D1978. Deux solutions, sinon rien.
D’un point extérieur à un cercle de centre , on mène la droite qui rencontre en deux points et puis une tangente à qui touche ce cercle au point . Les parallèles issues de et de à rencontrent respectivement la perpendiculaire issue de à la droite aux points et Démontrer de deux manières différentes au moins que les droites et se rencontrent au milieu de .
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Solución 1
Tomamos unos ejes de coordenadas cartesianas: La recta como eje de abscisas, su mediatriz como eje de
ordenadas, y Se
tiene así y para .
La recta es la polar de respecto de la circunferencia, su ecuación es pues, , es decir, y entonces y . Para el punto
medio de se tiene .
Las rectas paralelas y son las de ecuaciones respectivas:
,
y .
Calculamos ahora los puntos e :
Veamos que los puntos y están alineados. Para ello calculamos el determinante
También están alineados y :
Solución 2
Por ser es la polar de respecto de la circunferencia, se tiene que la cuaterna es armónica, esto es, Vamos a proyectar los puntos de esta cuaterna sobre la tangente , primero desde y después desde .
Sea el punto común de las rectas paralelas y : , sea la proyección de sobre desde y la proyección de sobre desde .
Proyectando desde se tiene
lo que implica que es el punto medio de y proyectando desde
Que también nos dice que , y por tanto se concluye la demostración.
