Je suppose n >3, car pourn= 3 ou 2 toutes les permutations sont ´equivalentes pour la somme

Enonc´e n^oG234 (Diophante) Macarons de Montmorillon

1) Maximiser la sommeN =^Pn_i=1bibi+1, o`u len-uplet (bn+1 =b1, b2, . . . , bn) est une permutation des entiers de 1 `a n, qu’on peut consid´erer comme dispos´es en cercle.

D´eterminer netN sachant queN est multiple den.

2) De combien diminue la somme ci-dessus si on remplace la permutation par celle qui minimise cette somme ?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

1) Quelques essais avec des petites valeurs den conduisent, pour constituer la permutation optimale, `a l’algorithme suivant o`u on cherche `a multiplier entre eux les plus grands ´el´ements. Je suppose n >3, car pourn= 3 ou 2 toutes les permutations sont ´equivalentes pour la somme.

Placer l’entiern. Lui donner comme voisins n−1 et n−2. Donner comme autre voisinn−3 `a n−1 et n−4 `a n−2, et ainsi de suite. Si kest le plus grand entier non encore plac´e, le donner comme voisin au plus grand des entiers plac´es qui n’a qu’un voisin.

A permutation circulaire pr`es, on obtient comme permutation, si n= 2kou 2k−1,

1,3,5, . . . ,2k−1,(2k),2k−2,2k−4, . . . ,4,2, la parenth`ese ´etant `a supprimer sin= 2k−1.

Cette permutation constitue un optimum au moins “local”, par rapport `a l’op´eration “´echange de deux termes” (voir quelques pr´ecisions en annexe).

Pour calculerN, j’observe que lesndiff´erences|b_i−b_i+1|valent 2 sauf deux qui valent 1, d’o`u

P

i(b_i−b_i+1)²= (n−2)4 + 2·1 = 4n−6.

Or^P_i(b_i−b_i+1)² = 2^P_ib²_i −2N =n(n+ 1)(2n+ 1)/3−2N. On en tireN =n(n+ 1)(2n+ 1)/6−2n+ 3.

Il reste `a utiliser la divisibilit´e de N parn.

Sin admet un diviseur premier p >3,p divisen(n+ 1)(2n+ 1)/6 et donc N−3 et nonN. Les facteurs premiers den ne peuvent ˆetre que 2 et 3.

Sinest divisible par 4,n(n+ 1)(2n+ 1)/6 est pair etN est impair. Donc n oun/2 doit ˆetre impair, et puissance de 3.

Sinest multiple de 27, 9 divisen(n+ 1)(2n+ 1)/6 et doncN−3 et nonN. Sinest multiple de 3 non multiple de 9,n(n+1)(2n+1)/6 n’est pas multiple de 3 etN non plus.

Pour queN soit multiple de n, il faut donc quen soit 9 ou 18.

Pour n= 18, N = 2076 = 6·346, non multiple de 18.

Pour n= 9,N = 270 = 9·30 = 30n, c’est la solution unique.

Il y a 9 enfants et ils obtiennent 270 macarons, 30 pour chacun, en ayant pour suite des badges 1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2.

1

2) Pour obtenir une permutation qui minimise la somme, j’adapte l’algo- rithme de la fa¸con suivante (avec n = 9), afin que les grands entiers aient de petits voisins, et r´eciproquement.

Je place 9, je lui donne comme voisins 1 et 2 ; je place 8 `a cˆot´e de 1, 7 `a cˆot´e de 2, 3 `a cˆot´e de 8, 4 `a cˆot´e de 7, 6 `a cˆot´e de 3, 5 `a cˆot´e de 4 (et de 6).

La permutation obtenue 5, 4, 7, 2, 9, 1, 8, 3, 6

a la caract`ere d’optimum au moins local, tout ´echange de deux termes aug- mentant la somme.

La somme obtenue ainsi est 169, soit 101 macarons de moins.

Annexe

Comment ´evolue la somme ^Pn_i=1bibi+1 si, dans la permutation obtenue au paragraphe 1, j’´echangebi etbj?

a) Le casj=i+ 1 Si je remplace la suite . . . , bi−1, bi, bi+1, bi+2, . . . par la suite

. . . , bi−1, bi+1, bi, bi+2, . . .

la somme varie de (bi−bi+1)(bi−1−bi+2).

La somme augmente dans l’op´eration si les diff´erences (b_i−b_i+1) et (bi−1− bi+2) sont de mˆeme signe. Ce n’est jamais le cas dans la permutation pro- pos´ee.

b) Le cas|j−i|>1

La variation de la somme du fait de l’´echange deb_i etb_j est (bj−bi)(bi−1+bi+1−bj1 −bj+1)

et les deux facteurs sont de signe contraire dans la permutation propos´ee, puisque sib_j > b_i les voisins deb_j sont sup´erieurs aux voisins deb_i.

Je n’ai pas de preuve plus g´en´erale que cela donne l’optimum global.

La mˆeme analyse s’applique `a la permutation qui minimise la somme ; les deux facteurs de la variation sont de mˆeme signe, les voisins des grands b_i

´etant les petits entiers, et r´eciproquement.

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