1
Correction des exercices du livre scolaire : 1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,15
Exercice n°1:
Dans chacun des cas suivants, justifier la continuité de la fonction f en a.
1) f ( )x 3x8 2x3 3x 1 ,a 3
2)
5
3
2 2 1
( ) ; 0 , 2
1
x x
f x a
x x
3) f x( ) 6 ( 2x 5 )3 a 2 , 8
4) f ( )x 2x4 3 (x x 1) 5x5 4 ,a 3
5) ( ) 2 1 0 4 3 1 , 1 0 0 0 5 0 0
1 0
x
f x x x a
6)
3 4
1 0 2 1
( )
3 1 0 2
f x x a
x
7) ( ) 4 52 ; 0 , 0 0 0 2 5 1
1 0 3
f x x a
x x
Correction
2) f ( )x 3x8 2x3 3x 1 ,a 3
F est une fonction polynôme elle est donc continue en tout réel, en particulier en a 3 2)
5
3
2 2 1
( ) ; 0 , 2
1
x x
f x a
x x
( 0 , 2 )3 ( 0 , 2 ) 1 0 Donc 0 , 2 Df
F est une fonction rationnelle et 0 , 2 Df donc f est continue en a 0 , 2
3) f x( ) 6 ( 2x 5 )3 a 2 , 8
comme étant fonction polynôme f est continue en a 2 , 8
4) de même fonction polynôme 5) de même fonction polynôme 6)
3 4
1 0 2 1
( )
3 1 0 2
f x x a
x
\ 1 0
f 3
D
F est une fonction rationnelle et 1
2 f
D
3
èmeSc Expérimentales Chapitre 2 : Continuités www.mathinfo.tn
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2 donc f est continue en 1
2 a
7) ( ) 4 52 ; 0 , 0 0 0 2 5 1
1 0 3
f x x a
x x
F est une fonction rationnelle et 0 , 0 0 0 2 5 14 1 0 ( 0 , 0 0 0 2 5 1)2 3 0
s o m m e d e s t r o i s r é e l s s t r i c t p o s i t i f s
(a 0 , 0 0 0 2 5 1) Df donc f est continue en a Exercice n°2:
Dans chacun des cas suivants, justifier la continuité de la fonction f en a.
1) ( ) | | 51 0
( 1 0 )
f x x
x ;a=201
2)
² 8
( ) | |
2 1
f x x
x ;a=3 3)
1 2
( )
2
x x
f x
x
4) 1 3 5 5
4
f x x x
5)
| |3 2 ( )
| | 2
f x x
x
Correction
6) 1
2
( ) ( )
( ) f x f x
f x
avec f1( )x x 5
Et f2( )x (x1 0 )4
*la fonction x x est continue en a 2 0 1
D’où f1 est continue en a 2 0 1
* f2 est continue en a 2 0 1 (fonction polynôme) de plus f2( 2 0 1) 1 9 14 0
Donc 1
2
f f f
est continue en a 2 0 1
7) f ( )x g x( ) avec
² 8 ( )
2 1
g x x
x
\ 1
g 2
D
g est une fonction rationnelle et 2 Dg ,d’où g est continue en a 2 par suite f g est continue en a 2
3 8)
² 2
( )
2
x x
f x
x
Posons f1( )x x² x 2 et
2( ) 2
f x x
On a : 1
2
( ) f f x
f
* f1 est continue en a 5 1 (fonction polynôme), donc f1 est continue en a 5 1
* f2 est continue en a 5 1 (fonction polynôme), de plus
2( 5 1) 4 9 0
f
D’où 1
2
f f f
est continue en a 5 1
9) 1 3 5 5
4
f x x x
*la fonction x x est continue en a 1 1 d’où 1: 1
4
f x x est continue en a 1 1
* la fonction x x3 est continue en a 1 1 d’où f2:x x3 est continue en a 1 1
*de même la fonction f3 :x x5 est continue en a 1 1
Donc f est continue en a 1 1 (somme de fonctions continues)
10) 1
2
f f f
Avec : f1(x) x3 2 et f2( )x x 2
f1 et
f2 sont continue en a 5
De plus f2(5 ) 3 0 d’où 1
2
f f f
est continue en a 5
Exercice n°3:
Dans chacun des cas suivants, justifier la continuité de la fonction f en a.
( ) 3 5
f x x
( ) 2 3
f x x
( ) 4 ² 1
f x x x
1) f (x) (x 4 ) 2x² 3x 5 , a=10
2) 2
4
² 2 2
( ) 3 5
5 3
x x
f x x
x x
4 Correction
1) f( )x g x( ) avec g x( )3x5
5,
f 3
D
G est définie et positive sur l’intervalle ouvert 5, 3
et 2 5,
3 3
Comme g est une fonction polynôme elle est continue en 2
3
alors f g est continue en 2
3 a 2) f g avec g(x) 2x 3
g est définie et positive sur ,2
3
et 0 .0 1 ,2
3
Comme g est fonction polynôme donc elle est continue en 0.01 alors f g est continue en a 0 .0 1
3) f g avec g(x) 4x² x 1
On a : 1 1 6 1 5 0 donc le trinôme 4 ²x x 1 0
(Signe de coefficient de monôme de plus haut degrés 4>0)
Donc g est définie et positive sur
De plus g est une fonction polynôme donc elle est continue en a 1, 2 5
4) f ( )x g x( ) h x( ) avec :
2
( ) 4
( ) 2 3 5
g x x
h x x x
*g est continue en a 1 0 (fonction polynôme)
*2x2 3x5 0 avec 3 1 0
Le signe de 2x2 3x5 et celui de a 2 donch x( ) 0, pour tout x h est définie et positive sur et 1 0
h est continue en 10 donc h est continue en a 1 0
Par la suite f est continue en a 1 0 (produit de deux fonctions continues) 5) f ( )x g x( ) h x( ), avec : g x( ) x²3 et
4
5 ( ² 2 2 )
( )
5 3
x x
h x
x x
*g (polynôme) est définie et positive sur de plus g est continue en a 1
5 donc g est continue en a 1
* (1)4 5 (1)3 1 0 h est une fonction rationnelle et (1) Dh d’où h est continuent en (-1) Par la suite f g h est continue en a 1
EXERCICE 5:
On considère la fonction f définie sur IR par
2 x si x
2 x si 4 x ) 2
x ( f
1. Tracer la courbe représentative de f dans un repère (O,i,j) 2. Justifier la continuité de la fonction f sur [ 2, +∞ [.
3. Justifier la continuité de la fonction f sur ]– ∞, 2 [.
4. Verifier, a l’aide du graphique, que la fonction f n’est pas continue sur IR Solution
1/
2/La fonction x 2x 4 est continue et positif sur [2,[ donc f est continue sur [2,[
3/La fonction x x est continue sur ],2[ donc f est continue sur ],2[
4graphiquement la courbe presente une repture au point A(2,2) donc f n’est pas continue en 2
EXERCICE 6
On considère la fonction f définie sur par
0 x si 1
0 x si x 1 ) x ( f
1. Tracer la courbe représentative de f dans un repère (O,i, j)
2. Justifier la continuité de la fonction f sur ]0, +∞ [.
3. Justifier la continuité de la fonction f sur ]– ∞, 0 [.
4. Vérifier, a l’aide du graphique, que la fonction f n’est pas continue sur IR
5. Pour chacune des équations ci-dessous, déterminer, a l’aide du graphique, le nombre de solutions de l’équation. f(x) 1,
5 ) 2 x (
f ,
2 ) 1 x (
f ,f(x) 0
6 Solution
1/
2/La fonction
x
x 1 est continue sur IR* en particulier sur ]0,[
3/La restriction de f sur ] ,0[ est constante donc f est continue sur ] ,0[
4/graphiquement la courbe présente une rupture au point A(0,0) donc f n’est pas continue en 0.
5/
1 ) x (
f ,
5 ) 2 x (
f ,
2 ) 1 x (
f ,f(x) 0
Graphiquement f(x) 1 admet une seule solution Graphiquement
5 2 ) x (
f admet une seule solution Graphiquement
2 ) 1 x (
f n’admet pas de solution Graphiquement f(x) 0 n’admet pas de solution EXERCICE 7:
On considère la fonction f définie sur telle que
la fonction f est continue sur IR,
f est impaire,
f(x) = –x2 + 3 si x ≥ 2,
la restriction de f a ] –2, 0 [ est une fonction affine.
1. Représenter la fonction f dans un repère (O,i,j) . 2. Donner l’expression de f(x) pour tout x ∈ IR .
7 Correction
1/
2/pour x] 2,0[,f(x) ax b(fonction affine)
1 ) 2 ( f
0 ) 0 (
f
2 1 ) 2 ( 0
1
a 0
; ) b
2 ( 1 0
0 donc b=0
impaire
; 2 x si 3 x
2 2 2 si x 2 1
2 x si 3 x ) x ( f
2 2
EXERCICE 8:
Soit
| 1 x
| x 2 x 5 :
f
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Etudier la continuité de f sur son ensemble de définition.
Correction
1/
1 x si ) 1 x ( x 2
x
1 x si ) 1 x ( x 2
x )
x (
f
1 x
; 1 x si 1 x
x
1 x si 1 x 3
x )
x ( f
Df=IR \ {1}
2/
La fonction g :x x est continue sur IR en particulier IR\{1}
La fonction h :x 2x |x 1| est continue sur IR\{1} et ne s’annule pas donc
h
f g est continu sur IR\{1}
EXERCICE 9:
Soit f le trinôme défini par x 5 2 ) 1 x (
f 2
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i, j). 1. Tracer la courbe C.
2. Quelles sont les images par f de 2 ; – 2 ; 0 ; 3 et 2
3. Quelles sont les images par f des intervalles : I = [1, 3], J = ]–2, 2[ et K = ]–∞ , 0] ? 4. Quels sont les antécédents éventuels par f de 0, 7 et 9 ?
5. Déterminer l’ensemble des antécédents par f des réels de l’intervalle [7, 13].
8 Correction
1/
2/
X 2 -2 0 3 2
y 7 7 5 13/2 6
3/ ]
2 ,19 2 [11 )]
3 ( f ), 1 ( f [ ]) 3 , 1 ([
f
[ 7 , 5 ] [) 2 , 2 (]
f
[ , 5 [ ]) 0 , (]
f
4/
0 10 x
0 5 x 2 0 1 ) x (
f 2 2 Donc 0 n’a pas d’antécédent .
2 x ou 2 4 x 2 x 2 7 1 5 x 2 7 1 ) x (
f 2 2 2 Donc -2 et 2 sont les
antécédents de 7
2 2 x ou 2 2 x 8 x 4 x 2 9 1 5 x 2 7 1 ) x (
f 2 2 2 Donc 2 2 et 2 2
sont les antécédents de 7.
5/ x 8 4 x 16 2 x 4 2 |x | 4
2 2 1 13 5 x 2 7 1 13 ) x ( f
7 2 2 2 2
4 x 2 ou 4 x
2
2 x 4 ou 4 x
2
] 7 , 3 [ ] 2 , 4 [
x
EXERCICE 10:
Soit f le trinôme défini par f(x) = x2 – 4x + 1.
On désigne par C sa courbe représentative dans un repere orthonormé(O,i, j) . 1. Tracer la courbe C.
2. Quelles sont les images par f des intervalles I = [2, 3], J = [0, 3] et K = [0, +∞[ ?
3. Determiner l’ensemble des antecedents par f des reels de l’intervalle [– 2, 6].
Correction
2/ f([2,3]) [f(2),f(3)] [3,2] ]
1 , 3 [ ]) 3 , 0 ([
f
[ , 3 [ [) , 0 ([
f
3/
3
| 2 x
| 1 9 ) 3 x ( 1 6 3 ) 2 x ( 2 6 1 x 4 x 2 6 ) x ( f
2 2 2 2
1 x 1
5 x 3 1 x 1
5 x 3 3 ) 2 x ( 1
3 2 x 1
2 x 4 ou 4 x
2
] 5 , 3 [ ] 1 , 1 [
x
9 EXERCICE 11:
Soit f(x) x 3 2
1. Déterminer l’ensemble de définition de f. On désigne par C sa courbe représentative dans un
repère orthonormé.
2. Tracer la courbe C.
3. Quelles sont les images par f des intervalles I = [2, 3], J = [0, 5] et K = ]–1, +∞[.
4. Déterminer l’ensemble des antécédents par f des réels de l’intervalle [–1, +∞[.
Correction
1/f(x) x 3 2 [ , 3 [ Df
2/
3/
2/ f([2,3]) [f(2), f(3)] [ 5 2, 6 2] ] 2 8 , 2 3 [ )]
5 ( f ), 0 ( f [ ]) 5 , 0 ([
f
[ , 2 2 ] [) , 1 (]
f
4/f(x) 1 x 3 2 1 x 3 1 x 3 1 x 2 [
, 2 [ Df
EXERCICE 15:
Soit x 2x 1
2 ) 1 x (
f
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2.Etudier la continuité de f sur son ensemble de définition.
3.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution α dans ,1] 2 [1
4.Donner une valeur approchée par défaut a 0.1 près de α.
Correction
1. , [
2 [1
Df
2.
La fonction x
2 1 x :
g est continue sur IR donc g est continue sur , [ 2 [1
La fonction h :x 2x 1 est continue et positif sur , [ 2 1
[ donc h est continue sur , [
2 [1
Donc f=g+ h est continue sur , [ 2 [1
3. f est continue sur ,1] 2 [1
0 ) 2 )(1 4 ( 1 ) 1 ( f ) 2 (1
f d’où l’équation f(x)=0 admet une solution a dans ,1] 2 [1
10 4.f(0.5)=-0.25<0 et f(0,6)=0,14
0 ) 6 , 0 ( f ) 5 , 0 (
f d’où 0,5<a<0,6
