Cours de Mathématiques - SRC1.

Cours de Mathématiques - SRC1.

7 février 2010

Chapitre 1

Les fonctions

Notations

R ]− ∞; +∞[ Tous les réels.

R⁺ [0; +∞[ Les réels positifs.

R⁻ @]− ∞; 0[ Les réels négatifs.

R^∗+ ]0; +∞[ Les réels positifs non nuls.

x∈R^∗− xappartient à R^∗− xest strictement négatif

Déf Définition

Prop Proposition

Th. Théorème

1.1 Généralités sur les fonctions

1.1.1 Définition et rappels

Définition 1.1.1

SoitI une partie de l’ensemble des réels. Définir une fonctionf sur I, c’est associer à chaque réel xdeI un réel y et un seul. On note :

On note : f :x7→y ou y=f(x)

On lit : ^{fonctionfqui àxassociey} ou y égale f de x

Une fonction est une ”machine” qui transforme des nombres x pris sur un ensemble I en des nombres y qui appartiennent à un ensemble J. L’ensemble des x que l’on peut rentrer dans cette machine s’appelle l’ensemble de définitionde la fonction.

Exemple 1.1.1

• x7→2xest une fonction qui a un nombre associe son double. On peut la définir sur tout R.

• x7→√

xest une fonction qui a un nombre associe sa racine carrée. On peut la définir sur tout R⁺.

Définition 1.1.2 • Siy=f(x), on dit quey estl’image dexpar la fonction f.xestl’antécédentdey par la fonction f.

• On peut également parler de l’image d’un intervalle I : on le notef(I).

Exemple 1.1.2 Prendref :x7→2x.f([0; 2.5]) = [0; 5]. ex avec une courbe.

1.1.2 Description d’une fonction : croissance, continuité . . .

Croissance, décroissance, continuité

Une fonction, définie d’un intervalle I deRsur un intervalle J, peut être représentée sur papier parsa courbe repré- sentative. Utilisons cette représentation visuelle pour donner une définition intuitivede la croissance/décroissance d’une fonction et de la continuité d’une fonction.

Définition 1.1.3

Soit f :I 7→ J

x 7→ y une fonction définie sur un intervalle I deR.

– Si l’on peut tracer sa courbe représentative sur tout I sans lever le stylo (pas de saut, de discontinuité), on dit que f est continue sur R.

– Si la courbe représentative ”monte” sur tout I,f estcroissantesur I.

3

Théorème 1.1.1

L’imagef(I)d’un intervalle deRpar une fonctionf continue est un intervalle deR.

Donnons une définition plus rigoureuse de la croissance... Celle de la continuité sera pour plus tard ! Définition 1.1.4

Soit f :I 7→ J

x 7→ y une fonction définie sur un intervalle I deR.

f estcroissantesi pour tout x, y de I tels que b > a alorsf(b)≥f(a).

f eststrictement croissantesi pour tout x, y de I tels que b > a alorsf(b)> f(a).

f estdécroissante si pour tout x, y de I tels queb > a alorsf(b)≤f(a).

f eststrictement décroissante si pour tout x, y de I tels que b > aalorsf(b)< f(a).

f eststrictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Exemple 1.1.3

• Courbes...

• f :x7→2x

• f :x7→ −x

Théorème 1.1.2 Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalle I :

• si pour toutx∈If⁰(x)>0 alorsf est strictement croissante sur I.

• si pour toutx∈If⁰(x)<0 alorsf est strictement décroissante sur I.

Bijection

Cette notion, un peu abstraite, nous sera utile pour définir des fonctions réciproques (fonction réciproque du logarithme7→exponentielle).

Définition 1.1.5 Soitf une fonction définie d’un intervalle I deRsur un intervalle J de R.

Prenons un élémenty deJ.

Siy, où qu’on l’ait pris, aun et un seulantécédent xsur I, alors on dit quef est unebijectionde I sur J.

Exemple 1.1.4 – Sur des courbes.

– x7→2x.

Théorème 1.1.3

Soitf une fonction définie sur un intervalle I,continue et strictement monotonesur I. Alorsf est une bijection de I sur f(I).

Exemple 1.1.5 f :x7→x² est strictement croissante et continue sur R⁺.f est donc une bijectionde I=R⁺ sur J =f(R⁺) =R⁺. Pour tout y de J, il existe donc un et un seul nombre sur I dont le carré vaut J. Ce nombre est la racine carrée de y. C’est ainsi qu’on définit la fonction qui axassocie y=√

x.

Théorème 1.1.4

Sif est bijective de I sur J, on peut définir une unique fonction réciproqueg, définie de J sur I, telle que pour tout xde I,g(f(x)) =xet pour tout xde J,f(g(x)) =x. Cette fonction est notée f⁻¹.

Exemple 1.1.6 Pour toutx∈R^∗+ √

x²=xet√

x²=x. La fonctionx7→√

xest la fonction réciproque de la fonction x7→x².

exercice :Trouvez la fonction réciproque de la fonction :

• f :x7→3x(sol : f⁻¹(y) = ^y₃).

• f :x7→ −2x+ 2(sol :f⁻¹(y) =−¹₂y+ 1; résoudrey=−2x+ 2oùxest l’inconnue pour trouverxen fonction dey...).

Théorème 1.1.5 La courbe représentative d’une fonctionf et celle de sa fonction réciproquef⁻¹ sontsymétriques par rapport à la droitey=x.

Tracer les courbes représentatives dans l’exo précédent.

IU T SRC1 Cours maths 2008/2009

Fonctions affines

Définition 1.1.6 • Une fonction affine est de la forme f :x7→ax+b oùaetb sont des nombres réels.

• Sa courbe représentative est une droite, la droite d’équationy=ax+b.

Exemple 1.1.7 f :x7→2x+ 3,g:x7→ −x+ 2.5,h:x7→ ³₂x+√

2sont toutes des fonctions affines. l:x7→2x²+ 3 n’en est pas une.

Proposition 1.1.1 La dérivée de la fonctionf :x7→ax+best la fonction constante définie sur toutRparf⁰(x) =a.

Corollaire 1.1.1 Une fonction affinef :x7→ax+beststrictement croissantesi a>0,strictement décroissante sia <0.

1.2 Fonction logarithme - fonction exponentielle

1.2.1 La fonction logarithme

Définition

Intro : voir qu’il y a un ”trou” dans les dérivées : quelle fonction a pour dérivée ¹_x? ? Définition 1.2.1 L’unique fonction définie surR^∗+ qui s’annule enx= 1et dont la dérivée vaut _x¹ sur R^∗+ est appeléelogarithme népérien, et notée ln.

Attention ! On noteln(x)ou simplementlnxle logarithme népérien dex. En traduisant la définition : Proposition 1.2.1

• lnxexiste pourx >0.

• ln⁰x= ¹_x.

• ln 1 = 0.

Propriétés essentielles ; variations

Théorème 1.2.1 pour toutx >0, pour touty >0, lnxy= lnx+ lny

”Le logarithme transforme le * en +”.

exercice :Montrez queln 6 = ln 3∗ln 2. Montrez queln 2³= 3∗ln 2.

Corollaire 1.2.1 Pour toutx >0, pour toutn,lnxⁿ =n×lnx.

Application :Trouverntel queaⁿ> b (oùaet bsont connus). Exemple : sur combien de bits peut-on coder 10000

→revient à trouver le plus petitntel que2ⁿ>10000.

Faire le tableau de variation du ln (strictement croissante). Faire la courbe représentative du logarithme (croissance lente).

Théorème 1.2.2 f :x7→lnxest dérivable donc continue surR^+∗; sa dérivéef⁰ est strictement positive doncf est strictement croissante surR^+∗; par conséquent, f est une bijection de R^∗+ sur R.

Définition 1.2.2

Il existe un unique réel, noté e, tel que lne= 1;e est donc le nombre réel dont le logarithme vaut 1 ; il vaut environ 2.72.

1.2.2 La fonction exponentielle

Définition Définition 1.2.3

logarithme est une bijection deR^∗+ surRet admet par conséquent une unique fonction réciproque. Celle-ci est appelée exponentielleet est donc définie surRet à valeurs dans R^∗+ : pour toutx∈R,expx >0.

On aln 1 = 0par conséquentexp(ln(1)) =exp(0)et doncexp(0) = 1.

On alne= 1par conséquentexp(ln(e)) =exp(1)et donc exp(1) =e.

Propriétés essentielles Théorème 1.2.3

pour toutxet pour touty réels, exp (x+y) = expx×expy

”L’exponentielle transforme le×en +”

Corollaire 1.2.2

Pour toutx∈R expxy= (expx)^y.

Corollaire 1.2.3

Pour toutx∈R exp−x=_exp¹_x.

Exemple : ^e_e²3

Corollaire 1.2.4

Pour toutx∈R expx=e^x.

conséquence :on notee^x plutôt qu’expx. C’esteà la puissancex.

Théorème 1.2.4 La fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même : pour toutx∈R, exp⁰x= expx

conséquence :croissance extrêmement rapide ! Faire le tableau de variation et tracer la courbe.

1.2.3 Les fonctions puissances

Définition, puis théorèmesxⁿx^m=x^n+m, etc...

1.3 Les fonctions trigonométriques

Définition 1.3.1 Soit un repère orthonormal(0,~i,~j). SoitCle cercle trigonométrique représenté ci-dessous (de rayon 1 centré en l’origine du repère O), et soit M un point sur ce cercle ;xreprésente la distance parcourue par M depuis le point A (le plus à droite sur le cercle). C’est aussi, par définition du radian, la valeur de l’angle (AM O)^_ en radians.

M peut avoir parcouru plusieurs fois le cercle, ainsi quexpeut être n’importe quel nombre positif ; M peut parcourir le cercle dans le sens inverse du sens trigonométrique, ainsi quexpeut également être négatif.

On appelle cosxl’abscisse de M et sinxl’ordonnée de M .

Remarque :on peut donc associer à tout xson cosinus ou son sinus, coset sin sont des fonctions définies sur tout R. L’image dexparcos, cos(x)et parsin, à savoir sin(x), peuvent être notéescosxousinx(sans les parenthèses).

y

O

1 1

M 1

C S

x

A B

D

E

x

IU T SRC1 Cours maths 2008/2009

Théorème 1.3.1

∀ x∈ R, cos²x+ sin²x= 1 cosetsin sont2π-périodiques. (2π correspond à un tour de cercle).

cospaire, sinimpaire.

Théorème 1.3.2

dérivables surR,cos⁰ =−sin,sin⁰= cos.

Théorème 1.3.3 cos (x+π) =−cosx sin (x+π) =−sinx

cos (x+^π₂) =−sinx sin (x+^π₂) = cosx

2 formules trigo à connaître...

Théorème 1.3.4

cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) sin(a+b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)

Exo : trouver les autres formules..

Chapitre 2

Limites, continuité, dérivées

Ces notions sont fondamentales en mathématiques et également, pour ce qui est des dérivées en particulier, dans les matières qui utilisent les mathématiques comme outil : les dérivées sont utilisées dans toutes applications présentées lors du premier cours, en imagerie (variations de l’intensité de l’image), en météorologie (variations de pression, de températures,...) en mécanique et en physique en générale (la vitesse est la dérivée de la position...). Ce chapitre permet de comprendre leur construction, même si de nombreuses démonstrations ne sont pas faites, et d’étudier leurs propriétés et leur importance.

2.1 Les limites

2.1.1 Définition

Définition 2.1.1

• Définition intuitive : Soit f une fonction. On dit que f admet une limite l (qui peut être +∞ ou −∞) en x= a quand, plusxest proche dea, plusf(x)est proche del. On notef(x)−→x→a l.

Exemple 2.1.1 • limx−→2x²= 4.

• limx−→+∞

√x= +∞.

• limx−→+∞1 x = 0.

• limx−→+∞√1 x= 0.

Voici maintenant la définition rigoureuse de la limite (totalement hors-programme ! Pour la culture générale).

Définition 2.1.2

• Définition rigoureuse : Soit f une fonction. On dit que f admet une limite l finie en x =a quand, ∀² ∈ R,∃η >

0 tq∀x tq|x−a|< η,|f(x)−l|< ². (définition à adapter quand l etapeuvent être infinis).

Pour tout réel², on peut trouver un moment oùxest suffisamment proche deapour quef(x)soit à une distance plus petite que²del.

Autrement dit : poura∈Retl∈R(à adapter dans les cas infinis) :

∀²∈R,∃η >0∀x|x−a|< η⇒ |f(x)−l|< ²

C’est cette définition que l’on utilise pour démontrer rigoureusement les résultats de base, ceux qui nous permet- tront ensuite de trouver les limites de toutes les fonctions qui nous intéressent, ou de démontrer que les fonctions que nous manipulons sont continues. Nous admettrons ces résultats.

Comprendre la définition rigoureuse ci-dessus demande de l’aisance avec les notations mathématiques, avec le concept de distance et les valeurs absolues, avec le "quelque soit" et le "il existe". Elle est intuitivement simple, mais conceptuellement compliquée, étudier d’abord le chapitre sur les raisonnements pour bien la maîtriser.

2.1.2 Opérations sur les limites

Somme de deux fonctions

Sif a pour limite ena l l l +∞ −∞ +∞

Et sig a pour limite ena l⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

Alorsf+g a pour limite ena l+l⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ ? Exemples.

9

Produit de deux fonctions

Sif a pour limite ena l l6= 0 0 ∞ Et sig a pour limite ena l⁰ ∞ ∞ ∞ Alorsf×g a pour limite ena l×l⁰ ∞ ? ∞

Exemples

Quotient de deux fonctions

Si f a pour limite ena l l6= 0 0 ∞ ∞ Et siga pour limite ena l⁰6= 0 0 0 l⁰ ∞ Alors ^f_g a pour limite ena ^l_l⁰ ∞ ? ∞ ?

Exemples

Les 4 cas indéterminés

”⁰₀”, ”∞ ×0”, ”^∞_∞”, ”∞ − ∞”

Un exemple.

Les théorèmes pour traiter les cas indéterminés

Règle d’or : l’exponentielle l’emporte toujours sur les fonctions puissances (xⁿ, pur toutn>0), qui l’emportent toujours sur le logarithme. dans le tableau qui suit nest réel >0, ou simplement un entier>0 dans les cas où xpeut être négatif (par exemple,x¹² n’est pas défini sixest négatif).

Proposition 2.1.1

La limite de Quand xtend vers est

xⁿln(x) 0 0

ln(x)

xⁿ +∞ 0

e^x

xⁿ +∞ +∞

xⁿ×e^x +∞ +∞

e^x−1

x 0 1

sin(x)

x 0 1

cos(x)−1

x² 0 ¹₂

Exercices

• limite de ^2x_x2²−x+1^+x+1

• limite de ^e2x_x⁻¹

• limite de ^xe_sin(x)^{sinxx −x}

Ici on pourrait imaginer un chapitre sur la continuité (théorème des valeurs intemédiaires, image d’un intervalle par une fonction continue...). Faute de temps, je la passe.

2.2 Dérivation

intro : sur l’exemple de la voiture. La dérivée sert à observer lesvariations d’une fonction. Comment définir la vitesse de variation d’une fonction en un de ses points ?

2.2.1 Définition intuitive

Définition 2.2.1

– Nombre dérivée :Soitf une fonction définie de I sur J. On appellenombre dérivédef enaet on notef⁰(a) la vitesse de variation def en x=a.f⁰(a) existe sif admet une tangente en x=aetf⁰(a)est le coefficient directeur de cette tangente.

– Définition intuitive de la dérivée: La dérivée def :I7→J est une fonction qui mesure la vitesse de variation def en tout point xde I oùf admette une tangente.f⁰ :x7→f⁰(x).

Proposition 2.2.1 Par conséquent :

• Si sur un intervalle If⁰ est défini et f⁰(x)<0 alorsf est strictement décroissante.

• Si sur un intervalle If⁰ est défini et f⁰(x)>0 alorsf est strictement croissante.

• Soitaun point où f est localement minimale ou localement maximale. Alors f⁰(a) = 0.

IU T SRC1 Cours maths 2008/2009

2.2.2 Définition rigoureuse

intro :sur une courbe, approcher la valeur de la pente de la tangente entreaeta+ 1, puis entreaeta+¹₂, etc....

Définition 2.2.2 • Si limh→0 f(x+h)−f(x)

h existe et vaut l, alorsf est dérivable en a et son nombre dérivé vaut f⁰(a) =l.

• f est dérivable sur I si en toutxde If admet une dérivéef⁰(x). La fonctionf⁰ associe alors à tout xde I son nombre dérivé f⁰(x).

cf comment faire des dérivées sous matlab...

dérivable => continue.

2.2.3 Dérivées des fonctions usuelles

f(x) = f⁰(x) = f dérivable sur :

k(constante) 0 IR

x 1 IR

x² 2x IR

x³ 3x² IR

1

x −_x¹2 ]− ∞; 0[∪]0; +∞[

xⁿ nxⁿ⁻¹ IRsin∈Net≥0; ]− ∞; 0[∪]0; +∞[sin∈Net <0

]0; +∞[sinnon entier.

√x ₂^√1_x ]0; +∞[

2.2.4 Opérations sur les dérivées

f(x) = f(⁰x) =

somme f(x) =u(x) +v(x) f⁰(x) =u⁰(x) +v⁰(x) diff. f(x) =u(x)−v(x) f⁰(x) =u⁰(x)−v⁰(x)

f(x) =ku(x) f⁰(x) =ku⁰(x) produit f(x) =u(x)×v(x) f⁰(x) =u⁰(x)v(x) +v⁰(x)u(x)

inverse f(x) = _v(x)¹ f⁰(x) =−_[v(x)]^v0(x)2

quotient f(x) =^u(x)_v(x) f⁰(x) = ^u0(x)v(x)−u(x)v⁰(x) [v(x)]²

composition f(x) =u(v(x)) f⁰(x) =v⁰(x)u⁰(v(x))

2.2.5 Dérivée de la composée de deux fonctions

Théorème 2.2.1

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J, et v une fonction définie et dérivable sur J. La fonction définie parf(x) =v(u(x))est dérivable sur I et :f⁰(x) =u⁰(x)×v⁰(u(x)).

Exemple :dérivée de√

2x+ 3; dérivée deln (x²)

Conséquence :dérivée de la fonction réciproque : Soitf bijective de I sur J dérivable sur I ;f⁻¹ est alors bijective de J sur I et pour toutxde I f⁻¹(f(x)) =xdoncf⁻¹est dérivable en tout point bde J tel quef⁻¹(f(b))6= 0et

(f⁻¹)⁰(x) = _f0(f⁻¹¹(x))

Conséquence2 :démonstration queexp⁰ =expgrâce à cette formule, connaissant la dérivée du logarithme.

Exercices :dériver, là où c’est possible,f(x) =√

2x+ 3,g(x) = (−x+ 3)², h(x) =e^3x2−2x+1.

Chapitre 3

De nouvelles fonctions : les fonctions trigonométriques réciproques

3.1 Les fonctions trigonométriques réciproques

3.1.1 Sinus réciproque : asin

Aussi appeléearcinousin⁻¹.

Définition 3.1.1 La fonctionθ7→sin(θ)est strictement croissante est continue de[−^π₂;^π₂]sur f([−^π₂;^π₂]) = [−1; 1].

C’est donc une bijection de[−^π₂;^π₂]sur [−1; 1], on peut donc définir une fonction réciproqueasin qui vérifie y= sin(x) avec −π

2 ≤x≤ π

2 ⇔x=asin(y) avec −1≤y≤1 Proposition 3.1.1 • asin est continue et strictement croissante[−1; 1]sur [−^π₂;^π₂].

• Elle est dérivable sur [0; 1]etasin⁰(x) =^√_1−x¹ ₂ Tracé de la courbe.

3.1.2 Cosinus réciproque : acos

Aussi appeléearccosoucos⁻¹.

Définition 3.1.2 La fonction θ 7→ cos(θ) est strictement décroissante est continue de [0;π] sur f([0;π) = [−1; 1].

C’est donc une bijection de[0;π]sur [−1; 1], on peut donc définir une fonction réciproqueacos qui vérifie y= cos(x) avec 0leqx≤π⇔x=acos(y) avec −1≤y ≤1

Proposition 3.1.2 • acos est continue et strictement décroissante[−1; 1]sur[0;π].

• Elle est dérivable sur [0; 1]etacos⁰(x) =−^√_1−x¹ ₂ Tracé de la courbe.

Corollaire 3.1.1 ∀x∈[−1; 1],asin(x) +acos(x) =^π₂

Dém : dérivées égales au signe près doncacos(x) =−asin(x)+constante. oracos(0) = ^π₂ etasin(0) = 0donc constante vaut ^π₂.

3.2 cosinus et sinus hyperbolique

voir le TD.

13

Chapitre 4

Intégration

L’intégrale d’une fonctionf définie sur [a, b], notéeR_b

a f(x)dx, est égale à l’aire sous la courbe représentative def entrex=aetx=b. Nous allons voir son lien avec les primitives def, qui sont les fonctions dont les dérivées valent f(x).

Cette notion est très importante et a de nombreuses applications : transformée de Fourier (traitement d’images et de sons), en économie, lissage des risques, résolution d’équations différentielles, etc...

4.1 Primitive d’une fonction

4.1.1 Définition

Définition 4.1.1

Soit une fonctionf :I7→R. On dit queF :I7→Rest une primitive def sur I si F est dérivable sur I et si pour tout x∈I F⁰(x) =f(x).

Exemple :La dérivée deF(x) =x²est la fonctionf(x) =F⁰(x) = 2x, définie sur toutR. Donc la fonctionF :x7→x² est UNE primitive surR def :x7→2x. MaisG(x) =x²+ 5.3 définie surRa également pour dérivéef. Gest une autre primitive def.

Théorème 4.1.1

Sif :I7→Restcontinue sur I alors elle admet des primitives.

4.1.2 Non unicité de la primitive d’une fonction

Proposition 4.1.1

Soit une fonctionf :I 7→R admettant une primitive F sur I. La fonction G: I7→R est aussi une primitive de f sur I si et seulement s’il existe une constanteC∈Rtelle que pour toutxdeI,G(x) =F(x) +C.

Une fonction ne peut pas avoir une seule primitive, on ne peut donc pas parler de LA primitive d’une fonction.

faire la démonstration (intéressant pour la gestion du "si et seulement si").

Exemplevisuel sur les primitives def(x) =x².

Si l’on cherche une primitive d’une fonctionfdont on connaît déjà un point(par exemple primitiveFdef(x) = 2x telle queF(0) = 4), alors cette primitive est unique (celle en rouge sur le graphe).

4.1.3 Linéarité

La dérivation est linéaire, ce qui signifie que sif et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I etλest une constante,(f+g)⁰ =f⁰+g⁰ et(λf)⁰ =λf⁰. Il en va de même pour les primitives :

Proposition 4.1.2

Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Soitλune constante. Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors, F+G est une primitive de la fonction f+g etλF est une primitive deλf.

exemple :primitive def(x) = 6x²+₂^√1_x.

15

4.1.4 Tableau de primitives

4.1.5 Dérivées des fonctions usuelles

f(x) = Primitive F de f sur I= :

c(constante) cx+k,k∈R IR

x ¹₂x² IR

e^x e^x+k IR

cosx sinx+k IR

sinx −cosx+k IR

1

x lnx+k ]0; +∞[

x^{n x}_n+1ⁿ⁺¹ +k IRsin∈Net≥0; n6= 1 ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ sin∈Net <0

]0; +∞[sinnon entier.

4.2 Intégration

4.2.1 Définition

Définition géométrique

Définition 4.2.1 Soit f : [a, b] 7→ J une fonction positive admettant une primitive sur [a;b] et (C) sa courbe représentative.

L’aire du domaine (A) délimitée par : – La courbe (C)

– L’axe des abscisses

– Les droites d’équations x=aet x=b

est appeléeintégrale de f entre a et bet notée R_b

af(x)dx. Voir figure ci-dessous.

Exemple :calcul de R_a

0 2xdx

Calcul pratique de l’aire-définition analytique de l’intégrale

• Soitf une fonction définie sur[a, b]à valeurs positives (f : [a, b] 7→R⁺). Nous la supposerons croissante pour simplifier. Soit I son intégrale (aire sous la courbe) entreaetb, que l’on veut évaluer.

• Découpons[a, b]enN intervalle de longueur ∆x= ^b−a_N . Les points de séparation de ces N intervalles sont donc x0=a,x1=a+ ∆x, ...,xN =b.

• I est supérieur à la somme des aires des petits rectangles(appelons cette sommeA⁻) donc I≥f(x0)∆x+f(x1)∆x+· · ·+f(xn−1)∆x= (f(x0) +f(x1) +· · ·+f(xN−1))∆x

• I est inférieur à la somme des aires des rectangles verts (appelons cette sommeA⁺ donc : I≥f(x1)∆x+f(x2)∆x+· · ·+f(xn)∆x= (f(x1) +f(x1) +· · ·+f(xN))∆x

• QuandN, le nombre d’intervalle tend vers+∞, le pas∆xtend vers 0 et les trois airesA⁻, I etA⁺se rapprochent l’une de l’autre.

• I=lim∆x→0A⁻=lim∆x→0A⁺. Définition analytique :

Définition 4.2.2

Soitf une fonction continue sur un intervalle[a;b]. La limite de la suite

(Sn) =b−a N

NX−1 n=0

f(xk)

s’appelle l’intégrale de f entre a et b. On la note R_b

af(x)dx.

IU T SRC1 Cours maths 2008/2009

Cas des fonctions à valeurs négatives Dessin

Théorème 4.2.1 Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de f entre a et b est égale àl’opposé de l’aire au-dessus de la courbe (domainea≤x≤b etf(x)≤y≤0).

Cas des fonctions quelconques

Théorème 4.2.2 Soit f une fonction continue et de signe quelconque sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de f entre aetb est le nombre réel égal à la somme des aires des domaines situés au-dessus de l’axe des abscisses diminué de la somme des aires des domaines situés au-dessous de l’axe des abscisses.

exemples :

• Calcul deR_π

−πsinxdx

• Calcul deR₃

0(x−1)dx On a définiR_b

a f(x)dxpour une fonction continue et poura≤b. Et sib < a? Définition 4.2.3 Soitf continue sur[a;b] avec a≤b :

Z _a

b

f(x)dx=− Z _b

a

f(x)dx

4.2.2 Propriétés essentielles de l’intégrale

Relation de Chasle Théorème 4.2.3

Soitf une fonction continue sur un intervalle I et a, b, c trois réels quelconques de I : Z _c

a

f(x)dx= Z _b

a

f(x)dx+ Z _c

b

f(x)dx

Linéarité de l’intégrale Théorème 4.2.4

Soientf etg deux fonctions continues sur I et k un réel quelconque.

1. R_b

a k×f(x)dx=k×R_b

af(x)dx 2. R_b

a[f(x) +g(x)]dx=R_b

af(x)dx+R_b

ag(x)dx Comparaisons et intégrales

Théorème 4.2.5

Soientf etg deux fonctions continues sur I et k un réel quelconque.

1. Sif estpositivesur [a;b] alorsR_b

af(x)dx≥0.

2. Sif estnégative sur[a;b]alorsR_b

af(x)dx≤0.

3. Si pour tout réelxde[a;b]f(x)≤g(x)alorsR_b

a f(x)dx≤R_b

a g(x)dx.

4.2.3 Lien entre intégrale et primitive

Remarque :R_2.6

1.4 f(t)dt, ouR₄

2 f(t)dt, ou toutR_b

af(t)dtoùaetbsont connus sont desconstantes. La variabletest muette, c’est la variable d’intégration. En revanche, on peut faire varier un paramètre de l’intégrale :x7→R_x

0 f(t)dt est une fonction qui dépend dex.

Théorème 4.2.6 Soit f une fonction continue sur un intervalle I et aun élément de I. La fonction F définie sur I parF(x) =R_x

a f(t)dtest l’unique primitive de la fonction f qui s’annule en a.

Démonstration intéressante mais un brin technique. Utiliser la définition de la dérivée sur F, trouverlimh7→0F(x+h)−F(x)

h =

f(x).

ÃUtilisation : étudier les primitives d’une fonction lorsque l’on en n’a pas de formule explicite.

Théorème 4.2.7 Soitf une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive def sur I. Si aetb sont deux éléments quelconques de I, alors :

Z _b

a

f(x)dx=F(b)−F(a)

ÃUtilisation : Calculer la valeur d’une intégrale lorsque l’on connaît une primitive de la fonction à intégrer.

Exemples :Calculer R₃

−2(2x²−5)dx,R₂

1 xdx,R_π/2

0 cosxdx.

4.2.4 Comment calculer une intégrale si l’on ne connaît pas de primitive de la fonction à intégrer

Nous verrons ici deux méthodes :l’intégration par partieset le changement de variable.

Intégration par parties

Théorème 4.2.8 Soientaetbdeux réels etuetvdeux fonctions intégrables (par exemple continues) sur[a;b]. Alors : R_b

au⁰(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a−R_b

au(x)v⁰(x)dx

Exemple :calcul deR₂

0 xe^xdx ou encore calcul deR^π

2

0 xcosxdx.

Changement de variables Théorème 4.2.9 Soit à calculer R_b

a f(x)dx où a et b sont deux réels et f une fonction intégrable sur [a;b]. Posons x=φ(u) oùφ est une fonction dérivable sur [a;b] et dont la dérivée est continue sur [a;b]. On suppose queφ([a;b]) est inclus dans le domaine de définition def. Alors

R_b

af(x)dx=R_β

αf(φ(u))φ⁰(u)du oùa=φ(α)etb=φ(β).

3 choses à penser :

• changer la variable (ex :u= 2x).

• changer ledx:du=u⁰(x)dx(du= 2dx doncdx=du/2 donc on remplacedx pardu/2).

• changer les bornes (sixvarie entre 0 et 1, u= 2xvarie entre 0 et 2).

• Donc par exempleR₁

0 e^2xdx=R₂

0 e^{u du}₂ .

Chapitre 5

Logique. Raisonnements.

5.1 Introduction : le syllogisme

Origines philosophiques (Grèce antique). Contrer les sophistes. cf aussi le Droit.

5.2 Calcul propositionnel

5.2.1 assertions (ou propositions ou formules) logiques : définition

Définition 5.2.1 • On appelleassertion(ouproposition) tout énoncé qui peut prendre sans ambiguïté l’une ou l’autre des valeurs logiques : vrai (1) ou faux (0).exemples :A1="trois divise 11". A2="Socrate est un homme ou Socrate aboie".

• Une variable booléenne, ou variable logique, est une lettre qui peut prendre deux valeurs seulement : vrai ou faux.

• Si A est une assertion ou une variable booléenne, ¬A, noté aussi A, désigne la négation de A. Ainsi, dans les¯ exemples précédents,¬A1 ="trois ne divise pas 11" et¬A2 ="Socrate n’est pas un homme".

• Si A et B sont deux assertions, on définit l’assertion A∧B (A et B) comme étant vraie si et seulement si A et B sont toutes deux vraies, et A∨B (A ou B) comme étant vraie si A est vraie ou B est vraie (ou les deux).

Si a, b et c sont des variables logiques, "(a ou b) et c" est une assertion comportant trois variables logiques : elle vaut soit vrai, soit faux, sans ambiguïté (il faut supposer les valeurs de a, b, et c connues).

5.2.2 Opérateurs logiques ET, OU, NON. Tables de vérités.

5.2.3 Implications et équivalences 5.2.4 Tautologie

Une tautologie est une assertion logique toujours vraie. Ex (a et b sont des variables logiques) : ”a∨ ¬a” ou encore le modus ponens ”(a∧a⇒b)⇒b”.

5.3 Simplification des formules logiques

5.3.1 Associativité, distributivité, lois de Morgan

A∧(B∧C) = (A∧B)∧C (associativité) A∨(B∨C) = (A∨B)∨C (associativité) A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C) (distributivité) A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C) (distributivité)

¬(A∧B) = ¬A∨ ¬B

¬(A∨B) = ¬A∧ ¬B

5.3.2 Notations booléennes

On remarque que A∧1 vaut A (vrai quandA est vrai, faux quand A est faux), et queA∨0 vautA également.

On note une analogie avec les opérations×et + sur les réels, le 1 étant l’élément neutre de la première (a×1 =a), le 0 l’élément neutre de la seconde (a+ 0 = a). On va alors remplacer∨ par +, et∧par ×, et ¬Apar A. On verra¯ d’autres analogies avec l’addition et la multiplication classique, mais également des différences.Attention : le ”plus”

qui agit sur deux assertions logiques A ou B signifie A ou B et est différent du ”plus” qui s’applique à deux réels ! Il en va de même pour le ×.

19

Les règles vues précédemment deviennent (en décidant, comme sur les réels, que le× est prioritaire sur le+, ce qui nous permettra d’économiser des parenthèses !) :

A×(B×C) = (A×B)×C (associativité) A+ (B+C) = (A+B) +C (associativité) A+ (B×C) = (A+B)×(A+C) (distributivité) A×(B+C) = (A×B) + (A×C) (distributivité)

A×B = A¯+ ¯B A+B = A¯×B¯

5.3.3 Tableaux de Karnaugh

Définition

Un tableau de Karnaugh d’une formule logique est une autre représentation de la table de vérité de cette formule : c’est aussi un tableau de2ⁿ cases, oùnest le nombre de variables booléennes présentes dans la formule, mais il n’est pas présenté sous forme d’une colonne unique.

Sinest le nombre de variables :

– Sin= 2p(nest pair) : on placepvariables sur les lignes etpvariables sur les colonnes.

– Sin= 2p+ 1(nest pair) : on placepvariables sur les lignes etp+ 1variables sur les colonnes (ou le contraire).

– En passant d’une case d’un tableau de Karnaugh à une case juste à gauche, à droite, en haut, ou en bas (une caseadjacente),une seule variabledoit changer.

– Ce dernier point doit être vrai au bord du tableau aussi : on considère que la colonne à droite de la colonne la plus à droite est la colonne la plus à gauche du tableau, la ligne en haut de la ligne la plus haute du tableau est la ligne la plus basse du tableau, etc... : le tableau est cyclique.

Illustrer avec un dessin.

Exemples : tableaux de Karnaugh de¯ab¯c+ ¯abcet dea+bc+ ¯ab¯cd.

exo :représentez le tableau de Karnaugh dea+b¯c.

Utilisation pour la simplification de formules booléennes Méthode :

• On va regrouper les 1 en paquet de 2, 4, 8,. . .,2^p éléments aussi grands que possible (sinon la formule ne sera pas optimisée). On peut ”continuer” les regroupements à l’opposé du tableau (à illustrer).

• On peut faire se chevaucher les regroupements (à illustrer).

• Chaque groupe correspond à une expression simple ne comprenant que des produit de variables : pour trouver ces expressions, il faut regarder les variables dont la valeurne change pasdans le paquet.

• Si l’on considère une formule à 4 variables, les paquets de 8 ne comprendront qu’une variable, les paquets de 4 deux variables, les paquets de 2 trois variables, et les 1 isolés s’exprimeront avec 4 variables.

Exemple : SimplifierE= ¯abc+ ¯d+cd.

exo :Simplifiez par tableau de Karnaugh les expressionsE1 =a+¯ac,E2 =dca+¯bc¯a+¯caetE3 = ¯abc+¯b¯c¯a+¯bc¯a+ ¯c¯ab.

5.4 Prédicats et quantificateurs (∀, ∃)

Si a, b et c sont des variables logiques, "(a ou b) et c" est une assertion comportant trois variables logiques : elle vaut soit vrai, soit faux, sans ambiguïté (il faut supposer les valeurs de a, b, et c connues). En revanche, "Soit x un entier ; 3 divise x" vaut vrai ou faux, mais n’est pas une assertion : la valeur logique de cette phrase dépend dex. Elle est vraie pourx= 6, mais fausse pourx= 5.

5.4.1 Quelques définitions

Définition 5.4.1 • On appelle prédicat de référentiel E tout énoncé A(x, y,· · ·) contenant des lettres, appelées variables, tel que, quand on substitue à chaque lettre un élément de E, on obtient une assertion. (exemple :

"x+2=4", de référentiel R, est un prédicat vrai pour le réel x= 2, faux pour les autres réels).

• Quantificateurs : on associe à A(x), un prédicat, les deux assertions suivantes :

• ”∀x, A(x)” signifie ”pour tout x, A(x) est vrai”.

• ”∃x, A(x)” signifie ”il existextel que A(x) est vrai”.

• ”∃!x, A(x)” signifie ”il existeun unique xtel que A(x) est vrai”.

Bien que ces assertions semblent comporter une lettrex, elles n’en dépendent pas ! Lexest absorbé par∀ ou par

∃. ”∀xA(x)” et ”∃xA(x)” sont donc bien des assertions.

Exemples : ...

IU T SRC1 Cours maths 2008/2009

5.4.2 Négation d’une assertion ou d’un prédicat contenant des quantificateurs

• Le contraire de ”∀x∈EP(x)” est ”∃x∈EP(x)”

• Le contraire de ”∃x∈EP(x)” est ”∀x∈EP(x)”

• On utilise également les lois de Morgan pour nier des énoncés comprenant des ”et” ou des ”ou”.

Exemples : ...

5.4.3 Non commutativité de ’∀’ et ’∃’

Précisons d’abord que nous ne pouvons pas échanger ’∀’ et ’∃’ dans un énoncé mathématiques : dire

∀x∈R∃y∈Rtqy≥x et

∃y∈R∀x∈Rtqy≥x

n’est pas la même chose ! Le premier énoncé est vrai, le second est faux... (il se trouve ici que le deuxième énoncé dit même exactement le contraire du premier).

5.5 Raisonnements mathématiques

Introduction

Les mathématiques se construisent comme une suite de raisonnements : on donne quelques bases supposées vraies (les AXIOMES), et par raisonnements successifs, on en déduit d’autres assertions ou prédicats (des THEOREMES ou PROPOSITIONS, selon leur importance). On dispose ainsi de nouveaux échelons pour aller plus loin...

Nous disposons désormais du vocabulaire suffisant pour exprimer le plus précisément et le plus rigoureusement possible les énoncés mathématiques. Au lieu de raisonner en utilisant les mots de tous les jours, comme on le faisait avant le XIXème siècle, nous utiliserons un vocabulaire très précis où chaque mot est non ambigü, et qui est très concis. Les points clefs d’un raisonnement apparaissent ainsi parfaitement. Le revers de la médaille est que le langage mathématique s’est détaché de la réalité : il faut un certain temps d’apprentissage pour le manier correctement.

Les tables de vérité et les théorèmes vus en première partie, s’ils pouvaient suffire à démontrer certains théorèmes (en le formulant comme une tautologie), ne peuvent pas résoudre des énoncés où interviennent des variables non lo- giques, et ne permettent pas non plus de gérer les cas où les valeurs des variables logiques dépendent les unes des autres. Il nous faut alors voir quels raisonnements nous pouvons utiliser pour démontrer les énoncés mathématiques écrits avec le vocabulaire que nous venons de voir. Prenons l’exemple du théorème de Pythagore, et exprimons-le de manière logique et précise :

Soit T un triangle, a, b, c, les longueurs de ses côtés (c est la longueur de l’hypothénuse). P=”Le triangle T est rectangle”. Q=”a²+b²=c²”. AlorsP ⇔Q(théorème de Pythagore et sa réciproque).

Exprimé ainsi, c’est plus concis que ce qui apparaît dans les livres de quatrième ! Et donc plus facile à retenir...

Pour peu que le langage mathématique soit bien maîtrisé.

P ⇔ Q est une assertion, mais Q et P dépendent l’un de l’autre : toutes les situations prévues par la table de vérité de P ⇔Q ne peuvent exister. Pour démontrer cela, il faut savoir comment démontrer une équivalence ; pour démontrer une équivalence, il faut démontrer deux implications et donc savoir comment démontrer une implication (il y a plusieurs méthodes).

Autre exemple : ”f(x) =x², définie sur R, est paire” s’exprime, mathématiquement :

∀x∈R, f(−x) =f(x)

Il n’est pas possible de prendre tous les réels un par un et vérifier cette propriété, il y a une infinité de réels... Il faut donc voir comment on démontre une propriété commençant par ”∀”

Nous allons envisager chaque situation et voir quels raisonnements sont alors à notre disposition.

5.5.1 Les différents raisonnements mathématiques

On veut montrer Méthode Exemple typique Pièges

On suppose A vrai Montrez que

On montre que B est vrai Q carré⇒Q rectangle

A⇒B ou

par contraposée Montrez que

On montre¬B⇒ ¬A n²impair ⇒npair

On montreA⇒B Montrez que ”x≤2⇔x²≤4”

A⇔B et x²≤4⇔ −2≤x≤2 NON !

On montreB⇒A

On prend un élément montrez quef(x) =x² ”f(1)=f(-1) donc

∀a∈EP(a) aquelconque fixé de E est paire f est paire”

On trouve dans montrez que

E le a qui convient 2x²+ 3 = 11 a

∃a∈EP(a) ou au moins une sol.

on montre que Soitf : [0; 1]7→Rcontinue

∀x∈EP(x)est faux tqf(0) =−1 etf(1) = 1; Mq’∃c∈[0; 1]tqf(c) = 0

∀n∈P(n) Récurrence : montrer que Première étape ! !

n∈N On montreP(0) P_n

i=1i=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ Ex : ”10ⁿ+ 1 est multiple de 9”

On montreP(n)⇒P(n+ 1) FAUX !

A vrai On montre¬A⇒Faux Montrez que

(par l’absurde) (on supp. A vraià √

2irrationnel contradiction)

Chapitre 6

Les nombres complexes

Ce sont des nombres, inventés au départ pour résoudre des équations du 3ème degré. Abstraits (difficile de se les représenter, sauf peut-être comme points d’un plan), ils rendent de nombreux services en simplifiant des calculs (résolution d’équations, intégrales, etc...).

Pour la culture : origines et histoire. grand intérêt au XVIè siècle pour la résolution des équations du troisième degré. Tartaglia et Cardan montrent quex³+px=q a une solution positive si p >0 et q >0 : ³

r

q 2+

q

p³

27 +^q₄² −

3

r

−^q₂+ q

p³

27+^q₄². Or cette équation pourrait permettre de trouver des solutions réelles et positives de l’équation x³+px=qdans le cas oùp <0, mais il faudrait alors s’autoriser à utiliser des racines de nombres négatives... (qui se simplifient et disparaissent) : c’est ainsi que Bombelli, qui reprend les formules de Cardan, s’autorise, fin du XVIème siècle, à utiliser des nombres imaginaires :√

−1. Euler qualifie ces nombres, racines de négatifs, d’imaginaires, car il ne peut les comparer à 0. Gauss utilisera le mot ”complexe” pour qualifier ces nombres en 1831. Les nombres complexes sont de la formea+b√

−1oùaet bsont des réels ; ils ont une partie réelle ”qui existe”, a, et une imaginaire, créée à partir du nombre imaginaire√

−1 :b. b√

−1 peut représenter toutes les racines de nombres négatifs. Au XIXè siècle, on commence à représenter ces nombres grâce à un point (a, b) du plan. L’axe des abscisses devient donc la partie réelle du plan, l’axe des ordonnées représente ce qui est imaginiaire.

6.1 Définitions

6.1.1 Les nombres complexes

On va construire les nombres complexes en s’autorisant à utiliser le nombre√

−1; pour ne pas écrire des racines de nombres négatifs (dans la suite il ne faudra plus en faire apparaître !), on note ce nombrei.

Définition 6.1.1 On admet qu’il existe un ensemble de nombres,C, qui : 1. contient les réels : R⊂C.

2. contient un nombrei tel quei²=−1.

3. est tel que chacun de ses élémentsc s’écrit de manièreunique sous la forme c=a+ib. – aest un réel appeléepartie réelledec.

– best un réel appeléepartie imaginaire dec.

4. est muni des opérations +et×qui suivent les mêmes règles que dans R.

Un nombre dont la partie imaginaire est nulle est un nombre réel. Un nombre dont la partie réelle est nulle s’appelle un nombreimaginaire pur.

Exemples :

• c1= 1 +i,c2= 1−i,c3=−3i, etc4=−√ 2 +√

2isont tous des complexes : ∀i= 1...4, ci ∈C.

• Calculezi²,−i²,(−i)².

• Calculezc1×c2. Calculezc²₃. On trouve :c1×c2= 2,c²₃=c3×c3=−4i.

• Calculezc1+c2,(2 + 3i)−(3 + 2i), et(2 + 3i)×(3 + 2i).

Conséquences :

Proposition 6.1.1 • a+ib=a⁰+ib⁰ ⇔(a=a⁰)∧(b=b⁰)

• Soient deux nombres complexes z et z⁰. Notons Re(z) et Re(z⁰) leurs parties réelles, et Im(z) et Im(z⁰) leur partie imaginaires. Alors Re(z+z⁰) =Re(z) +Re(z⁰)et Im(z+z⁰) =Im(z) +Im(z⁰).

• Les calculs dans Cse font comme dans R(sauf pour la division..), en tenant compte du fait que i²=−1.

23

Exercices : Calculez(1 + 2i)×(1−2i),(1 + 3i)×(1−3i),(2 + 2i)×(2−2i)

6.1.2 Nombre conjugué et module d’un nombre complexe

Définition 6.1.2 Soitz un nombre complexe :z=a+ib.

1. Le nombre a−ibest appelénombre conjugué de z ouconjugué de z, et est noté ¯z :z¯=a−ib.

2. Le module de zest noté|z|, et vaut, par définition,|z|=√

a²+b².|z| est donc un réel.

Exemples :Calculez¯zet |z|pour – z= 1 +i →z¯= 1−iet|z|=√

2.

– z= 1−2i→z¯= 1 + 2iet|z|=√ 5.

Proposition 6.1.2 1. z¯z=|z|².zz¯est donc toujours un réel.

2. z+z⁰= ¯z+ ¯z⁰. 3. zz⁰ = ¯zz¯⁰.

Définition 6.1.3 Inverse d’un nombre complexe z6= 0 : puisque z¯z=|z|² alorsz_|z|^¯z2 = 1 donc on peut définir l’inversed’un nombre complexe non nul qu’on note ¹_z. On a alors ¹_z = _|z|^z¯2

exercice :inverse dez= 2−3i? Opposé dez= 2−3i? (rép : l’inverse est ²⁺³ⁱ₁₃ , l’opposé est−2 + 3i).

6.1.3 Représentation géométrique d’un nombre complexe

Définition 6.1.4 Pour visualiser les propriétés d’un nombre complexe, on peut associer à un nombre complexe un point du plan : soit donc un repère orthonormé(O, ~u, ~v).

• A chaque nombre complexez=a+ibon peut associer un pointM(a;b), appelé point-image dez.

• L’axe des abscisses (O, ~u) est alors appeléaxe des réels; l’axe des abscisses (O, ~u) est alors appelé axe des réels; l’axe des ordonnées (O, ~u)est appeléaxe des imaginaires.

• Le conjugué dez est son symétrique par rapport à l’axe des réels. Siz est un réel, il est donc confondu avec son conjugué.

• Le module de z est sa distance à l’origine.

• z=^z1+z₂ ² équivaut à dire que le point image de z est le milieu des points image dez1 etz2.

– On peut aussi associer à un complexez=a+ibun vecteur~u(a, b), ce qui permet de visualiser en particulier les propriétés de la somme des nombres complexes.

6.2 Résolution dans C d’équations du second degré à coefficients réels

Théorème 6.2.1 Soient a,b etc trois réels (a6= 0), l’équationaz²+bz+c= 0 admet : – Deux solutions réelles si son discriminant ∆ =b²−4ac≥0 :z1=^b+_2a^√∆ et z2= ^b−_2a^√∆.

Si∆ = 0,z1=z2.

– Deux solutions complexes si son discriminant ∆ =b²−4ac <0,z1=^b+i_2a^√−∆ etz2= ^b−i_2a^√−∆. On peut alors factoriseraz²+bz+c :az²+bz+c=a(z−z1)(z−z2).

Exemples :Résoudredans Cz²+z+ 1 = 0puisz²+z−1 = 0. Factorisez.

6.3 Ecriture trigonométrique des complexes

Pré-requis :maîtriser les propriétés sur les puissances ; maîtriser les bases de la trigonométrie.

6.3.1 Définitions

Soit un repère orthonormé(O, ~u, ~v). Un pointM du plan peut être représenté en coordonnées cartésiennes, mais aussi en coordonnéespolaires, en utilisant sa distance au centre du repère et l’angle(~u,−−→

OM). Il en va de même pour le nombre complexe correspondant à ce point !

Si M a pour coordonnées cartésiennesxet y (M(x;y)) et pour coordonnées polaires ret θ(M(r, θ)), trouvons le rapport entre ces deux systèmes de coordonnées : ce sont les équations (E) suivantes qui nous le donnent.

x = rcosθ (1) y = rsinθ (2)