Proprietà spettrali di certi operatori lineari non compatti

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

A ^NTONIO A ^MBROSETTI

Proprietà spettrali di certi operatori lineari non compatti

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 42 (1969), p. 189-200

<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1969__42__189_0>

© Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 1969, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova » (http://rendiconti.math.unipd.it/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

NON COMPATTI ANTONIO AMBROSETTI

*)

Scopo principale

^di questo lavoro è di studiare le

proprietà spet-

trali delle a-contrazioni lineari.

Le

a-contrazioni,

introdotte da G.

Darbo l),

^sono trasformazioni continue di uno

spazio

di Banach in

sè,

^che

generalizzano

^sia

gli

ope- ratori

completamente

^continui

(compatti)

^sia le contrazioni ordinarie.

In

particolare

^ad

ogni

a-contrazione T si

può

^{associare un numero}

^{hT ,}

detto modulo di

T,

^il

quale

^è zero se e solo se T è

completamente

continuo.

Ora,

^{nel caso}

lineare,

^{è noto che}

un’applicazione

compatta ^{ha lo}

spettro

formato da

punti

^{il cui unico}

(eventuale)

punto di accumulazio-

ne è lo zero.

Generalizzando tale

risultato,

sarà dimostrato in questo

lavoro,

che lo spettro ^{di una} oc-contrazione lineare T non ha

punti

di accumulazione nell’insieme

{ ~ : ~ E ~ , ~ ~ ~ &#x3E; hT }.

^{Inoltre i}

punti

^dello spettro ^{che sono} in tale insieme sono tutti autovalori di ^«

tipo

finito ». Come _conseguen-

za verrà

poi

dimostrato che T si

può esprimere

^come

T = U -~- V,

^dove

U è di dimensione finita e V è tale che una sua opportuna potenza ^è

una contrazione

(anzi,

^{la norma dello}

spazio

di Banach

può

essere so-

stituita con una

equivalente,

^{in modo}

che, rispetto

^a

quest’ultima,

^V

*) Lavoro eseguito nell’ambito dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R.

Indirizzo dell’A.: Istituto di Matematica Applicata, ^via Marzolo, 9, ^{35100 -} Padova.

1) Cfr. G. Darbo, Punti uniti in trasformazioni a ^{codominio non} compatto, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, (1955), ^XXIV.

stessa sia una

contrazione).

^Si f,arà inoltre vedere che il carattere trattivo di un

operatore

^{in uno}

spazio

^{di Banach}

dipende

^{dalla norma}

e non solo dalla

topologia

^dello

spazio.

Usando

questi risultati,

^{si trovano infine alcune}

proprietà

^dello

spettro

^{di un}

generico

operatore ^{lineare e continuo.}

Desidero

ringraziare

Giovanni Prodi _per

gli

^utili

colloqui

^{con lui}

avuti

sull’argomento.

l. Sia B uno

spazio

^di

Banach;

^con

2(B)

indicheremo ~lo

-spazio

di Banach delle

applicazioni

^{lineari e continue di B in}

^sè,

^{con la nor-}

ma usuale.

Se indicheremo con

a(T)

^lo

spettro

^{di T e con}

p(T)

^l’in-

sieme

risolvente;

^con rT indicheremo il

raggio spettrale

^di

^T,

^cioè

rT = sup

i i ~ 1 : ~E1(T)};

^con

R(À; T)

indicheremo la funzione risol- vente

(definita

ⁱⁿ

p(T)),

^cioè

R(À; T)= (~,I -T)-1.

Per comodità del lettore e per rendere il

più

autosufficiente _pos- sibile

questo lavoro,

^{daremo ora} alcune definizioni ed enunceremo al-

cune

proposizioni

^{che saranno usate nel}

seguito:

^{tra di esse certe sono}

di facile

dimostrazione,

^mentre per le altre si rimanda a

1)

^{e alla relativa}

bibliografia.

1. DEFINIZIONE. Sia X un insieme limitato contenuto in

B;

^indi- cheremo con

a(X),

^l’estremo

inferiore

dei numeri

positivi

^{F- per i}

quali

è

possibile decomporre

^{l’insieme X} nell’unione di un numero

finito

^di

parti

di diametro

inferiore

^{ad ~.}

2. PROPOSIZIONE. Sono vere le

seguenti proprietà:

a)

^{se X ed Y sono insiemi} limitati di B ed è

X C Y,

^allora

b)

^{X è} relativamente compatto ^{se e solo se}

a(X)=O;

c)

^{se X ed Y sono} insiemi limitati di

B,

^{indicato con} X -E- Y l’insieme

{ x -I- y : x E X, y E Y },

^allora

3. DEFINIZIONE. Chiameremo a~-contrazione una

trasformazione

continua T di B in

sè,

^{tale che:}

a) ogni

insieme limitato di B è

trasformato

dalla T in un insieme

limitato;

b)

^esiste un numero non

negativo h,

^{minore di}

1,

tale che per

ogni

^{insieme limitato X c B si abbia:}

L’estremo inferiore

degli

^h per cui sussiste la

(1) qualunque

^sia

l’insieme limitato

X,

sarà detto modulo dell’a-contrazione

T,

^{e sarà in-} dicato con

hT .

Osserviamo

esplicitamente

^{che: un} operatore ^{T è}

completamente

continuo se e solo se è una a,-contrazione con hT= 0.

4. PROPOSIZIONE. Sono vere le

seguenti proprietà:

a)

^{se U e V sono} due a-contrazioni in uno

spazio

di Banach

B,

allora anche T=UoV è tale e

hr:5hu.hv;

b)

^{se T è una} a-contrazione in B di modulo

hT

^{e À è un numero}

complesso

^tale

che I À hT 1,

allora ÀT è una

a-contrazione;

c)

^{se U è una} a-contrazione lineare in B e V è una

trasforma-

zione lineare e continua

(sempre

ⁱⁿ

B) con V ~ ~

_ 1, ^{allora U oV è una} a-contrazione e

huov:5hu;

d)

^{se U è}

un’applicazione completamente

^{continua e V è una}

a-contrazione

(ambedue

^sullo

spazio B),

allora U + V ^{è una a-contra-} zione.

2.

Vogliamo

dimostrare che lo

spettro

^{di una} a-contrazione li-

neare T ha fuori del

} (con s arbitrario)

solo un numero finito di

punti.

^Questo risultato sarà

raggiunto

ⁱⁿ

più tappe,

attraverso la dimostrazione di alcuni Lemmi.

5. LEMMA. Sia T una a-contrazione lineare in B in

sè;

nell’insie-

me

lÀ i ~!-- 1 } gli

autovalori di T sono al

più

^{in numero}

finito.

DIMOSTRA,ZIONE. Se _per assurdo ciò non fosse vero,

poichè gli

autovalori sono contenuti nello spettro di

a(T)

^{che è} _compatto, ^{ci sareb-} be una successione

{ ~,n } di

autovalori di T tutti

distinti,

^{e con:}

1 n i ~2:

^1.

Sia xn una autosoluzione associata a

Àn.

Indichiamo con An ^lo

spazio

generato ^da xl , ..., x,,, cioè

An =

sp

{ xi ,

^...,

xn }.

An è un

sottospazio

chiuso di

B; inoltre, poichè gli

autovalori ...,

Àn

^{sono tutti}

distinti,

An ^è

propriamente

^{contenuto in} Allora per ^{un noto}

Teorema 2),

^è

possibile

^{trovare una} successione

( yn

^che

gode

^delle

seguenti proprietà:

Dunque

^{il vettore} yn è della forma clxl -E- ... -f- cnxn ,

cosicchè,

per

ogni

intero

v &#x3E;_ 1,

si ha che:

Inoltre,

^se n &#x3E; m risulta:

e

quindi:

Ora,

^fissato

ó C 1,

^{sia v} un vero numero tale che ove

2 ^T

si è indicata con S la sfera unitaria dello

spazio

di Banach B. Detta Y la successione

}

^{si ha che Y c S e}

quindi

^che

a(Y)::5a(S).

D’altra parte,

poichè

^{T è una}

a-contrazione,

^risulta:

Da ciò segue

l’assurdo, perchè,

per la

(2),

^{deve essere}

6. LEMMA. Sia T una a-contrazione lineare di B in sè e 1 un nu- mero

complesso

^tale

che I À, &#x3E;

^{1. Sia}

{ yn }

^una successione appartenente

a

Im(~,I -T)

^e convergente ^ad y. Per

ogni

^{indice n} indichiamo con xn un

qualunque

^{elemento di B}

soddisfacente

^a

Àxn - T(xn)

⁼ Yn, ^e

supponiamo

che la successione

{ xn }

^{sia limitata. Allora da essa è}

possibile

^estrarre

una sottosuccessione convergente.

Detto,

pertanto, ^x il limite d questa, si avrà:

~,x - T (x) = y.

2) Cfr., ad esempio, Dunford-Schwartz, Linear Operators, pag. 578.

DIMOSTRAZIONE. Indichiamo ^con X la successione

{ xn }

^{e con Y} la successione

{ yn } .

^Per

ipotesi

^{si ha:}

qualunque

^sia

l’elemento Quindi si

può

^scrivere:

Ora, poichè Y = { yn ^}

^{è una} successione convergente, ^{si ha che}

Quindi,

per le

Proposizioni

^{2-b e 2-c e} per la

(3)

^{si ha:}

Infine,

^{dato che T è una} a-contrazione e ricordato che

111 ~: 1,

^ri-

sulta :

da cui

«(X) = 0, perchè

^hT è minore di uno. Sarà

perciò possibile

^estrar-

re da

X = { xn }

^una sottosuccessione convergente: ^Poichè inol-

tre T è

continua,

^si h~a:

(~,I - T )x = y;

^Q.E.D.

t

opportuno

^a questo punto ^notare

esplicitamente

^{alcune conse-}

guenze del

precedente

^Lemma.

7. COROLLARIO. Sia T una a-contrazione lineare di B in sè. Se À

non è un autovalore di

T, con 111 &#x3E;_ ^1,

^{allora è chiuso.}

DIMOSTRAZIONE. Sia

(yn) }

^una successione di

Im(lI - T),

^con

yn 2013&#x3E; y. Indichiamo ancora con xn un elemento di B tale che

T(xn)

⁼

= yn . Se

{ xn }

^è

illimitata,

^{si consideri} per

ogni

^{indice n}

si ha oltre a Si ha che

~ ~

^{tende a} zero;

allora,

per il Lemma 6 esiste ^uno

z E B,

tale che

e

Ma i

^e

quindi

^{1 è un} autovalore _per

T;

e questo è assurdo.

Dunque { xn }

^è

limitata,

^{e la} conclusione _segue dal Lemma

6;

^Q.E.D.

8. COROLLARIO. Se T è una a-contrazione lineare di B in sè e À.

non è un autovalore di

T,

^con

!XÌ&#x3E;:1,

^allora

(definito su

Im(~,I -T))

^è

un’applicazione

^{lineare e continua}

9. LEMMA. Se

Àn

^{--~ ~, e À non è un} autovalore della a-contrazione

con I)." &#x3E; ^1,

^allora la successione an=

i ^{(ÀnI -}

-T)-1 IL

^{è limitata.}

DIMOSTRAZIONE. Per la definizione di ^norma di un

operatore,

^si ha

che,

fissato

6&#x3E;o,

per

ogni

^{n, esiste un} yn ,

con i Yn IL

^{=1, tale}

^che,

posto xn=R(Àn ; T)yn ,

^{si ha:}

Se,

per

assurdo, { a,2 }

^{non fosse}

limitata,

^si

potrebbe

^{estrarre dalla}

{ xn

^una

sottosuccessione,

^tale

che il Xn IL

^{~ 00.}

Poniamo e x.

lI-lYn .

^Risulta:

Si ha inoltre Poniamo

Per il Lemma 6 è allora

possibile

^{trovare in B un elemento v tale che}

Vn-+V’ ^e che

Àv- T(v) =0. Ma i v 11=1;

^{da ciò segue}

l’assurdo, perchè

per

ipotesi

^{~, non è un} autovalore di

T;

Q.E.D.

10. LEMMA. Sia T una a-contrazione lineare di B in sè. Nel do- minio

{~ : ~ E (t, I ~ &#x3E;_ 1 } l’insieme degli

autovalori coincide con lo spet-

tro di T.

DIMOSTRAZIONE

~).

Nel dominio

{~:!~~C, ~~1}

^indichiamo

con 1: l’insieme

complementare degli autovalori; poniamo

^{1:’ = 1:}

n p(T)

e 2:" la parte ^{restante. Si} Il Lemma sarà dimostrato

non appena si farà vedere che £"=0. Allo _scopo cominciamo coll’os-

servare che 1: è un insieme aperto

(nella topologia ^relativa)

^{e connesso,}

perchè gli

autovalori sono, nel dominio

considerato,

^{in numero} finito

(Lemma 5).

Allora anche 1:’ è aperto. ^Ne segue

che,

^{se E" fosse non}

vuoto, esisterebbe almeno un punto ^che sarebbe punto di ^accumu- lazione di

punti

^{di E’. Sia}

{ ~,n }

la successione tale che

Àn -+ À,

^con

3) ^Questo Lemma, ^{oltre al Teorema} 12, ^{era contenuto nella tesi di Laurea} - di E. Pillinini - Univ. di Trieste, ^1963.

Per il Lemma

9,

la successione

11 (Àr,I - T) -1 ~ I

è limitata:

Allora,

^fissato

S=M-1,

nell’intorno di centro ~, e

raggio

^{6 cade}

almeno un

~,n ,

^{con e si ha:}

Ciò

implica,

com’è noto, che ~, è un punto

regolare,

^e

questo

^è

assurdo;

Q.E.D.

Siamo ora in

grado

di dimostrare il Teorema voluto.

11. TEOREMA. Sia T una a-contrazione lineare di B in sè. Allora,

a(T)

ⁿ

{0161 : 0160E (~, I 0160 &#x3E; ^{1 } è}

^{un insieme}

finito.

DIMOSTRAZIONE. La dimostrazione discende dal Lemma 5 e dal Lemma 10; Q.E.D.

Il Teorema 11

può

^essere

migliorato:

12. TEOREMA. Sia T una a-contrazione lineare di B in sè.

è un numero arbitrario

positivo,

^allora

^(j(T)

^fl

^}

è un insieme

finito.

DIMOSTRAZIONE. Basta osservare

che, qualunque

^{la tra-}

sformazione è ancora una a-contrazione lineare

(vedi

^Pro--

posizione 4-b);

Q.E.D.

Val la _pena di osservare che se T è un operatore compatto, ^{si ha}

e

quindi

^{che il} Teorema 12

comprende

come caso

particolare

i noti risultati sullo spettro ^{di un} operatore compatto.

Infine, poichè

^risulta

~(Tn) _ (~(T))n,

per

ogni

^intero

positivo

^n,

si

può

ulteriormente

generalizzare

^il Teorema 12 con il seguente:

13. TEOREMA. Tutte le conclusioni del Teorema 12 sono ancora

valide non appena si ha che fin è una a-contrazione lineare _per

qualche

intero n

positivo.

Diamo ora un Teorema

che,

^{oltre ad}

esprimere

^una

proprietà

^delle

oc-contrazioni

lineari,

^ci indica che i

punti

^di

c(T)

^{che sono} esterni al

cerchio

{~: ~ E (t; I ~ 1 }

^{sono di}

« tipo

f inito » : la

questione

^sarà

analizzata nei

dettagli

^nel

paragrafo seguente.

14. TEOREMA. Sia T una a-contrazione lineare di B in sè. Detto M il nucleo

dell’applicazione

^{I - T : M = Ker}

^{(I - T),}

^{si ha che M è di}

dimensione

finita.

DIMOSTRAZIONE. Sia X un insieme limitato di M. Si ha che X

=T(X).

^{Poichè T è una}

a-contrazione,

^risulta:

con

hT

^minore di uno. Quindi

a(X) = 0;

^{da ciò} segue la

conclusione, perchè

^{X è}

arbitrario;

^Q.E.D.

3. Nel

paragrafo precedente

^abbiamo dimostrato che i

punti

^~,

di

a(T)

soddisfacenti a

&#x3E;

^{1 sono al}

più

^{in numero}

finito, nell’ipotesi

che T sia una a-contrazione lineare. Siano essi in numero di n e indi- chiamoli con ...,

,n .

Con _yk indichiamo una circonferenza di centro

~,k

^e

raggio

^{tale da non contenere nel suo} interno altri

punti

^di indichiamo infine con

Pk=P(Àk)

^la

proiezione R(~; T)d~.

Yk

Vogliamo

^ora analizzare

quali

conseguenze hanno sulla T le

proprietà spettrali

^{viste in}

precedenza.

Cominceremo col dimostrare un Lemma:

15. LEMMA. Per

ogni

^{indice k}

(1 k n)

^la

proiezione

^{Pk è una}

a-contrazione lineare.

DIMOSTRAZIONE.

Supponiamo dapprima

^che

L’operatore

Pk con opportune trasformazioni

4)

^si

può

^{scrivere nel} seguente ^modo:

Indichiamo con Ek

l’operator

si ha dun-

4) Cfr., ad esempio, Riesz-Nagy, Leçons d’Analyse fonctionnelle, pag. 409.

que: Pk=ToEk. ^{T ed} Ek ^{commutano e}

quindi,

per

ogni

^intero po-

sitivo,

^{si ha:}

Pk=Pm=TmoEm.

^Una verifica materiale porge che Si ha allora:

max il ^R(~; T) jj

^{ove si è indicato con Sk il}

raggio

^{di yk . Da ciò si dedu-}

ce che esiste un m tale

che j) E~ )~1.

Ricordando le

proposizioni

^{4-a e 4-c si}

può

^allora concludere che Pk ^{è una} a-contrazione lineare.

Passiamo ora a considerare il caso in

cui ~ I Àk

^=1.

^{Sia ~}

^{un numero}

complesso

soddisfacente a:

1 ~ hT 1.

^{Per la}

Proposizione 4-b, ~T

^è

ancora una a-contrazione

lineare;

inoltre si ha:

ove il

raggio sk

^di yk è stato preso minore di

1 -I g i -I. Ripetendo

^ora

i

ragionamenti

^{fatti nel caso}

precedente,

^{si ha}

^che,

^{indicata con Ek la}

trasformazione risulta:

È perciò possibile

^{trovare un m tale che}

risulti ~ E~ ))~1; poichè (vedi Proposizione 4-a) { ~T }m

^{è una}

a-contrazione,

^si

può

^{anche in} questo

caso concludere nel modo

voluto;

Q.E.D.

Ferme restando tutte le altre

notazioni,

^{sia u’ la} parte ^di

a(T)

^for-

mata dai

punti À,1,

...,

~,n

^{e a" la} _parte ^restante. Indichiamo con r una

circonferenza del

piano complesso

^{di centro}

l’origine

^e

raggio

^minore

di uno e tale da contenere nel suo interno cr". Indichiamo con Q la

proiezione ( - 2~i ) -1 f R(~; T )d~,

^{e con P la}

proiezione

Pl -~- PZ -f- ... -E- Pn .

r

Risulta,

com’è noto, che P+Q=I

(identità

di

~(B)); quindi

^{T si}

può

esprimere

^come

^{U -~- V ,}

^{ove U = T o P e}

V = T o Q ;

inoltre si vede f acil-

mente che: e

Ora,

per il Lemma

15, ogni

Pi

( i =1, 2,

^...,

n)

^{è una} a-contrazione e

quindi,

per il Teorema

14,

Mi

(la

varietà invariante _per

Pi)

^{è di} dimensione finita. Detta M la va-

rietà invariante _per

P,

^una verifica materiale _porge che M = Mi ® M2 ® ae

... EB Mn; perciò

anche M è di dimensione finita. Se infine indichia-

mo con N la varietà invariante _per

Q,

^{si ha che}

B=MEBN,

^e

U(B)=

= U(M) = T(M).

^Si

può dunque

concludere con il seguente

16. TEOREMA. Se T è una oc-contrazione lineare di B in

sè,

^{si ha} che T = U-f-

V,

^{con U avente} rango di dimensione

finita

^{e V con lo} spet-

tro contenuto all’interno del cerchio unitario.

OSSERVAZIONE. Se _rv è il

raggio spettrale

^di

^V,

^{si ha che}

liM I

^da

questo

segue subito che esiste un n, tale che

IL vnll

^{1; cioè V} è tale che ^{una sua}

opportuna

potenza ^{è una contra-} zione ordinaria.

Il Teorema 16 e l’osservazione

precedente

^ci permettono ^{di avere} altre informazioni

sull’operatore

V. Sussiste infatti la seguente

proposi-

zione :

17. PROPOSIZIONE. Sia V un operatore ^{lineare e} continuo di B in

sè,

^{avente lo} _spettro ^interno al cerchio

{0161: 0160 E (t, I 0161

¹

^{} .}

^Allora

B

può

^essere dotato di una norma

equivalente

^{alla norma}

originaria,

tale

che, rispetto

^{ad essa, V sia una} contrazione.

DIMOSTRAZIONE. Per

ipotesi,

^{esiste un}

n

tale

che il ^{= e}

^1.

Poniamo,

per

ogni

^{x e B :}

Si ha:

Ma, poichè

^{le due} norme sono

equivalenti (facile verifica),

si ha anche che esiste una costante

03B2 &#x3E; 0,

^{tale che} per

ogni

^xeB.

In definitiva risulta:

e questo ^{ci dice che}

V, rispetto alla ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~,

^{è una}

contrazione;

Q.E.D.

Torniamo ora alla a-contrazione

T = U -f- V;

^{indicato con B lo} spa- zio B munito della norma data dalla

(4),

^{si ha che B è uno}

spazio

^di

Banach;

consideriamo T come appartenente ^a

2(B):

^{T è ancora una}

a-contrazione,

ⁱⁿ quanto ^{somma di una} contrazione ordinaria e di un

operatore ^di rango finito

(Proposizione 4-d).

Consideriamo ora

l’aggiun-

ta di

T, T* E (B*).

Si ha che

T*=U*+V*,

^e

quindi

^anche

è una a.-contrazione. Si

può dunque

^{enunciare la} seguente

proposizione:

18. PROPOSIZIONE. Se T è una a-contrazione lineare di B in

sè,

allora si

può

^{trovare in B una norma}

equivalente

^alla

^data,

^{tale che}

l’aggiunto

^di

T, T*,

considerato come appartenente ^a

2(B*),

è anch’esso

una a-contrazione.

OSSERVAZIONE. La

Proposizione

¹⁸

generalizza,

^{in un certo sen-}

so, il fatto noto che

l’aggiunto

^{di un} operatore

completamente

^continuo

è

completamente ^continuo,

^{come anche che}

l’aggiunto

^{di una} contrazione è una contrazione.

Sarà opportuno ^osservare

esplicitamente

^{che non è detto che}

un’ap- plicazione

^{il cui}

spettro

^{sia contenuto} nel cerchio

{~ : ~eC , ~)1} }

^sia

necessariamente una a-contrazione. Ad

esempio,

^se

prendiamo

con la norma

allora

l’applicazione

^{T definita}

ponendo:

non è una

a-contrazione,

^mentre

a(T)

^{è contenuto}

in {0161 : 0160 E (t, I ~ ~ 1 }.

Si noti che il

precedente

^{è anche un}

esempio

^di operatore ^{che non} è una

a-contrazione,

^ma tale che una sua potenza ^{è una} a-contrazione.

Inoltre,

^{con lievi}

modifiche,

^esso

può

^{essere adattato} per ^mostrare che una a-contrazione di uno

spazio

^{di Banach B in}

sè, può

^{non essere}

più

^{tale se in B si} pone un’altra norma

equivalente

alla data. Infatti in

B = ~2 ® l2 l’applicazione

^{non è una a-con-}

trazione ma se in B si pone la ^norma

(equivalente

^alla

^data):

4

x, y] 111 = 1

₄

^{x l/~.+ Il}

^y

^{~~ r2, rispetto}

^{ad essa ET}

^{(per ogni E 1)}

^è

una a-contrazione

(anzi

^{è una}

contrazione).

4. La nozione di a-contrazione

può

^{essere estesa in modo abba-}

stanza

naturale,

considerando le

applicazioni

^T continue che

godono

^del-

le

proprietà ^a)

^e

^b)

della Definizione 3, ^senza

però

richiedere che

hT

sia minore di uno. Queste

applicazioni

^{saranno dette}

applicazioni a-lip-

schitziane. Nel caso

lineare,

è ovvio che

ogni applicazione

continua è

a-lipschitziana

^e che risulta:

T Il.

Per

ogni applicazione

^{lineare e continua T di B in}

^sè,

consideriamo la trasformazione kT = T’ con T’ è una

a-contrazione,

^e

quindi

ad essa possono ^essere

applicati

ⁱ

ragionamenti

^{fatti nei}

paragrafi

pre- cedenti. In

particolare,

^ad

esempio,

dal Teorema 12 si ha che:

19. PROPOSIZIONE. Se T è una

applicazione

^{lineare e continua}

di B in sè lo spettro ^{di T non ha}

punti

di accumulazione

fuori

^del

cerchio

{~ : ~ E .t , I ~ _ hT }.

Un

analogo

del Teorema 16

può

^{essere anche ottenuto:}

20. PROPOSIZIONE. Se T è

un’applicazione

^{lineare e} continua di B in

sè,

per

ogni h &#x3E; hT ,

^T

può

^essere

decomposto

ⁱⁿ

^U+V,

^{con U}

avente il _rango di dimensione

f inita

^{e V con lo} spettro ^{contenuto all’in-}

terno del cerchio del

piano complesso

^{di centro}

l’origine

^e

raggio

^h.

Manoscritto pervenuto ⁱⁿ redazione il 20 settembre 1968.