J149. Figure obligée
Au centre de 𝑛 cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 × 1009, on place 𝑛 jetons.
Q1. Démontrer que pour 𝑛 = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme.
Q2. Démontrer qu'à l'inverse pour 𝑛 = 2017, il existe au moins une configuration dans laquelle il n'existe aucun parallélogramme.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Généralisons le problème, et considérons les points à coordonnées dans 𝐺 = ⟦1; 𝑎⟧ × ⟦1; 𝑏⟧ où 𝑎, 𝑏 ≥ 2.
Q1. Soit 𝐸 ⊂ G, avec 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 = 𝑎 + 𝑏. Montrer l’existence d’un parallélogramme aux sommets dans 𝐸.
Q2. Exhiber 𝐹 ⊂ G, avec 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐹 = 𝑎 + 𝑏 − 1, n’ayant aucun parallélogramme aux sommets dans 𝐹.
Question 1
On pose :
• 𝐸𝑦= {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸} ⊂ ⟦1; 𝑎⟧ × {𝑦}. Les 𝐸𝑦 forment une partition de 𝐸. On a ∑ 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸𝑦= 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸.
• 𝑉𝑦= {(𝑥′− 𝑥, 𝑦) \ (𝑥, 𝑦), (𝑥′, 𝑦) ∈ 𝐸𝑦 et 𝑥′> 𝑥} ⊂ ⟦1; 𝑎 − 1⟧ × {𝑦}. On a 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝑉𝑦≥ 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸𝑦− 1.
• 𝑉 ⊂ ⟦1; 𝑎 − 1⟧ × ⟦1; 𝑏⟧ l’union disjointe des 𝑉𝑦. On a 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝑉 = ∑ 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝑉𝑦.
• ∆ ∶ 𝑉 → ⟦1; 𝑎 − 1⟧ tel que ∆(𝜉, 𝑦) = 𝜉.
𝐶𝑎𝑟𝑑 𝑉 = ∑ 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝑉𝑦≥ ∑(𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸𝑦− 1) = (∑ 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸𝑦) − 𝑏 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 − 𝑏 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑏 = 𝑎 Par le principe des tiroirs, il existe un 𝑑 possédant deux antécédents par ∆ dans 𝑉 notés (𝜉, 𝑦1) et (𝜉, 𝑦2).
Donc il existe (𝑥1, 𝑦1), (𝑥1′, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), (𝑥2′, 𝑦2) ∈ 𝐸 tels que 𝑥1′− 𝑥1= 𝑥2′− 𝑥2= 𝜉 ≠ 0 et 𝑦1≠ 𝑦2. Ces points forment un parallélogramme.
Question 2
On pose 𝐹 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐺 \ 𝑥 = 1 ou 𝑦 = 1}.
On vérifie que 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐹 = 𝑎 + 𝑏 − 1.
Choisissons quatre points distincts quelconques dans 𝐹.
Si au moins trois d’entre eux vérifient 𝑥 = 1 ou au moins trois d’entre eux vérifient 𝑦 = 1, alors ils sont alignés, et les quatre points ne forment pas un parallélogramme.
Sinon, ils ont pour coordonnées (1, 𝑦1), (1, 𝑦2), (𝑥1, 1), (𝑥2, 1) avec 1 < 𝑥1< 𝑥2 et 1 < 𝑦1< 𝑦2.
Le quadrilatère ainsi formé possède deux côtés opposés orthogonaux ; ce n’est pas un parallélogramme.
