Université Cadi Ayyad
Faculté poly-disciplinaire de Safi Département de Mathématiques et Informatique
Année Universitaire : 2019−2020 Filières : SMA
Semestre : 4
Module: Algèbre 6 Prof: Salah El Ouadih
SÉRIE N
◦4
Exercice 4 :
On note Z[i] = {a+ib/a, b∈Z}. Les éléments de Z[i] sont appelés entiers de Gausse. Pour z =a+ib ∈Z[i], on poseN(z) = zz =|z|2 =a2+b2 ∈N.
1. Montrer que(Z[i],+,×) est un anneau intègre.
2. Déterminer U(Z[i]) l’ensemble des éléments inversibles de Z[i] et les associé de x+iy ∈Z[i].
3. Soient z, w ∈ Z[i] tels que z/w dans Z[i]. Montrer que N(z)/N(w) dans Z. La réciproque est-elle vraie?
4. Soit z ∈ Z[i] tel que N(z) est un nombre premier. Montrer que z est irréductible dans Z[i].
5. La réciproque de (4) est-elle vraie? Considérerz = 3.
6. Montrer que pour tout z ∈C, il existe q ∈Z[i] tel que N(z−q)≤ 12. 7. Montrer queZ[i] est un anneau euclidien.
8. En déduire que Z[i]est un anneau principal et factoriel.
9. Vérifier que 5 = (2 +i)(2−i) = (1−2i)(1 + 2i). Pourquoi ceci ne contredit-il pas le fait que Z[i] soit factoriel ?
10. Faire la division de25 + 3ipar3 +i. Trouver lepgcdde ces deux entiers de Gauss.
1
Exercice 5 :
On considère l’application
f : Z[i]−→Z/10Z a+ib 7−→a+ 7b
1. Montrer quef est un homomorphisme d’anneaux surjectif.
2. Montrer quekerf = (3 +i).
3. 3 +iest-il premier dans Z[i].
Exercice 6 :
On désigne par A l’anneau A=Z[i√ 5] =
a+i√
5b/a, b∈Z . Soit x=a+i√
5b∈A. On pose N(x) =a2 + 5b2. 1. Déterminer U(A).
2. Montrer que1 est un pgcd de 3 et1 +i√
5 dans A.
3. Montrer que les éléments3,1±i√
5sont irréductibles dans A.
4. Montrer queA n’est pas factoriel.
2
