G1909 – Une convexité très probable ? [**** à la main]
Solution proposée par Diophante
Réponse :la probabilité que le quadrilatère ABCD soit convexe, proche de 91%, est supérieure à 90%.
Considérons un quadrilatère ABCD dont les sommets sont choisis respectivement dans chaque quadrant (-1,1), (1,1), (1, -1), (- 1, -1). Ce quadrilatère est convexe si et seulement si les quatre angles internes
ABC, BCD, CDA, DAB sont inférieurs à 180 degrés.
Dans la figure ci-dessus, voir le quadrilatère AB₁CD.
Il devient non convexe si l'un de ces angles est supérieur à 180 degrés.
Sur la figure voir le quadrilatère AB₂CD avec AB₂C> 180 °. Le sommet correspondant est appelé «rentrant».
Lemme n ° 1: un quadrilatère est non convexe avec au plus un sommet rentrant
La somme des angles internes d'un quadrilatère est égale à 360 °. Si l'un de ces angles est supérieur à 180 °, un autre ne peut pas être supérieur à 180 ° car la somme des deux angles serait> 360 °. Contradiction.
Lemme n ° 2: un quadrilatère est non convexe si l'un des sommets est choisi dans un triangle rectangle basé sur l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Voir la figure ci-dessus avec le point B₂ situé dans le triangle OPQ avec P (u, 0) et Q (0, v) aux intersections du segment AC avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées
Soit p = probabilité de {ABCD = quadrilatère convexe}
p = 1 - probabilité de {ABCD = quadrilatère non convexe}.
Probabilité de {ABCD = quadrilatère non convexe} = Probabilité d'un point situé dans le quadrant (-1,1) ou dans le quadrant (1,1) ou dans le quadrant (1, -1) ou dans le quadrant (-1, -1)
Par symétrie les probabilités d'un point situé dans chacun des quadrants sont les mêmes et sont égales à : aire triangle OPQ / aire carré (1 * 1) = aire du triangle OPQ.
Selon le lemme n ° 1, les quatre événements «situés dans le quadrant (i, j)» i = –1,1 et j = –1,1 sont disjoints.
Donc p = 1 - 4 aire OPQ = 1 - 2uv.
On choisit au hasard quatre points A,B,C,D indépendamment les uns des autres, dans les quadrants respectifs NO,NE,SE et SO d’un carré dont les sommets ont pour coordonnées (–1,1), (1,1),(1, –1) et (–1, –1) Est-il exact que la probabilité que le quadrilatère ABCD soit convexe est supérieure à 90% ?
Soit les coordonnées A (-w, x) et C (y, -z) avec w, x, y, z uniformément et indépendamment réparties sur les intervalles [0,1].
On obtient u = (xy - wz) / (x + z) et v = (xy - wz) / (w + y).
Donc pour trouver p, on intègre uv sur 0≤ w, x, y, z ≤ 1 sans oublier de diviser le résultat par 2 afin de prendre en compte le cas où les variables u et v sont toutes les deux négatives.
Donc p =
1 – uv dudv = 1 –
dwdxdydz
z) y)(x (w
wz) (xy
1 0
1 0
1 0
1 0
2Grâce au logiciel WolframAlpha (voir annexe), on obtient: p = 11/6 - 4log2 / 3 ≈ 0,9091…
ANNEXE
