D’un point P extérieur à un cercle (Γ) de centre O, on mène la droite PO qui rencontre (Γ) en deux points A et B puis une tangente à (Γ) qui touche ce cercle au point T. Les parallèles issues de A et de B à PT
rencontrent respectivement la perpendiculaire issue de T à la droite PO aux points I et J. Démontrer de deux manières différentes au moins que les droites BI et AJ se rencontrent au milieu M de PT.
Solution projective : soit K la projection orthogonale de T sur le diamètre AB.
(P, K, A, B) forment une division harmonique, donc (T, K, I, J) également.
Si M est le milieu de PT, AI, parallèle à PT, forme avec AP, AT et AM un faisceau harmonique, et de même, BJ avec BP, BT et BM. Ces faisceaux coupent TK selon des divisions harmoniques, à savoir T, K, I et l’intersection avec AM pour l’un, T, K, l’intersection avec BM et J pour l’autre : donc I est l’intersection de BM, et J celle de AM avec TK : M est l’intersection de AJ et BI.
Solution trigonométrique : Avec comme unité le rayon de (Γ), et en notant θ l’angle POT, on calcule les longueurs :
KT=sinθ, AK=1-cosθ, BK=1+cosθ, AK/KI=BK/KJ=KP/KT=tanθ, donc
cotan(OAJ)=AK/KJ=AK*tanθ/BK=sinθ(1-cosθ)/cosθ(1+cosθ)=tanθ-2sinθ/(1+cosθ) cotan(PAM)=(KP-2AK)/KT=tanθ-2(1-cosθ)/sinθ : or sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ, donc OAJ=PAM, A, J et M sont alignés, et il en est de même de B, I et M.
