ANALYSE MATHEMATIQUES 1

CONCOURS ESIGETEL - SESSION MAI/JUIN 2000 Série MP

MATHEMATIQUES 1 ANALYSE

DUREE

4 HEURES

COEFFICIENT 5

Nombre de pages : 3

Rappels et notations :

O si z est un nombre rhl, E ( z ) dbigne sa partie entihe.

0

Co,

([a, b]

,

C ) dbigne l'espace vectoriel complexe des fonctions dMmies, continues ^par morceaux

0

C1

( [ a , b]

,

C) dbigne l'espace vectoriel complexe des fonctions d&hies, de classe

C '

sur [O, b] et ii

0 pour tout r k l z E [O, x / 2 ]

,

sin z

2

:z.

O

Pour

tout r h l z, _lsinz(

< 1.1.

O pour tout r b l s

>

^{1, on} pose ~ ( s ) =

C 5 .

sur [a,b] et ii valeurs dans C.

valeurs dans C.

+m

n=l

PARTIE

I :

1 a) Soient t ^E ]O, 27r[ et n E N'. DBmontrer la relation suivante :

1 " sin ((n

+ 3 )

^{t )}

2sin

(8)

3 + C-W

⁼

P=1

n

sin+) sous la forme

-

P

5-7r

b)

En

dfkluire, pour 5 E

JO,

27r[ et n E

N ' ,

une expression de

- +

2 P=l

d'une intkgrale.

2 Soit f ^E C' ( [ a , b]

, C ) .

Dbmontrer que la suite

(s,"

f(t)e'"'dt)

3 Dauire de ce qui p r W e que pour tout r h l E ]O, 27r[, la A i e de terme etbal

'in@.)

conwge converge vers &o.

n E N

P sin@x)

+m

et donner la valeur de

-.

_n

p=l

PAWJE II :

Dans cette partie (&)kEN. est une suite rhlle strictement positive, dkroissante et de limite nulle.

On consid&re, pour ⁿ E

N ' ,

le^ fonctions A,,, fn, Dn dBfinieS ^SUI [O, 2 ~ ] ^par :

n n n

Dn(5) = X S h k z , An(z) =

C ( P k

- P k + l ) D k ( z ) , fn(z) = C P , & k z ,

k = l k = l k r l

1. a) VBrifier que l'on a, pour tout z E _[0,2r] :

b)

Etablir les inbgalitb suivantes (avec n

>

p

2

1 et toujours z E [0,2?r]) : sin

6) ^IAP(4I

^{Q P1- P*l,}

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2. En dBduire que la suite (f,JnEN. converge simplement sur [O, 2x1 vers une application f. Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment [a,2n

-

^a], (avec a E ]O,n[). Que peut-on

dors

dire de la fonction f ?

PARTIE

III :

Dans cette partie on consid&re la suite de fonctions dr56nie sur [O, 2x1 par :

n sin kx S n ( 4 =

c ^k

k=l

1. Soit

S

la limite simple de

2 a) Soient x E ]O, n[ et p = ,Y(:). Montrer que

2

^@!&

<

^A.

sur [O, 274

.

S estelle continue?, continue par morceaux?

I*=1

1

b) En utilisant II lb), montrer que pour x E ]O, n[ et n

>

p :

12

^{+ 2 .}

k=p+l

c) Conclure que pour tout x E ]O, T [

,

ISn(Z)l Q M = A

+

^2. Expliquer pourquoi cette dernihe 3 pour toute fonction f E

CO,

([O, 2x1,

C I

et pour tout k ^E N, on pose ^bk(f) =

3 : J

f ( t ) sinktdt.

D6duire des prk(3dentes questions que la drie de terme g h & d int5galit6 est vraie pour tout r b l z.

est convergente et que sa somme vt5rifie :

(On prkisera le th6orGme utilid) 4. Applications :

a) En choisissant f ( t ) = t, calculer C(2) =

b) On choisit ici f(t) ⁼ exp(ixt) oh x est un r h l qui n'est pas un entier relatif. Montrer que l'on

+O0

k=l

&.

obtient le dkveloppement suivant :

? r c o t a n ( l r x ) = - + C = 1 +Oo 22

A!=l

+O0

k=O

c ) Trouver, pour x E R\Z, une relation entre

C *,

cotan(nz) et cotan

(y).

PARTIE

IV :

1 DBterminer l'ensemble 2) des r&ls x pour lesquels la fonction t ^I+

2 a) Montrer que pour tout z E

R

et pour tout t E ]O, +oo[

,

on a :

est intkgrable sur ]O, +CO[.

(On

pourra d'abord considber le cas oh x est strictement positif.)

b) Soient x E 2) et k ^E N. Etudier l'intBgrabilit4 sur [O, +CO[ de la fonction ^Uk : t ^H 2 sh (&) c) Montrer (en justifiant avec prkision) que pour tout x E 2) :

+W 22

1'"

^{s d t = k = O (2k}

⁺

^1)'

^-

^x2

3

En

d(3duire la relation suivante :

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PAF~TIE

v

:

1 a) Soit ^rn E

N ' .

Montrer que la fonction prn : )O, +oo[ -*

R,

t H

&

est intbgrable

sur

]O, +oo[, b) Justifier l'bgalitb suivante :

c )

En

d a u b e que l'on a :

-& = 2.m! (1

-

2 - 9

.C

(rra

+

¹⁾

1'"

Dans

la suite de cette partie, les notations sont celles de la

PARTIE IV .

p p + i =ap+ 1

2 Soit x E 2). VbrSer que pour tout entier naturel p, la fonction vp : t ^{H mf}est intkgrable 3

En

d a u b e que pour tout z E 2) :

sur ]O, +co[ et expliciter la valeur de son intbgrale en fonction de ( (2p

+

^2).

4 a) Conclure que la fonction tan est dbveloppable en &rie entihe sur

] -g, 5 [

et prkiser les b) Comment pourrait-on alors determiner les valeurs de

C

(2) ⁾

C

(4)

, C

(6)?

coefficients de ce d4veloppement.

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