TP Rapidité de convergence. Comparatif 2011-2012
On considère trois suites (an), (bn) et (cn) définies par :
a0= 2 an+1= 1 + 1
an
;
b0= 2
bn+1=√bn+ 1 ;
c0= 2 cn+1 = c2
n+ 1 2cn−1
1. A l’aide d’un tableur, conjecturer la convergence des suites (an), (bn) et (cn) et donner une valeur approchée avec 15 chiffres significatifs (le chiffre des unités et 14 chiffres dans sa partie décimale) de leur limite Φ.
Le réelΦest le nombre d’or et la valeur exacte de ce nombre est Φ=1+√ 5 2
2. Apprécier la rapidité de convergence de chaque suite en déterminant le premier terme de chaque suite qui approche Φ à moins de 10−15.
3. Démonstration de la convergence de (an) vers Φ.
(a) Résoudre dansRl’équationx2−x−1 = 0. la solution positive est notée Φ.
(b) Démontrer l’égalité 1 + 1 Φ = Φ.
(c) Montrer par récurrence que, pour tout n>1, 3
2 6an62.
(d) Prouver que, pour toutn>1,|an+1−Φ|64
9|an−Φ|. (e) En déduire par récurrence, que pourn>1,|an−Φ|6
4 9
n−1
|a1−Φ| puis que|an−Φ|6 4
9 n
. (f) Prouver que (an) est convergente et déterminer sa limite.
(g) Déterminer un entiern0 tel que pourn>n0,|an−Φ|610−6
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