Soit A d’affixe a = 1 + i √

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Devoir n˚3

Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées

I) 4 points

Soit A d’affixe a = 1 + i √

3, B le symétrique de A par rapport à l’origine O et C le point d’affixe c = a

Soit D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π 2 .

Etudier la disposition des points A, B et D, en déduire la nature du triangle ABC

II) 6 points

Soit A, B et C les points d’affixes respectives : a = 4, b = 1 + i √

3, c = 1 − i √ 3

1. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

2. Déterminer G et K tels que OBGK soit un carré direct.

III) 6 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct. (O; − → u , − → v ).

Soit T

la transformation du plan d’écriture complexe z

= −5(z + i − 3) et T

la translation de vecteur 5 − → u − 2 − → v

1. Démontrer que T

est une homothétie et déterminer ses éléments caractéristiques.

2. Quelle est l’image de la droite D d’équation y = x + 3 par T

◦ T

?

IV) 4 points

On considère l’application f qui à un point M d’affixe z différente de i associe le point M

d’affixe z

donné par z

= iz + 2

z − i .

Démontrer que l’ensemble des points M dont l’image par f appartient à l’axe des abscisses est un cercle dont on précisera les éléments.

On rappelle que l’équation du cercle de centre M

(x

, y

) et de rayon R est

(x − x

)

+ (y − y

)

= R