D20356. Enveloppe isoptique
Soit dans un plan une courbe C, et sur C une corde variable M N vue du point F sous un angle constant. Montrer que le point de contact T de M N avec son enveloppe se déduit aisément du point P intersection des tangentes à C en M etN.
Solution
Le pointT se construit par un simple report d’angle, car les anglesM F N etP F T ont mêmes bissectrices. En voici une preuve élémentaire, découlant du théorème de Ménélaüs.
Considérons deux cordes, M N et M1N1, se coupant en T1. Les droites M M1 etN N1 se coupent en P1.
Dans le triangleM1N1P1, la sécante M N T1 donne par Ménélaüs (M M1/M P1)(N P1/N N1)(T1N1/T1M1) = 1.
Chacun de ces rapports s’interprète comme le rapport d’aires de triangles de 3e sommetF (point fixe quelconque) :
S(F M M1)/S(F M P1), S(F N P1)/S(F N N1), S(F T1N1)/S(F T1M1).
On a donc
S(F M M1)S(F N P1)S(F T1N1) =S(F M P1)S(F N1)S(F T1M1), ce qui donne sin(F M, F M1) sin(F N, F P1) sin(F T1, F N1) =
= sin(F M, F P1) sin(F N, F N1) sin(F T1, F M1),
et si (F M, F N) = (F M1, F N1) (cordes vues de F sous le même angle), on a (F M, F M1) = (F N, F N1) et
sin(F N, F P1) sin(F T1, F N1) = sin(F M, F P1) sin(F T1, F M1).
Faisant tendreM1, N1, P1, T1 vers M, N, P, T on a
sin(F N, F P) sin(F T, F N) = sin(F M, F P) sin(F T, F M), puis cot(F M, F N)−cot(F M, F P) = cot(F M, F N)−cot(F T, F N), ce qui entraîne l’égalité des anglesM F P etT F N.
Remarque.
Jean-Nicolas Pasquay (54) observe que, les couples de droites (F N, F M1) et (F M, F N1) étant isogonaux, la relation de Ménélaüs entraîne que les deux couples de droites (F N1, F M) et (F P1, F T1) sont aussi isogonaux, de même que les couples (F M1, F N) et (F P1, F T1).
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