J149 - Figure obligée.
Au centre de n cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 x 1009, on place n jetons.
Q1 Démontrer que pour n = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme.
Q2 Démontrer qu'à l'inverse pour n = 2017, il existe au moins une configuration dans laquelle il n'existe aucun parallélogramme.
Solution proposée par Michel Lafond.
Entendons par parallélogramme 4 points distincts, non alignés (A, B, C, D) tels que On a 2018 jetons sur l’échiquier
Numérotons 1, 2, …, p les lignes contenant au moins un jeton.
Soit un indice i donné [ Notons le nombre de jetons de cette ligne, les numéros des colonnes contenant un jeton dans cette ligne, et les centres des cases correspondants.
Les vecteurs sont tous distincts.
Le nombre total de vecteurs "horizontaux" définis ainsi pour tous les i est
Or il n’y a que n – 1 vecteurs "horizontaux" possibles.
Puisque dans chaque ligne les vecteurs sont distincts, il y a d’après le lemme des tiroirs, deux lignes avec le même vecteur, constituant ainsi un parallélogramme.
Si maintenant, on n’a que 2017 jetons, on peut les disposer ainsi sans parallélogramme :
o o o o o o o o
o o o o
- - - - - - - -
o o o
Prolongement :
Si on accepte les parallélogrammes aplatis (mais avec 4 sommets distincts), on peut demander combien on peut mettre au maximum de jetons dans un échiquier sans parallélogramme.
Le maximum théorique est 2n – 1 comme on vient de le voir.
C’est un problème difficile, et les meilleures solutions que j’ai actuellement sont page suivante.
Le maximum théorique n’est atteint que pour n = 3 ou n = 4.
o o
o o
o
o o o o o o
o o
o o o o
o
o o
o o o
o
o o
o o o
o o
o o o
o o
o o
o
o o
o
o o o o
o
o o
o o
o o o
o
o o
o o
o o
o o o o o
o o o o
o
o
o o
o
o o
o
o o
o o
o o o
o o
o o
o o
o o
o
o o o
n = 3 5 jetons
n = 4 7 jetons
n = 5 8 jetons
n = 6 10 jetons
n = 7 11 jetons
n = 8 12 jetons
n = 9 13 jetons
n = 10 15 jetons
n = 11 16 jetons
