L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚4
Logique, ensembles, applications, sommes
Exercice 42
1. ´Ecrire math´ematiquement: pour tout r´eelx, il existe un r´eely compris entrexetx+ 1.
2. ´Ecrire en fran¸cais:∀x∈R ∃y∈R x=|y|.
3. Cette derni`ere affirmation est-elle vraie ? 4. Et celle-ci ? ∃x∈R ∀y∈R x=|y|.
5. ´Ecrire les n´egations de ces propositions.
F Exercice 43: ´Ecriremath´ematiquement les phrases suivantes.
1. On peut trouver au moins un nombre rationnel compris entre√ 2 et√
3.
2. Il n’existe pas d’entier naturel sup´erieur `a tous les autres.
3. Si la somme de deux entiers naturels est nulle, alors les deux entiers sont nuls.
Exercice 44 :: SoientP etQdeux propositions logiques.
1. (a) ´Ecrire les tables de v´erit´e de la proposition (P et non(Q)) et de la proposition non(P ⇒Q).
(b) Que peut-on d´eduire de la question (a) ?
(c) Retrouver le r´esultat de (b) `a l’aide des lois de Morgan.
2. En vous inspirant de la question 1., d´emontrer, de deux fa¸cons, que l’implicationP ⇒Qet sa contrapos´ee ont les mˆemes valeurs de v´erit´e.
Exercice 45: Montrer, par r´ecurrence, que : 1. ∀n∈N n2+n+ 2 est un entier pair.
2. ∀n∈N n3−nest divisible par 6.
Exercice 46: D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N∗, 12+ 22+ 32+. . .+n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
Exercice 47: Soitx∈R+. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N, (1 +x)n ≥(1 +nx).
F Exercice 48: Pour tout entier natureln, on d´efinit les propri´et´esPn etQn suivantes : Pn : 3 divise 4n−1 et Qn: 3 divise 4n+ 1.
1. Montrer que ces deux propri´et´es sont h´er´editaires.
2. Les deux propri´et´es sont-elles vraies pour tout entier natureln?
Exercice 49
1. D´emontrer que [−13; 6]∩]−5; 9[=]−5; 6].
2. D´emontrer que (R\]−4,2[) ∪ [−8; 5] =R. 3. Soient A1 =
(x;y)∈R2|2x+ 3y= 1 et A2 =
(x;y)∈R2| −x+y=−2 . D´eterminer A1∩A2. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat.
4. Soient B1 =
(x;y)∈R2|x2−2x+y2= 3 et B2 =
(x;y)∈R2|x2+x+y2+ 6y= 0 . D´eterminer B1∩B2. Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
Exercice 50: Soient AetB les parties deR2d´efinies par
A=
(x;y)∈R2|3x−4y= 5 et B=
(x;y)∈R2
∃t∈R
x= 3 + 4t y= 1 + 3t
. D´emontrer que A=B et donner une interpr´etation g´eom´etrique de cette ´egalit´e.
Exercice 51: SoitE l’ensemble fini{1,2,3,4,5,6}.
1. Combien y a-t-il d’´el´ements dans l’ensemble{(x;y)∈E2|x < y}? 2. Combien y a-t-il d’´el´ements dans l’ensemble{(x;y)∈E2|x≤y}?
F Exercice 52: SoientA,B etC trois parties d’un ensembleE.
1. D´emontrer queA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
2. D´eduire de (a) et des lois de Morgan queA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Exercice 53: Soient f:R+×→R+×,x7→x+ 1 etg:R+×→R+×,x7→ 1 x 1. Les applicationsf et gsont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
2. D´eterminer les compos´ees f◦get g◦f. Ces deux applications sont-elles ´egales ?
Exercice 54 : On consid`ere l’application f:R2 → R, (x;y) 7→ x2+y2. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
F Exercice 55: Dire si les applications suivantes sont injectives, surjectives ou bijectives, et d´eterminer, quand elles existent, leurs applications r´eciproques.
1. f:R2→R2, (x;y)7→(y;x) ; 2. g:R2→R2, (x;y)7→(x+y;xy).
Exercice 56: Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 4. Parmi ces expressions, d´eterminer lesquelles sont ´egales :
A=
n
X
k=0
1 B=
n−1
X
k=0
1 C=
n
X
k=1
2k n
D=
n−1
X
k=0
2k
n−1 E=
n
X
k=1
k−
n−1
X
h=0
h F =
n
X
k=1
k−
n−1
X
h=2
h
G=
n−1
X
k=1
k−
n−2
X
h=2
h H=
n
X
k=n
1 I=
n
X
h=n
h
Exercice 57:
1. Soitx∈R. D´evelopper l’expression (1 +x)4, `a l’aide de la formule du binˆome de Newton.
2. R´esoudre l’´equationx8+ 4x6+ 6x4+ 4x2+ 1 = 0 dansC.
Exercice 58
1. Soitn∈N. Montrer que
n
X
k=0
(2k+ 1) = (n+ 1)2et que
n
X
k=0
Cnk= 2n.
2. Soitn≥2 un entier. Calculer les sommesS1=
n
X
k=2
1
2k et S2=
n
X
k=2
Cnk5k.
3. Soitn≥1 un entier. Calculer les sommesS3=
n
X
k=0
(−1)k et S4=
n
X
k=0
(−1)k Cnk.
F Exercice 59
1. Soient n∈N∗. Calculer
n
X
k=0
k Cnk.Indication : On pourra remarquer quek Cnk=n Cn−1k−1 si1≤k≤n.
2. Soitx∈R. CalculerS1(x) =
n
X
k=0
Cnkxk(1−x)n−k et S2(x) =
n
X
k=0
k Cnk xk (1−x)n−k.
