D1882. Directions à respecter (2ème partie) MB
On donne le triangle ABC et deux droites orthogonales Δ1/Δ2 qui se coupent en un point O fixe.
En reprenant l’énoncé du problème D1880 - Directions à respecter (1ère partie), on trace :
- les points A' sur CA, B' sur BC, et C' sur AB, tels que les bissectrices des droites BC et AA', CA et BB', AB et CC' soient parallèles aux directions Δ1/Δ2
- les droites AA', BB' et CC' qui sont concourantes en un point P.
- les points A'' = B'C' ∩ BC, B'' = C'A' ∩ CA et C'' = A'B' ∩ AB qui sont alignés sur une droite Δ.
Soient α = AP ∩ Δ, β = BP ∩ Δ, γ = CP ∩ Δ. Déterminer les lieux de ces 3 points quand les droites Δ1/Δ2 pivotent au tour du point O.Ces lieux ont 4 points remarquables en commun qu'on précisera.
Coordonnées barycentriques. Les coordonnées du point P qui parcourt le cercle (A,B,C) sont (p,q,r).
L'équation de la droite AP est Y/q = Z/r
D'après la solution de D1880 donnée par Jean Moreau de Saint-Martin, la droite Δ a pour équation : X/p + Y/q + Z/r = 0 et elle passe par le point de Lemoine L(a²,b²,c²).
Les droites AP et Δ se coupent en α ( –2p, q, r).
P est sur le cercle (A, B, C) donc a²qr + b²rp +c²pq = 0. En remplaçant p par – X/2, q et r par Y et Z on obtiendra l'équation du lieu de α :
a²YZ – X(b²Z+c²Y)/2 = 0
C'est une conique circonscrite au triangle ABC, elle passe par le point de Lemoine L.
Si on la coupe par la droite de l'infini en faisant Z = – X – Y il vient :
b²X² – XY(2a² – b²+c²) – 2a²Y² = 0 les directions asymptotiques sont réelles, cette conique est une hyperbole.
La tangente au cercle (ABC) en un point (u,v,w) a pour équation a²(wY+vZ)+b²(wX+uZ) +c²(uY+vX) = 0 La tangente en A (1, 0, 0) : b²Z + c²Y = 0
La tangente à l'hyperbole en un point (u,v,w) a pour équation 2a²(wY+vZ) – b²(wX+uZ) – c²(uY+vX)= 0 La tangente en A(1, 0, 0) : b²Z + c²Y = 0
L'hyperbole lieu de α passe par les 4 points A, B, C, L et est tangente en A au cercle (ABC).
Les lieux des trois points α, β, γ sont trois hyperboles passant par le point de Lemoine L, circonscrites au triangle ABC et respectivement tangentes en A, B ,C au cercle ( A, B ,C )
