A567. Une avalanche de carrés
Q1 : On considère les 22013 expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+) ou moins (–). On les multiplie toutes entres elles. Démontrez que le résultat est un carré parfait.
Q2 : 2013 nombres réels a, b, c, d,... z sont tels que a² ≤ 1, a² + b² ≤ 5, a² + b² + c² ≤ 14, a² + b² + c² + d² ≤ 30, a² + b² + c² + d² +...+ z² ≤ 2 721 031 819.
(Voir la suite des nombres pyramidaux carrés http://oeis.org/A000330).
Quelle est la valeur maximale de la somme de ces 2013 nombres ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Paul Voyer
Q1
L'expression obtenue par la multiplication de (1±x±y…±z) pour toutes les combinaisons de ± est composée de termes xayb…zc dans lesquels tous les exposants a, b, c,… sont pairs, car elle est inchangée par un changement x|-x, y|-y...
C'est donc un entier.
La même expression obtenue avec -1 au lieu de +1 est égale à la précédente car c'est le produit des mêmes termes avec le signe opposé, termes en nombre impair.
Le produit de l'énoncé est donc le carré de cet entier.
Q2
Les nombres a, b, c, … ayant une somme maximale sont les nombres 1, 2, …, 2013.
Leur somme vaut
2 2014
*
2013 = 2 027 091.
Justification :
Pour les deux premiers éléments, a+b est maximal si a=1, b=2.
En effet, a+b ≤ a + 5a², fonction de a, maximale pour a=1, valant 3.
De même pour c + a²b², etc…, où l'expression sous radical a sa valeur maximale, ce qui détermine c, d, etc... de proche en proche.
