation l'
de ion Linéarisat /
*
0 ..
..
. 2 2 2
.. 2
..
..
. e .
e
a g
x
x
===>
===>
Les conditions initiales permettent de déterminer complètement la solution.
arctan -
t a g 2 cos (t)
: finalement soit
k -arctan
où d'
-
et tan
donc
sin cos
0 0
0 .
2 0 .
2 2 0
0
0 0
0 .
0 0
0 .
2 0 .
2 2 0
0 2 m
0 .
2 2 0
0 2
m 2
2 m 2
2 m
*/Cas du frottement visqueux; (∑) n’est plus conservatif.
==>
La force de frottement est donnée par:
Sa puissance virtuelle est:
Qx étant la composante de force généralisée correspondante.
L’équation du mouvement est donc:
1 4 a x 4 m a x 2 m g a x x 1 4 a x 0
x
m
2 22 . 2 .
2 .. 2
x
Où x* est un réel arbitraire
L’équation caractéristique correspondante est :
La position d’équilibre est la solution constante de l’équation du mouvement:
On utilise le critère de Liapunov pour étudier la stabilité. Pour cela , on se place au voisinage de xe=0, en posant:
infiniment petits du premier ordre
amorti.
r oscillateu
0
2
:
obtient on
a g 2 et
) ( de ent amortissem d'
t coefficien m
p osant 2 en
, 0 a
g m 2 m
1, à égal p lus
au ordre d'
termes les
que conserve ne
on , linéarisée équation
l' obtenir p our
0 a
4 1 a
g m 2 a
m 4 a
4 1 m
: écrit s'
équation l'
2 0 .
..
0 .
..
2 . 2
. 2 2 2
.. 2
==> 2 racines réelles
2 Solutions complexes conjuguées
Re(r1) < 0 et Re(r2) < 0 donc xe =0 est stable.
Donc la position d’équilibre xe=0 est stable quelque soit la valeur de l’amortissement. Rappelons que : --Si > ωo amortissement élevé , régime apériodique. Ɛ(t) = A exp(-t) sh( t+ϕ)
-- Si = ωo amortissement critique, régime critique :Ɛ(t) = (A t + B ) exp(-t)
-- Si < ωo amortissement faible , régime pseudo-périodique: Ɛ(t) = A exp(-t) cos ( t+ϕ) Où les constantes d’intégration seront déterminées à l’aide des conditions initiales.
2 0
2
2 2
0
EXERCICE 2
( ). (AB/R )
O point fixe de(AB).).
(AB/R 2
) 1 / (
L - sin 3L H
2 K L 1
- sin L - H 2 K
cste 1 sin
) / (
L - sin 3L H
2 K L 1
- sin L - H 2 K
) 1 / (
u L G O car cste sin
. )
/ (
ux.
nt vertica paratqueme
restent
ressorts les
que ce à manière de
petit supposé
est
; ddl 1 à f conservati )
(
0 0
0 0
2 2 2
2 1 1
0
2 2 2
2 1 1
0
0 0
AB II
R T
L g m R
U
R U
L g m Cste y
G O g m R
U
P Pelasr PPes
) , ( )
(AB ).
(
00
AB II II G m
II
G
: soit
) 0 /
( d
que telles
).
/ ( de
extremums les
sont équilibre
d' p ositions les
donc f
conservati est
) (
L - 3L H
2 K L 1
- L - H 2 K
cste 1
) ( )
/ (
2 ) 1 /
( T
: sont e
p otentiell et
cinétique énergies
les , à rap p ort p ar
2 ordre l'
à p etit
0
0 2 2 2
2 1 1
0 P
. 2 0
d
R U
R U
L g m U
R U
I R
e P
Pelasr P
stable.
est
donc
0 )
9 ) (
/ ( d
: stabilité la
étudier p our
Dirichlet -
Lejeune de
critère le
ap p lique On
e 1
2 2
2
0
2
L K K
d
R U
e P
*/ Position d’équilibre de (∑) par rapport à R0 et stabilité:
) 9 (
propre pulsation
de harmonique r
oscillateu
0 )
9 (
soit
0 )
9 (
1 ordre l'
à obtient on
0 3
) 3 / (
: de compte en tenant
0 3
3 3
ordre premier
du petits infiniment
et
, -
: pose on
, de ge Au voisina
0 3
3
:
est mouvement du
équation L'
0 Q
et 3
) 3 / (
, ) 0
/ (
) , / (
: Comme
2 1
0 2
2 .. 1
2 2 1
..
2 2
1 1
0
2 2
1 1
..
..
..
. e .
e
2 2
1 1
..
2 2
1 1
0 . 0
. 0
K L K
L K L K
K K
I
L L
H L K L
L H L K R mgL
U
L L
L H
L K L
L L
H L K mgL I
L L
H L K L
L H L K mgL I
L L
H L K L
L H L K R mgL
U R
I T R
T
e e
e P
e e
P
*/ Equation des petites oscillations:
EXERCICE 3 :
et
(∑) non conservatif ( 0) à 1 ddl ϴ
ϴ est supposé suffisamment petit pour que les ressorts restent pratiquement longitudinaux.
*/ Equation du mouvement:
K L - l à l' ordre 2
2 l 1
- L 2 - H 2 K
1
) /
( )
/ ( )
/ ( p etit
l - sin L
2 K l 1
- sin L
2 - H 2 K
) 1 /
(
u L G
O car
cste sin
. )
/ (
2 2
0 0
0
2 2
0
0 0
cste mgL
R U
R U
R U
R U
L g m cste
y G O g m R
U
PPes Pelasr
P Pelasr
PPes
2
2
0L
: est mouvement du
équation L'
L
Q et
2 ) 2
/ (
, ) 0
/ (
) , / ) (
L Q
et L
) ( . P
par donnée
est virtuelle puissance
sa
arbitraire scalaire
où
) ( V et )
(G/R V
u L G
O comme
) (G/R V
: est G en r amortisseu l'
par exercée
force La
2 . ..
2 .
0 . 0
. 0
2 . . *
2
*
* f
*
* . *
0
0
l L
H KL l
L KL mgL
I
l L
H KL l
L KL R mgL
U R
I T R
L T
G V f
v L G
v L
f
P
On applique le critère de Liapunov, en posant:
*/ Position d’équilibre:
L K
Kl KH
mg 5
e 2
On recherche les solutions constantes de l’équation du mouvement, en posant:
0
..
.
*/Etude de la Stabilité:
ordre premier
du petits infiniment
et
, -
..
..
.
e
.
: écrit s'
équation l'
ent, amortissem d'
absence l'
en p rop re p ulsation
et 5
sy stème du
ent amortissem d'
t coefficien 2
L : p osant en
0 2
2
p uisque
0 5
L
: donc
est linéarisée
équation L'
0 )
( 2 2
) (
L
. ..
2 0
2
. 2 .. 2
2 . ..
I L K
I
l L
H KL l
L KL mgL
L K I
l L
H KL l
L KL mgL
I
e e
e e
==> 2 racines réelles
2 Solutions complexes conjuguées
Re(r1) < 0 et Re(r2) < 0 donc ϴe =0 est stable.
Donc la position d’équilibre ϴe=0 est stable quelque soit la valeur de l’amortissement. Rappelons que : --Si > ωo amortissement élevé , régime apériodique. Ɛ(t) = A exp(-t) sh( t+ϕ)
-- Si = ωo amortissement critique, régime critique :Ɛ(t) = (A t + B ) exp(-t)
-- Si < ωo amortissement faible , régime pseudo-périodique: Ɛ(t) = A exp(-t) cos ( t+ϕ) Où les constantes d’intégration seront déterminées à l’aide des conditions initiales.
2 0
2
2 2
0
Re(r1) < 0 et Re(r2) < 0 donc ϴe =0 est stable.
*/condition sur le coefficient de frottement pour que le système soit le siège de vibrations pseudo-périodiques.
il faut que l’amortissement soit faible ;soit:
3 m K 4 5
on trouve
: 0 t initial instant
l' A
) cos(
e )
sin(
e )
( ) cos(
e (t)
vibration La
p ulsation -
p seudo
sa et
) ( de p rop re p ulsation
5
), ( de tique caractéris
temp s L
2 1
sy stème du
ent amortissem d'
t coefficien 2
L
t - m t
- m t .
- m
2 2
0 2
0
2 2
t t t t
I L K
I I
)
( ) -
sin(
) cos(
donc
0 0.
m
0 m
2
2 0 0
. 2
0 m
0 0 0
.
0 0 0 .
)
et (
)
arct an ( -
)
( t an -
on t rouve
k
*/ Vibrations forcées:
I 2
0 e
avec t
e
I 2
(t) et
)
(
: p uisque
e I p ar
cos I
remp laçant en
et ) ( Re
) ( , )
(
: p osant en
comp lexes, en
le on travail ,
ultérieurs calculs
des simp licité la
Pour
) cos(
) ( forme la
sous solution
la recherche on
cos
I
2
: écrit s'
linéarisée équation
l' , t cos
C Q
Q donc
) (
et . )
/ (
. p uisque
1 ordre d'
C où t
cos C )
( ..
P est z
t cos
C C
imp osé coup le
du virtuelle p uissance
La
2 2
0
t j t
j 2
2 0
) (
2 ..
) . (
t j f
) (
f 2
0 .
..
0
*
* 0
. 0
*
*
* 0 C
e C j
e C e
j
e e
j t
t C t C
t e
t
t t
C t
z OA
z R
OA
OA C
j fm
j t j fm
t j fm C
f t
j fm C
f
C f t
j fm C
f
fm
. déterminée nt
p récédemme )
cos(
) ( où
) ( )
( (t)
: Remarque
arctan 2 t
cos 4
I )
(
: est forcée
vibration la
donc
k 2
arctan soit
2 0
arctan
) arg(
et 0 I )
arg(
) arg(
) arg(z' arg(z)
) arg(z.z' :
argument en
4
I
1 et
I 0
, 0
z' z z.z'
: module en
2 2
2 0 2 2
2 2
0 forcée
2 2
0 2
2 0
2 2 2
2 2
0
t
e t
t t
t C
C e C
C e
t
j fm
fm
j fm
EXERCICE 4 :
(∑) conservatif à 1 ddl ϴ
L’Energie potentielle Up:
Donc l’équation du mouvement de Lagrange est :
4-Positions d’équilibre:
4 5 et 4
4
solutions 2
0,2
dans
1 tan
sin
cos
0 )
sin (cos
) 4 /
( : que telles
donc
2 1
e
0 2 e
e e
e e
e P e
R KL
U
5-Etude de la stabilité des positions d’équilibre :
. de stabilité la
étudier p our
Liap unov de
critère le
ap p lique On
p our conclure
p as p eut ne
on
) /
( de
maximum un
est
2
2 sin 4
4 cos car
0 2 4
) - /
( p our 4
stable.
est
) /
( de
minimum un
est
2
- 2 4
sin 5 4
cos 5 car
0 2 ) 4
/ (
4 p our 5
) sin
(cos ) 4
/ (
stables.
équilibre d'
p ositions des
sont e
p otentiell énergie
l' de stricts locaux
mimimums Les
: Dirichlet -
Lejeune de
théorème le
ap p lique on
f;
conservati est
) ( Comme
1 0
1
2 4
2
0 2
1
2 0
2
2 4
2 5
0 2
2
2 2
0 2
e
e P
e e P
e P
e e P
e e
e P
R U
R KL U
R U
R KL U
R KL U
son équation caractéristique est :
ou
ordre premier
du petits infiniment
et
4 , - :
posant 4 en
de ge au voisina place
se on , cela Pour
..
..
. e .
1
0 2
4 I
donc est
linéarisée équation
l'
1 ordre l'
à ) 1
2 ( ) 2
sin 2 (cos
2 sin 4
4 cos cos
sin 4)
( sin
1 ordre l'
à ) 1
2 ( ) 2
sin 2 (cos
2 sin 4
4 sin cos
cos 4)
( cos
.. 2
L K
instable.
est 4
donc
0 r
) r (
Re
1
1
1e
ordre premier
du petits infiniment
et
4 , -5 :
posant 4 en
de 5 ge au voisina place
se On - 6
..
..
. e .
2
0 2
4 I
donc est
linéarisée équation
l'
1 ordre l'
à ) 1
2 ( ) 2
sin 2 (cos
2 4
sin 5 4 cos
cos 5 sin
4 ) ( 5
sin
1 ordre l'
à ) 1
2 ( ) 2
sin 2 (cos
2 4
sin 5 4 sin
cos 5 cos
4 ) ( 5
cos
.. 2
L K
0
) 0 (
) sin(
0 )
0 (
) 0 cos(
t à : sont initiales
conditions les
) sin(
) (
) cos(
(t)
2 4
p rop re p ulsation
de harmonique r
oscillateu un
est c'
0 . .
0 m
m 0 0
m .
0 m
2 0
t t t
t t
I L K
2 ) cos( 3
(t) :
finalement soit
donc et
2 3
0 )
sin(
0 )
sin(
2 ou 3
2
0 )
cos(
0 0
0 .
0 0 .
0 m . 0
m m
t
7-Vibrations forcées.
) 2
F cos(
) 2 ( F
2 donc et
choisit on
0 cos
comme
ou
0
0 sin
3
I F cos 2
donc 3
t )
cos(2 I
F 2
) 2
cos(
3 : on trouve équation,
l' dans rep ortant en
) 2
cos(
4 )
( et
) 2
sin(
2 )
( donc
) 2
cos(
) ( : forme la
sous recherchée
est solution la
) cos(2
I F 2
: écrit s'
forcées s
vibration des
équation l'
) cos(2
F 2 Q
) Fcos(2
2 Q
est nte
corresp ond e
généralisé force
de comp osante la
) cos(2
F 2
P : soit 2
) ( V et 2
) / ( V donc
2
) ( V . F P
est virtuelle p uissance
sa
; 1) ordre d'
F ( A en ap p liquée est
v ) cos(2
F F e excitatric force
La
2 0
2 0
0 0
2 0
0 2
0 ..
0 0
.
0 f
0 2
0 ..
0 0
0
*
* F
* . *
0
*
* 0 F
L t L t
L
L t t
t t
t t
t t
L t
t L
t L
a
t L
v L A
v L R
A u
L A
O
A t
fm fm
fm f fm
fm f
fm
