L es deux br anch es de la st at is ti que

(1)

Ou til s él émen ta ir es de sta ti st iqu e ap pli qu ée F réd éri c Be rt ra n d et Myr iam Mau my IR MA, UMR 75 01, U ni ver sit é d e S tr a sb o ur g 2016-2017 F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 1 / 40

In tro d u cti on No tion s fo nda m ent al es en st at ist iq ue F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 2 / 40 S omma ir e 1 In tro d u cti on 2 D éfini ti on s 3 L es d iff ére n ts ca rac tèr es 4 Qu el q u es rep rés en tati on s gr aph iq ue s 5 Qu el q u es ca ra ct éri st iq u es de p os iti on F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 3 / 40

L es deux br anch es de la st at is ti que

Population UIndividus ÉchantillonS

Stati sti que des cri ptive : d´ ete rm ine r le s ca rac tér isti q u es d ’u ne p opu la ti on. Stati sti que inf érenti el le : ex tra p ol er les rés ul ta ts nu m éri q u es ob ten u s su r un éc h an ti llon à la p op u lati on . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 4 / 40

(2)

Ob ject if de la st ati sti que desc ri pt iv e L ’obj ec ti f d e la sta ti sti q u e d es cr ipti ve es t de pr ésen te r et d e d´ ecr ir e, c’ est- à-d ir e d e rés um er nu m ér iqu em en t et /ou d e re pr és en ter gr ap h iqu em en t, les don n´ ee s d isp oni b les qu and el le s sont n om br eu se s ou les d onn ées pr oven an t d ’u n rec en se men t. Qu e tr ouv ons- nou s da ns la st at is tiq ue descr ip ti ve ? L e co nc ep t d e p opu la ti on, le conc ep t d e rés um és n u m éri q u es, avec les tr oi s so rt es d e ca rac tér isti q u es : p osi ti on , di sp ers ion et fo rm e. le con ce pt de rep rése nt ati on s gr aph iq u es, comm e p ar exe mp le la b oˆı te à mou sta ch es ou l’ h istogr am me . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 5 / 40

S omma ir e 1 In tro d u cti on 2 D éfini ti on s 3 L es d iff ére n ts ca rac tèr es 4 Qu el q u es rep rés en tati on s gr aph iq ue s 5 Qu el q u es ca ra ct éri st iq u es de p os iti on F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 6 / 40 D éfin iti on L ’en sem bl e su r le q ue l p or te l’ acti vi té sta ti sti q u e s’ app ell e la p op u lati on . El le est gé n´ era lem en t n ot ée Ω. S es él émen ts sont le s in di vi d u s . Rem ar que C es ind ivi d us p euv en t êtr e d e na tu re s tr ès di ve rs es : ens em bl e de p er son n es, moi s d’ u n e ann ée , pi èce s pro d u ites p ar u n e u si n e, rés ul ta ts d ’exp ér ien ce s rép ét ées u n ce rt ai n nom bre de foi s. .. F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 7 / 40

D éfin iti on L es ca ra ct éri sti qu es étu d iées su r le s in di vi d u s d ’un e p op u la ti on son t app el ées le s ca rac tèr es . Un ca rac tèr e es t d onc un e ap pl ic ati on χ d ’un en se mb le fin i Ω (l a p op u la ti on ) da n s u n en sem bl e C (l ’ en se mb le d es va leu rs du ca rac tèr e ), qu i asso ci e à ch aq u e in d iv id u ω d e Ω la val eur χ ( ω ) q ue pre nd ce ca rac tèr e sur l’ ind ivi d u ω . D éfin iti on L a sui te de s va leu rs χ ( ω ) pri ses p ar χ s’ app ell e les d onn ées br ute s . C ’est u ne su ite fin ie ( X 1 , X 2 ,. .. , X N ) d e l’ en se mb le C . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 8 / 40

(3)

S omma ir e 1 In tro d u cti on 2 D éfini ti on s 3 L es d iff ére n ts ca rac tèr es 4 Qu el q u es rep rés en tati on s gr aph iq ue s 5 Qu el q u es ca ra ct éri st iq u es de p os iti on F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 9 / 40

Nou s cons id éron s p lu si eu rs typ es d e ca rac tèr es : 1 les ca ra ct èr es q u al ita ti fs 2 les ca ra ct èr es q u an ti ta ti fs : le ur d´ ete rmi n ati on pro d u it un n omb re ou u ne su ite d e n omb res . N ous di sti ngu on s 1 les ca ra ct èr es si mp les : leu r me su re su r u n in di vi d u pr o d ui t u n se ul n omb re. L’ ens em bl e de leu rs val eur s est d on c R ou un e pa rti e d e R . 2 les ca ra ct èr es m ul ti p les : le u r m esu re su r u n in d ivi du pro d u it u ne su ite fin ie de n omb res . L’ ens em bl e d e leu rs va leu rs est d onc R n ou u n e pa rti e d e R n . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 10 / 40 C ar act èr es qua lita tifs prof es si on , ad re ss e, si tu ati on d e fam ill e, se xe .. . C ar act èr es qua nt it ati fs si mpl es ta ille , p oi d s, sa la ir e, te mp ér atu re .. . C ar act èr es qua nt it ati fs mu lt iple s rel ev é d e n otes d’ u n (e ) étu d ian t( e) , fic he de sa lai re, .. . Rem ar que L es ca ra ct ère s q u al ita ti fs p euv en t tou jou rs êt re tra n sf orm és en ca ra ct èr es q ua n ti tat if s p ar co d age . C ’es t ce qu i se fa it le p lu s gén ér al em en t. Mai s u n te l co d age est p u reme nt con ven ti on ne l et n ’a p as vr ai m en t u n sen s q ua n ti tat if . P ar exemp le, on n e p ou rr a pa s cal cul er le sexe mo ye n. F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 11 / 40

S i X es t un ca ra ct èr e qu anti ta ti f si mp le l’ en se mb le X (Ω) = { X 1 , X 2 ,. .. , X N } d es val eu rs attei n te s p ar le ca ra ct èr e (o u d onn ées br ute s) est u n ens em bl e fini { x 1 ,. .. , x n } . Nou s su p p oser on s q ue ce s va leu rs son t or don n´ ee s : x 1 < x 2 < .. . < x n . L e fai t q u e te lle va leu r soi t re lati ve à tel in di vi d u est u n ren sei gn em en t q ui n ’in té re sse pa s le sta ti sti ci en . S eu l l’ en se mb le d es va leu rs attei n tes et le n omb re d e foi s q ue ch ac u ne d’ el le es t atte int e es t u ti le . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 12 / 40

(4)

D éfin iti on Nou s ap p el ons eff ec ti f de la valeur x i : le n omb re n i d e foi s q ue la va leu r x i es t pri se, c’ es t- à-d ire le ca rd in al de l’ en sem bl e X − 1 ( x i ) ; eff ec ti f cumu lé en x i : la somme

i X j =1 n j ; fr équ enc e de la valeur x i : le rap p or t f i = n i N d e l’ eff ect if d e x i à l’ effe cti f tota l N d e la p op u lati on , c’ es t- à-d ire le ca rd in al de Ω ou en co re la som me de s n i ; fr équ enc e cum ul ée en x i : la somme

i X j =1 f j . D éfin iti on C es di stri b u ti ons sta ti sti q ue s sont q u al ifi ées d e d iscr èt es . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 13 / 40

Rem ar que L ors qu e le n omb re d es va leu rs attei n tes est im p or ta n t, nou s pr éf ér on s regr ou p er le s va leu rs en cl asse s p ou r ren d re la stat is ti q ue pl u s lisi b le. Nou s p arta geon s al or s l’ en se mb le C d es val eu rs d u ca ra ct èr e en cl ass es ] a i , a i +1 ] avec a i < a i +1 . Nou s p arl on s al ors d e sta ti sti q u e gr oup ée ou con ti n u e . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 14 / 40 D éfin iti on Nou s ap p el ons eff ec ti f de ] a i , a i +1 ] : le n omb re n i d e va leu rs pri ses d ans ] a i , a i +1 ], c’ est- à-d ir e X − 1 (] a i , a i +1 ]) ; eff ec ti f cumu lé en a i : le n omb re d e va leu rs pri ses d ans ] − ∞ , a i ]; fr équ enc e de ] a i , a i +1 ] : le rap p or t f i = n i N ; fr équ enc e cum ul ée en a i : la somme

i X j =1 f j . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 15 / 40

D éfin iti on L a fa mi lle ( x i , n i ) i =1 ,..., n ou ( x i , f i ) i =1 ,..., n es t en co re ap p el ée di stri b u ti on sta ti sti q u e d isc rè te. D éfin iti on De m êm e, la fa mi lle (] a i , a i +1 ] , n i ) i =1 ,..., n ou (] a i , a i +1 ] , f i ) i =1 ,..., n es t en co re ap p el ée d is tr ib u ti on sta ti sti q ue grou p´ ee ou con ti nu e. F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 16 / 40

(5)

S omma ir e 1 In tro d u cti on 2 D éfini ti on s 3 L es d iff ére n ts ca rac tèr es 4 Qu el q u es rep rés en tati on s gr aph iq ue s 5 Qu el q u es ca ra ct éri st iq u es de p os iti on F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 17 / 40

D éfin iti on L e d iagr amme en b âton s d ’u ne di str ib u ti on sta ti sti q ue di scr ète est con st it u´ e d’ u n e su ite d e segm en ts ve rt ic au x d ’ab sc isse s x i d ont la lon gue u r es t prop or ti onn el le à l’ eff ec ti f ou la fr éq u en ce de x i . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 18 / 40 Ex em ple L a d istr ib uti on su iva nt e (1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4) , (4 , 2) , (5 , 5) , (6 , 6) , (7 , 2) , (8 , 3) , (9 , 1) , (10 , 1) es t rep ré sen té e p ar le d ia gra mm e en b âtons de la figu re 1

0123456 246810

Fi gu re – Di agr am me en b ˆaton s

F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 19 / 40

D éfin iti on L e p ol ygon e d es fr éq u en ces (re sp . de s eff ec ti fs ) est ob ten u à pa rti r d u d iagr amme en b âton s d es fr éq u en ce s (r esp . d es effe cti fs) en joi gna n t pa r u n segm en t les somm ets d es b âton s. Rem ar que L e gr ap h iqu e de la figu re su iva n te su p er p ose le p ol ygon e d es fr équ en ces et le d ia gra mm e en b âtons de s fr éq ue nc es d e l’ exem pl e pr éc éd en t. F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 20 / 40

(6)

0

0.050.1

0.150.2 246810

Fi gu re – Di agr am me en b ˆaton s et p ol ygone d es fr ´eq ue nc es F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 21 / 40

D éfin iti on En remp la ¸ca n t les fr éq u en ce s (r esp . les effe cti fs) pa r les fr éq u en ces cu m ul ées (r es p. les effe cti fs cum ul és) on obt ie n t le d iagr amme en b âton s et le p oly gone de s fr éq ue nc es cu mu lées (re sp . de s eff ec ti fs cu mu lés) . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 22 / 40 L a figu re 3 d on ne le d iagr amme en b âton s et le p ol ygon e d es effe cti fs cu m ul és d e l’ exe mp le pr éc éde n t.

05

10

15

20

25 246810

Fi gu re – Di agr am me en b ˆaton s et p ol ygon e d es effe cti fs cum ul ´es F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 23 / 40

D éfin iti on Nou s ap p el ons hi stogra mm e la re pr ésen ta ti on gra p hi q u e d ’un e va ri ab le con ti n u e. Da ns le ca s o ù les am pl itu d es d es cl asse s son t égal es, cet h istogr am me est con sti tu é d ’un en se mb le d e rec ta ngl es d ont la la rge ur es t éga le à a , l’ am pl itu d e d e la cl asse , et la h aut eu r égal e à K × n j o ù n j es t l’ effe cti f de la cla ss e et K es t un co effi ci en t arb itr ai re (c hoi x d ’u ne éch el le ), d e so rte qu e l’ ai re tota le sou s l’ h istogr am me est égal e à K × N × a o ù N es t l’ effe cti f tota l. Da n s le cas de cl asse s d ’am pl itu d es k j × a in éga les, mu lti p les ent ier s d e l’ un e d’ entr e el les a , on con vi en t, p ou r con se rve r le résu lta t pr éc éd ent, d e pr en d re p ou r h au teu r d u rec tan gl e d e la cla ss e n um ér o j le q u oti en t K × n j k j . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 24 / 40

(7)

Ex em ple En figu re 4 n ous don n ons l’h istogr amm e d e la di stri b u ti on sui va n te (]1 , 3] , 4) , (]3 , 4] , 8) , (]4 , 5 . 5] , 10) , (]5 . 5 , 6] , 14) , (]6 , 8] , 20) , (]8 , 10] , 12) , (]10 , 11] , 9) , (]11 , 12 . 5] , 3) .

05

10

15

20

25 24681012

Fi gu re – Hi stogra mm e

F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 25 / 40

S ui te de l’E xe mpl e

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35 24681012

Fi gu re – Hi stogra mm e et p ol ygon e d es fr éq u en ces F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 26 / 40 D éfin iti on L e p ol ygon e d es effe cti fs ou de s fr équ enc es d ’u ne di stri b u ti on est ob te nu en joi gna n t d an s l’ h istogr am me d e cet te d istr ibu ti on les m ili eu x d es côt és h ori zon tau x sup ér ieu rs. Ret our à l’E xempl e. L a figu re 5 su p er p ose l’ hi stogr am me d es fr équ enc es d e l’ exem p le pr éc éd en t et son p ol ygon e d es fr équ en ce s. F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 27 / 40

D éfin iti on L e p ol ygon e d es fr éq ue nc es cum ul ées d ’u n e d is tr ibu ti on stati sti qu e gr oup ée es t la rep rés en tat ion gr ap h iqu e de la fon cti on d´ efin ie p ar f ( x ) =

i − 1 X j =1 f j + x − a i a i +1 − a i f i su r l’i n te rva lle ] a i ; a i +1 ]. F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 28 / 40

(8)

Rem ar que En p ar ti cu lier , rema rqu on s q ue n ous avon s f ( a i ) =

i − 1 X j =1 f j et f ( a i +1 ) =

i X j =1 f j . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 29 / 40

Ret our à l’E xempl e P ou r l’ ex emp le pr éc éd en t, nou s ob te non s le gra p hi q u e d e la figu re 6.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 24681012

Fi gu re – P ol ygon e d es fr éq u en ce s cu mu lée s d ’un e sta ti sti q ue grou p´ ee F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 30 / 40 S omma ir e 1 In tro d u cti on 2 D éfini ti on s 3 L es d iff ére n ts ca rac tèr es 4 Qu el q u es rep rés en tati on s gr aph iq ue s 5 Qu el q u es ca ra ct éri st iq u es de p os iti on F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 31 / 40

D éfin iti on L e m o de es t l’ un e d es va le u rs x 1 , x 2 ,. .. , x p d ont la fr équ enc e f i es t ma xi ma le. D éfin iti on L a cl ass e m o dale es t u ne cl asse de de n si té, c’ est- à-d ir e d e rap p or t fr équ enc e/l on gue u r, ma xi ma le. D éfin iti on L a d istr ib uti on est u ni m o da le si el le a u n seu l mo d e, si ell e en a pl u si eu rs el le est p lu ri m o d al e (b imo d al e, tr imo d al e, .. .) . Rem ar que Nou s d´ et er mi n ons ai séme nt le s m o de s à pa rti r d es rep ré sen ta ti on s gr ap h iqu es . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 32 / 40

(9)

D éfin iti on S oi t m et d les pa rti es ent iè re et d´ eci ma le d e ( N + 1) / 2. L a m édi ane , n ot ée Q 2 ( x ), es t d´ efin ie p ar Q 2 ( x ) = x ( m ) + d ( x ( m +1) − x ( m ) ) o ù x ( m ) si gn ifie la m -i ème val eu r lo rsq ue la sé ri e d es va leu rs est cl ass ée p ar or dr e cr oi ssa nt . x ( m ) es t au ss i ap p el ée la m -i ème stati st ique d’o rdre . D éfin iti on P ou r tou t n omb re α ∈ ]0; 1[, soit m et d les pa rti es en ti èr e et d´ eci ma le d e α ( N + 1). Le quanti le d’ o rdre α , n ot é Q α ( x ), es t d´ efin i p ar : Q α ( x ) = x ( m ) + d ( x ( m +1) − x ( m ) ) . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 33 / 40

D éfin iti on L a m oy en n e d ’un e d istr ib ut ion st ati sti qu e d isc rè te ( x i ; f i ) i =1 ,..., p es t le n omb re réel µ d´ efin i p ar µ =

p X i =1 x i f i = 1 N

p X i =1 x i n i . o `u N es t l’ effe cti f total d e la p opu la ti on. Rem ar que Nou s p ou von s au ss i la cal cul er d ir ect eme nt `a p arti r d es d on n´ ees br u tes pa r µ = 1 N

N X j =1 X j c’ est- à-d ir e en cal cu la nt le rap p ort ent re la somme de tou tes le s va leu rs rel ev ée (a vec rép éti ti on s év en tu el les) et l’ effe cti f tota l d e la p op ul ati on . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 34 / 40 D éfin iti on P ou r u ne st ati sti qu e gr oup ée (] a i ; a i +1 ] , f i ) i =1 ,..., p la mo yen ne se ca lc u le p ar µ =

p X i =1

a i + a i +1 2 f i . C el a revi en t à fa ir e u ne h yp ot h` ese d ’h omog én éi té en con si d´ er an t les va leu rs éq u id ist ri b u´ ees à l’ in tér ieu r d’ u n e cl asse ou , au con tr ai re, à su p p os er q ue tou te la fr éq u en ce est con cen tr ée au ce n tre de la cl as se (c e q ui rev ie n t au m ême : on rem pl ace la d istr ib uti on à l’i n té ri eur d e la cl asse p ar son b ar yc en tre ). F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 35 / 40

Rem ar que L a m oy en n e d e X − a es t µ − a et la mo yen ne de λ X es t λµ . Rem ar que Il exi st e d ’a u tr es m oy en n es : la m oy en n e gé om ét ri q u e, la m oy en n e h arm oni q u e, la m oy en n e ar it hm éti co- géom étr iqu e, .. . F. Bert rand et M . M aumy (I R M A) 2016- 2017 36 / 40

(10)

Il est à n oter q u’ il est in tér es san t d e comp ar er le s d eu x pri n ci p aux p ar am èt re s d e p osi ti on qu e son t la m éd ian e et la m oy en n e ari th m éti q ue . L es d eux p oss èd en t d es ava nt age s et d es inc on vén ien ts. 1 P ou r la m édi an e, nou s avon s • A van ta ge : P eu se ns ibl e au x va leu rs extr êmes (pa ram ètr e rob us te) . • In con vén ien ts : D él ic at e à ca lcu ler (Ra p p el ez -vou s le s d iff ér en te s d´ efin iti ons qu e l’ on p eu t ren con tr er ). Ne se pr ête pa s au x ca lcu ls al géb ri q u es. 2 P ou r la mo ye nn e ar ith m éti q u e, n ous avon s • A van ta ges : F aci le à cal cul er. S e pr ête b ien aux ca lc u ls al gé br iq ue s. R ép on d au pr in ci p e d es moi n dr es ca rr és. • In con vén ien ts : F or te men t in flu en cé e p ar les val eur s extr êm es. Ma uva is in d ica teu r p ou r un e d istr ib ut ion p ol ymo d al e ou fo rtem en t asym étr iqu e. F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 37 / 40

Qu elqu es ca ra ct ér is ti ques de di sp ers io n L a va ri anc e , n ot ée σ 2 ( x ), es t le n omb re réel p osi ti f d´ efin i pa r σ 2 ( x ) =

p X i =1 ( x i − µ ( x )) 2 f i . L ’ éc art- typ e , n ot é σ ( x ), es t la rac ine ca rr ée d e la va ri anc e. Il s’ ex pr ime da n s la m êm e u n it é q ue la m oy en n e. L a m édi ane des éc arts abs olus à la m éd iane , n ot ée M AD ( x ), d ’u n e sér ie sta ti st iq u e est le n om br e rée l d´ efin i pa r M AD ( x ) = Q 2 ( | x i − Q 2 ( x ) | ) 1 6 i 6 n . L ’ interval le inte r- qua rti le , not é II Q ( x ), es t la d iff ére nc e entr e le tr oi si èm e q u ar ti le et le pre mi er q u ar ti le. F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 38 / 40 C ar act ér isti que s de fo rme L e m omen t centr é d ’o rdr e r es t éga l à µ m r ( x ) = P p i =1 ( x i − µ ( x )) r f i . L e co effi cient d’as ym étri e (s kew nes s) de Fi sher es t la q u an ti té γ 1 ( x ) d´ efin ie p ar γ 1 ( x ) = µ m 3 ( x ) σ 3 ( x ) = µ m 3 ( x ) ( µ m 2 ( x )) 3 / 2 · L e co effi cient d’as ym étri e de P ea rs on es t la q u an ti té β 1 ( x ) d´ efin ie p ar β 1 ( x ) = ( µ m 3 ( x )) 2 ( σ 2 ( x )) 3 = ( µ m 3 ( x )) 2 ( µ m 2 ( x )) 3 = γ ^{2 1} ( x ) . F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 39 / 40

C ar act ér isti que s de fo rme L e co effi cient d’apl ati ssem ent (k urtos is) de Fis her es t la q u an ti té γ 2 ( x ) d´ efin ie p ar γ 2 ( x ) = µ m 4 ( x ) ( µ m 2 ( x )) 2 − 3 . L e co effi cient d’apl ati ssem ent de P ea rs on es t la q u an ti té β 2 ( x ) d´ efin ie p ar β 2 ( x ) = µ m 4 ( x ) ( µ m 2 ( x )) 2 = µ m 4 ( x ) σ 4 ( x ) · F. Bert rand et M . M aumy (I R MA ) 2016- 2017 40 / 40