E584 – Trois par trois [**** à la main et avec l’aide éventuelle d’un ordinateur]
Problème proposé par Michel Lafond
Q₁ - Trouver tous les ensembles composés de 6 nombres entiers strictement positifs tels que les 20 sommes obtenues en ajoutant de toutes les manières possibles trois de ces nombres, une fois classées par valeurs croissantes, donnent la liste [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, …].
Q₂ - Même question avec des ensembles composés de 6 nombres entiers.
Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne par L la liste [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18] et par a,b,c,d,e,f les six termes tous distincts pris dans l'ordre croissant 0 < a < b < c < d < e < f.
Q₁
La valeur 8 de la somme de trois termes est obtenue nécessairement avec les trois plus petits termes a,b et c et la valeur 9 est obtenue avec les termes a,b,d.
Il en résulte que a + b + c = 8 et a + b + d = 9. d'où d = c + 1
D'où deux possibilités seulement: a = 1,b = 2,c = 5,d = 6 ou bien a = 1,b = 3,c = 4, d = 5 1er cas: a = 1, b = 2, c = 5, d = 6
Avec ces quatre termes on a les quatre sommes: 8, 9, 12 = 1+ 5 + 6 et 13 = 2 + 5 + 6.
La somme 10 ne pouvant pas être obtenue avec 3 termes choisis parmi {a,b,c,d}, on en déduit e = 7 qui donne 10 = 1 + 2 + 7 mais alors on aurait deux fois 13 avec 13 = 2+ 5 + 6 et 13 = 1 + 5 + 7. Contradiction.
2ème cas: a = 1, b = 3, c = 4, d = 5
Avec ces quatre termes on a les quatre sommes: 8, 9, 10 = 1 + 4 + 5 et 12 = 3+ 4 + 5.
La somme 13 qui est la plus petite mis à part 8,9,10,12 déjà calculés ci-dessus, s'obtient nécessairement avec e = 9 et la relation a + b + e = 1 + 3 + 9 = 13 . On a ensuite 14 = 1+ 4 + 9, puis 15 = 1+ 5 + 9, puis
16 = 3 + 4 + 9, puis 17 = 3 + 5 + 9 et enfin 18 = 4 + 5 + 9. Toutes ces valeurs qui apparaissent une fois et une seule donne tous les termes de L à l'exception du deuxième terme 18.
Il ne reste plus qu'à trouver la valeur f afin d'obtenir la somme 18 pour la deuxième fois. La seule modalité possible consiste à prendre f = 14 soit a + b + f = 1 + 3 + 14 = 18.
On déduit aisément les neuf autres sommes qui contiennent le terme f et sont > 18.
Conclusion: avec tous les entiers a,b,c,d,e,f > 0, il y a une solution unique : {1,3,4,5,9,14}
Q₂ On admet des entiers négatifs ou nuls.
On mène le même mode de raisonnement que précédemment en prenant successivement les valeurs décroissantes de a = 0, − 1, − 2, − 3, etc...
1er cas a = 0
On en déduit {b,c,d} = {1,7,8} ou {2,6,7} ou {3,5,6}. On vérifie immédiatement que la somme 12 ne peut pas être obtenue avec les quatre termes a,b,c,d ni par adjonction du cinquième terme e. Pas de solution.
2ème cas a = − 1
On en déduit {b,c,d} = {0,9,10} ou {1,8,9} ou {2,7,8} ou {3,6,7} ou {4,5,6}.
Afin d'obtenir la somme 12, on constate que les trois premiers triplets ne conviennent pas. A l'inverse les deux derniers complétés respectivement par {e,f} = {8,13} et {9,13} permettent de reconstituer toutes les sommes de la liste L.
On obtient ainsi deux solutions : {−1,3,6,7,8,13} et {−1,4,5,6,9,13}
3ème cas: a = − 2
On en déduit {b,c,d} = {−1,11,12}ou {0,10,11} ou {1,9,10} ou {2,8,9} ou {3,7,8} ou {4,6,7}
Afin d'obtenir les sommes 10 ou 12 ou 13 on élimine rapidement les quatre premiers triplets {−1,11,12},{0,10,11},{1,9,10}, {2,8,9} ainsi que le dernier {4,6,7}.
A l'inverse le triplet {3,7,8} complété par {e,f} = {9,11} permet d'obtenir tous les termes de L avec les relations:
− 2 + 3 + 7 = 8, − 2 + 3 + 8= 9, − 2 + 3 + 9 = 10, − 2 + 3 + 11 = 12, − 2 + 7 + 8 = 13, − 2 + 7 + 9 = 14,
− 2 + 8 + 9 = 15, − 2 + 7 + 11 = 16, − 2 + 8 + 11 = 17, − 2 + 9 + 11 = 18, 3 + 7 + 8 = 18,etc...
On obtient ainsi une quatrième solution {−2,3,7,8,9,11}
4ème cas: a = − 3
On en déduit b + c = 11 donc c ≥ 6 et d ≥ 7.
La suite {− 3,5,6,7,9} permet d'obtenir les dix sommes 8,9,10,11,12,13,18,20,21 et 22. Pour obtenir les sommes 14,15 et 16, on a nécessairement f = 12 mais il est impossible d'avoir la somme 17.
Tout autre suite dans laquelle b < 5, c > 6 ,d > 7,e > 8 mène à une impasse car il est impossible d'obtenir toutes les sommes de 13 à 18.
5ème cas: a < − 3
Si on parvient à obtenir les sommes 8,9,10,11 et 12 avec les équations a + b + c = 8, a + b + d = 9, a + b + e = 10, a + c + d = 11 et a + c + e = 12, par exemple{− 4,5, 7, 8, 9}, comme précédemment, en ajoutant f quelconque > 9, l'obtention de toutes les sommes de 13 à 18 est impossible.
Un petit programme informatique permet de vérifier qu'il en est bien ainsi.
Conclusion finale: quatre solutions.
{1,3,4,5,9,14}, {−1,3,6,7,8,13}, {−1,4,5,6,9,13} et {−2,3,7,8,9,11}.
