J149. Figure obligée J. Jeux de plateaux
Au centre de n cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 x 1009, on place n jetons.
Q1 Démontrer que pour n = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme.
Q2 Démontrer qu'à l'inverse pour n = 2017, il existe au moins une configuration dans laquelle il n'existe aucun parallélogramme.
Solution de Paul Voyer Q1
Au moins 1009 jetons ont un jeton à leur gauche (sur la même ligne).
En tant que jetons ayant un jeton à leur gauche, ils ne disposent que de 1008 positions horizontales/distances à leur jeton de gauche.
Donc au moins deux d'entre eux sont à la même distance de leur voisin de gauche, sur deux lignes distinctes (sinon il s'agirait du même point), les quatre formant un parallélogramme.
Q2
Il suffit que tous les jetons ayant un autre jeton à leur gauche disposent d'autant d'écarts horizontaux distincts avec leur jeton de gauche.
Exemple (extensible) avec n=7 et 2n-1=13 jetons.
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