E644. Exercices d'élongation***
Q1 Plusieurs entiers strictement positifs pas nécessairement distincts de somme S = 20 sont écrits sur une même ligne.
L’un quelconque de ces entiers ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont différents de 3.
Démontrer que cette suite contient un nombre maximum N d’entiers que l’on déterminera.
Q2 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont distincts de 50 et on a N = 2020.
Déterminer la ou les valeur(s) correspondantes(s) de S.
Q3 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents de deux termes ou plus adjacents sont distincts à la fois de 30 et de 50 et on a S = 2020. Déterminer N.
PROPOSITION Th Eveilleau
Q1
La suite constituée uniquement de dix entiers égaux à 2 fonctionne mais ce n’est pas la plus longue.
Le nombre de termes maximum est N=11.
Pour que la suite soit de longueur maximale, il faut utiliser les plus petits nombres possibles, donc des unités , Cela élimine l’utilisation du 2.
Voici la suite que l’on obtient ainsi : 1, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 1 Q2
Sommes distinctes de 50.
Si on place le nombre 2, on ne pourra le placer que 24 fois : car 24*2=48. Et 25*2=50
Donc même traitement que pour la précédente question, nous obtenons la suite suivante en écrivant quarante neuf fois de suite le nombre 1 puis une fois 51 etc.
On répète la séquence 1, 1, 1, 1, ...,1, 51
quarante fois (donnant somme de 40*(49+51)=4000 pour une longueur de 40*50=2000) et on termine par l’écriture de vingt nombres égaux à 1.
1, 1, 1, 1, ...,1, 51, 1, ... 51, 1, 1, 1, 1, 1, ...,1, 51, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.
Finalement :
la longueur est N = 40*50 +20 = 2020 la somme totale est : 40*(49+51)+ 20 = 4020
Q3
S=2020 , sommes distinctes de 30 et 50. On doit déterminer la longueur N nombre maximum de termes.
Le nombre maximum de termes est obtenu là aussi en prenant les plus petits entiers possibles.
On peut placer un maximum de 29 nombres unité pour ne pas avoir une somme de 30.
Ensuite on pourrait placer 31.
Cependant on obtiendra la somme 50 avec les 19 premiers entiers unité.
Aussi le trentième entier ne peut être que 51.
La somme étant de 2020, la plus longue liste obtenue en répétant 25 fois, la séquence composée de vingt neuf fois l’unité et une fois 51 de somme 29+51=80 :
1, 1, 1, 1, ... 1, 51
On terminera par vingt fois 1 pour obtenir la somme de 80*25 + 20=2020. S = 2020 La longueur est alors N = 30*25+20=770
N = 770
