Q₁ : On considère les 22013 expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+ ) ou moins (–) . On les multiplie toutes entres elles. Démontrez que le résultat est un carré parfait.
Q₂ : 2013 nombres réels a,b,c,d,....z sont tels que a² ≤ 1, a² + b² ≤ 5, a² + b² + c² ≤ 14, a² + b² + c² + d² ≤ 30, a² + b² + c² + d² +...+ z² ≤ 2 721 031 819. ( Voir la suite des nombres pyramidaux carrés http://oeis.org/A000330). Quelle est la valeur maximale de la somme de ces 2013 nombres ? Justifiez votre réponse.
Q1 : Plus généralement, considérons les expressions où la variable x remplace le terme
√k, et soit P(x) leur produit. P(x) est le produit de termes de la forme
(x+y)(x-y)(-x+y)(-x-y)=(x2-y2)2 où y=1±√2±...±√(k-1)±√(k+1)±...±√n a 2n-2 formes possibles ; √P(x) =∏(x2-y2) est alors un polynôme en x2, et pour x=√k s’exprime en fonction de k sans radicaux ; ceci pour tout k : on en déduit que √P s’exprimant sans radicaux est un entier, donc que Pest un carré.
Q2 : Plus généralement, soient n nombres réels a1, ..., an, tels que a12≤1,
a12+a22≤5, ..., a12+... +an2≤n(n+1)(2n+1)/6 ; si ai convient, -ai également, et puisque nous cherchons à maximiser leur somme, nous pouvons supposer que tous les ai sont positifs ou nuls.
a12≤1, donc a1≤1 ; dans le plan de coordonnées a1 et a2, a12+a22≤5 est l’intérieur d’un cercle centré sur l’origine de rayon √5 ; la valeur de a1+a2 croît avec la distance à l’origine de la perpendiculaire au vecteur (1, 1) à laquelle le point appartient Pour a1+a2>3, il n’y a plus d’intersection admissible (a1≤1) avec le cercle : nous avons donc a1+a2≤3, l’égalité n’ayant lieu que pour a1=1, a2=2.
De même, la section de la sphère a12+a22+a32=14, par le plan a1+a2+a3=6 avec a1≤1, a1+a2≤3 se projette dans le plan (a1, a2) au point unique a1=1, a2=2, ce qui entraine a3=3, donc un maximum pour a1+a2+a3 égal à 6.
Par une récurrence immédiate, on généralise, dans l’espace euclidien de dimension n, à la section de l’hypersphère a12+... +an2=n(n+1)(2n+1)/6 par l’hyperplan
a1+...+an=n(n+1)/2 , qui avec les contraintes a1+... +ak≤k(k+1)/2 pour tout k<n se réduit au point a1=1, ..., an=n, donc a1+...+an≤n(n+1)/2.
Ainsi pour n=2013, a1+...+an≤2027091
