Devoir surveillé 6

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29/03/2016 TSI2, Lycée Jules Ferry DS6

2015/2016 1

Devoir surveillé 6

L’emploi des calculatrices personnelles est interdit.

Instructions générales

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.

Les divers problèmes sont indépendants. Les diverses parties peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Le candidat prendra soin de bien numéroter les questions.

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

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2015/2016 2

La propagation de l’onde lumineuse s’effectue dans un milieu transparent, diélectrique, linéaire, homogène et isotrope.

La vitesse de la lumière dans le vide est notée c3.10⁸m s. ^¹.

Une source lumineuse ponctuelle située en S émet, de manière pulsée, des trains d’ondes lumineuses supposées de même pulsation . Dans le modèle scalaire de la lumière, la fonction de l’onde monochromatique est caractérisée en un point M et à l’instant t par le signal lumineux ou vibration lumineuse : ^{s M t}



^,



^^a^cos



^{ }^t^



^{M t}^,

 

^{, où}^a est l’amplitude supposée constante de l’onde et ^



^{M t}^,



son retard de phase en M et à l’instant t par rapport au point de référence S. Le modèle des trains d’ondes suppose que la phase à la source _S reste constante pendant des intervalles de temps de durée constante _c entre lesquels elle change aléatoirement de valeur.

L’onde émise durant cet intervalle de temps appelé temps de cohérence est nommée « train d’onde ». Le train d’onde est ainsi limité dans le temps et se propage dans le vide à la célérité c. La phase de l’onde _S à la source S prend une nouvelle valeur aléatoire à chaque nouveau train d’onde.

Première partie : Rayon lumineux

La lumière se propage de S à M le long d’un rayon lumineux avec pour vitesse au point P :

   

^c

v P n P où ^{n P}

 

est l’indice de réfraction du milieu en P ; par définition, le chemin optique



^SM



entre les points S et M du rayon lumineux est :

 

^M

   

S

SM 



n P dl P . L’élément d’arc de la courbe suivie par la lumière est noté ^{dl P}

 

; il est définit en P et est parcouru par la lumière à la vitesse de propagation ^{v P}

 

pendant la durée dt.

L’onde se propage sans déformation, le signal ^{s M t}



^,



reproduit le signal de la source avec un retard

 

^M

 .

1) Relier le chemin optique



^SM



à la durée de propagation du signal ^

 

^M . Conclure quant à l’interprétation du chemin optique.

2) Dans le domaine visible, pour une longueur d’onde moyenne dans le vide _m de l’ordre de 600 nm, calculer l’ordre de grandeur de la pulsation _m du signal lumineux.

3) Etablir l’expression du retard de phase _P__M 



M t,

  

 P t, lié à la propagation entre P et M , en fonction du chemin optique



PM



et de la longueur d’onde ₀ de l’onde étudiée dans le vide.

4) Définir une surface d’onde. Justifier le caractère d’onde sphérique associé au signal lorsque celui-ci se propage dans un milieu d’indice n constant. Enoncer le théorème de Malus.

5) Quel instrument d’optique permet d’obtenir une onde plane à partie d’une source ponctuelle ? Illustrer votre réponse à l’aide d’un schéma faisant apparaître les surfaces d’onde.

L’intensité lumineuse I M

 

est mesurée par un détecteur quadratique placé en M sensible à la valeur moyenne temporelle de ^s²



^{M t}^,



. Elle est conventionnellement définie au point M (à une constante multiplicative près) par : ^{I M}

 

^ ^s²



^{M t}^,



^.

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Cette moyenne temporelle est effectuée sur un temps de réponse _R du détecteur toujours très grand devant les temps de cohérence temporelle des sources supposés identiques à _C. Ce temps de cohérence est la durée moyenne de passage des trains d’ondes en un point donné de l’espace.

6) Donner des ordres de grandeurs de temps de cohérence de sources usuelles. Dans le cas du laser de longueur d’onde moyenne _m, relier le temps de cohérence à son étendue spectrale . Faire l’application numérique.

Deuxième partie : Interférences entre deux sources ponctuelles

L’intensité lumineuse ^{I M}

 

résulte de la superposition en M de deux ondes issues de deux sources ponctuelles S₁ et S₂ de longueurs d’onde dans le vide différentes ₁ et ₂. Elles sont notées respectivement : s M t1



,



a1cos



1t1



M t,

 

et s2



M t,



a2cos



2t2



M t,

 

.

7) Exprimer l’intensité lumineuse ^{I M}

 

en fonction des intensités I₁ et I₂ de chacune des ondes, de leurs pulsations respectives ₁ et ₂ et du déphasage 2/1



M t,



2



M t,



1



M t,



de l’onde issue de S₂ par rapport à l’onde issue de S₁. Identifier le terme d’interférences.

8) Que vaut l’intensité lumineuse I M

 

pour des ondes incohérentes ?

L’intensité lumineuse ^{I M}

 

résulte maintenant de la superposition en M de deux ondes issues de deux sources ponctuelles S₁ et S₂ de même longueur d’onde dans le vide ₀. Elles sont notées respectivement : s M t1



,



a1cos



0t1



M t,

 

et s2



M t,



a2cos



0t2



M t,

 

.

9) Déterminer le déphasage 2/1



M t,



2



M t,



1



M t,



en fonction de la longueur d’onde dans le vide ₀, de la différence de marche notée 

  

M  S M2

 

 S M1



et des phases _S₁ et _S₂ des signaux émis aux points sources S₁ et S₂.

(4)

3$57,(,,,'$875(63/$1(7(6+$%,7$%/(6"

$ORUVTXHOD7HUUHHVWDFWXHOOHPHQWODVHXOHSODQqWHFRQQXHSRXUDEULWHUODYLHOHVDVWURSK\VLFLHQVRQW GpFRXYHUWXQHH[RSODQqWHEOHXHQRPPpH,VLV

2QVHSURSRVHGDQVFHWWHSDUWLHGDQDO\VHUXQHWHFKQLTXHGHGpWHFWLRQGH[RSODQqWHVIDLVDQWDSSHOj OLQWHUIpURPpWULHSXLVGH[DPLQHUODWPRVSKqUHG¶,VLVSRXUGpWHUPLQHUVLGXIDLWGHVDFRXOHXUEOHXH FHODHQIDLWXQHERQQHFDQGLGDWHSRXUDEULWHUODYLH

,,,$/DUHFKHUFKHGH[RSODQqWHV

&RPPHQRWUHSODQqWH,VLVRUELWHDXWRXUG¶XQHpWRLOH

/¶REVHUYDWLRQGXFRXSOHpWRLOH±H[RSODQqWHHVWUpDOLVpHjXQHORQJXHXUGRQGHȜJpQpUDOHPHQWVLWXpH GDQVOLQIUDURXJH

'DQV XQ SUHPLHU WHPSV RQ FRQVLGqUH XQLTXHPHQW OpWRLOH 2Q O¶DVVLPLOH j XQH VRXUFH SODQH PRQRFKURPDWLTXHGHORQJXHXUGRQGHȜVHSURSDJHDQWVXLYDQWOD[HKRUL]RQWDO2]jODFpOpULWpܿ

3HUSHQGLFXODLUHPHQWjFHWD[HRQGLVSRVHXQpFUDQRSDTXHSHUFpGHGHX[WURXVG<RXQJpFDUWpVGXQH GLVWDQFHD2QQRWH_ଵHW_ଶOHVFHQWUHVGHVGHX[WURXVG<RXQJYRLUILJXUHFLGHVVRXV

/REVHUYDWLRQ HVW HIIHFWXpH VXU XQ pFUDQ VLWXp GDQV OH SODQ IRFDO GXQH OHQWLOOH FRQYHUJHQWH GH IRFDOH݂Ԣ

2QVLQWpUHVVHjORQGHOXPLQHXVHݏሺǡ ݐሻHQXQSRLQWሺݔǡ ݕሻGHOpFUDQUpVXOWDQWHGHODVXSHUSRVLWLRQ GHVRQGHVSURYHQDQWGH_ଵHWଶ2QQRWHܣO¶DPSOLWXGHGHFHVGHX[RQGHVHWRQVXSSRVHTXHOHXU GpSKDVDJHjO¶RULJLQHHVWQXO

)LJXUH'LVSRVLWLIGHVWURXVG<RXQJ

2QUDSSHOOHTXHOHVFDSWHXUVRSWLTXHVTXDGUDWLTXHVIRXUQLVVHQWXQVLJQDOSURSRUWLRQQHOj OLQWHQVLWpOXPLQHXVHF¶HVWjGLUHSURSRUWLRQQHOjODPR\HQQHGXFDUUpGXVLJQDOQRWpHۃݏ^ଶሺǡ ݐሻۄ 2QQRWHܫ_଴ ൌ஺^మ

ଶOLQWHQVLWpOXPLQHXVHGHFKDFXQHGHVRQGHV 2QGRQQHODIRUPXOHGHOLQpDULVDWLRQVXLYDQWH

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5DSSHOHUOHVFRQGLWLRQVSULQFLSDOHVSRXUTXHOHSKpQRPqQHGLQWHUIpUHQFHVDSSDUDLVVH&HV FRQGLWLRQVVRQWHOOHVUpXQLHVLFL"

'pWHUPLQHUODYDOHXUGXFRQWUDVWH

/XWLOLVDWLRQGXQHOHQWLOOHLPSRVHGrWUHGDQVOHVFRQGLWLRQVGH*DXVV (QRQFHUOHVFRQGLWLRQVGH*DXVV

(WRLOH

ଵ

ଶ

7URXV G¶<RXQJ

ߠ ߠ

(FUDQ

ሺݔǡ ݕሻ

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2 ݕ ݖ /

(5)

2QVXSSRVHOHVFRQGLWLRQVGH*DXVVYpULILpHV/¶DQJOHߠGpILQLVXUOHVFKpPDGHODILJXUH HVWWHOTXH

ߠ ൎ ߠ ൎ ߠǤ /¶LQGLFHRSWLTXHGHO¶DLUHVWSULVpJDOj

0RQWUHUTXHODGLIIpUHQFHGHPDUFKHDSRXUH[SUHVVLRQ ߜ ൌܽ ൈ ݔ (QGpGXLUHO¶H[SUHVVLRQGHOLQWHUIUDQJHL ݂Ԣ Ǥ

4XHOOHHVWODIRUPHGHVIUDQJHVREVHUYpHV"6RQWHOOHVORFDOLVpHV"-XVWLILHU

2Q FRQVLGqUH GDQV XQ VHFRQG WHPSV OpWRLOH HW VRQ H[RSODQqWH FRPPH GHX[ VRXUFHV LQFRKpUHQWHV SODQHVPRQRFKURPDWLTXHVGHORQJXHXUGRQGHȜVHSURSDJHDQWVXLYDQWOD[HݖjODFpOpULWpܿ

3RXU TXHOOH UDLVRQ FH GLVSRVLWLI QH SHUPHWLO SDV GH GpWHUPLQHU OD SUpVHQFH GXQH H[RSODQqWH"

3RXUPHWWUHHQpYLGHQFHODSUpVHQFHG¶XQHH[RSODQqWHRQXWLOLVHGHX[WpOHVFRSHV(QUHFRPELQDQWOHV IDLVFHDX[ LVVXV GHV GHX[ WpOHVFRSHV VXU XQH UHFRPELQDWULFH RSWLTXH VLWXpH DX PLOLHX GHV GHX[

WpOHVFRSHVFHVIDLVFHDX[VHURQWHQSKDVHHWORQREWLHQGUDGHVLQWHUIpUHQFHVFRQVWUXFWLYHV$LQVLGDQV OLQWHUIpURPpWULHFODVVLTXHOHVVLJQDX[GHVGHX[WpOHVFRSHVVHFRPELQHQWSRXUFRQVWUXLUHXQHIUDQJH FHQWUDOHGLQWHQVLWpPD[LPDOHVXUODOLJQHGHYLVpHFHVWjGLUHGDQVODGLUHFWLRQGHOpWRLOHREVHUYpH

&HSHQGDQWjODLGHGXQSULQFLSHLQJpQLHX[OLQWHUIpURPqWUHGH%UDFHZHOOYRLUILJXUHFLGHVVRXV LOHVWSRVVLEOHGLQWURGXLUHVXUOHIDLVFHDXGHOXQGHVWpOHVFRSHVXQGpSKDVHXUDFKURPDWLTXHGHߨGH VRUWHTXHOHVLQWHUIpUHQFHVGHYLHQQHQWGHVWUXFWLYHVGDQVODGLUHFWLRQGHOpWRLOH2Q©pWHLQWªDLQVLOH IOX[GHOpWRLOHFHVWFHTXRQDSSHOOHOLQWHUIpURPpWULHjIUDQJHQRLUH

'DQVODGLUHFWLRQGHODSODQqWHTXLIDLWXQDQJOHߙSDUUDSSRUWjODGLUHFWLRQGHOpWRLOHRQLQWURGXLW XQHGLIIpUHQFHGHPDUFKHVXSSOpPHQWDLUHGHܦ ൈ ݏ݅݊ߙR'HVWODGLVWDQFHHQWUHOHVGHX[WpOHVFRSHV 6LRQDGDSWH'RQSHXWVDUUDQJHUSRXUTXjODORQJXHXUGRQGHGREVHUYDWLRQODGLIIpUHQFHGHPDUFKH VXSSOpPHQWDLUHFRPSHQVHH[DFWHPHQWOHGpSKDVDJHߨLQWURGXLWSDUOHGpSKDVHXU2QUpDOLVHDORUVGDQV ODGLUHFWLRQGHODSODQqWHGHVLQWHUIpUHQFHVFRQVWUXFWLYHV

7RXWHVRXUFHVXUOD[HLFLOpWRLOHGRQFVXUODIUDQJHVRPEUHHVWpWHLQWHGHPDQLqUHWUqVHIILFDFH 8QHVRXUFHKRUVD[HLFLOH[RSODQqWHVXUXQHIUDQJHFODLUHQHVWSDVRXSHXDIIHFWpHHWHVWGRQF GpWHFWpHDYHFXQELHQPHLOOHXUFRQWUDVWH

)LJXUH3ULQFLSHGHIRQFWLRQQHPHQWGHOLQWHUIpURPqWUHGH%UDFHZHOO

3RXUFRPSUHQGUHOHSULQFLSHGHIRQFWLRQQHPHQWGHO¶LQWHUIpURPqWUHGH%UDFHZHOORQVHUDPqQHj O¶H[SpULHQFHGHVWURXVG¶<RXQJHQFRQVLGpUDQWODGLUHFWLRQGHO¶pWRLOHVXLYDQWOD[HݖHWODGLUHFWLRQ GHODSODQqWHLQFOLQpHG¶XQDQJOHߙSDUUDSSRUWjODGLUHFWLRQGHOpWRLOH8QGpSKDVHXUHVWLQWURGXLW DYDQWODOHQWLOOHHWODUHFRPELQDWULFHHVWDVVRFLpHDXSRLQW2GHO¶pFUDQFIILJXUH

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ܦ ൈ ݏ݅݊ߙ ߙ

ܦ

ߨ

(6)

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/RUVTXHOLQWHUIpURPqWUHGH%UDFHZHOOSRLQWHHQGLUHFWLRQGHOpWRLOHTXHOOHHVWOH[SUHVVLRQ GHOLQWHQVLWpOXPLQHXVH GXHXQLTXHPHQW jOH[RSODQqWHHQXQSRLQWGHODUHFRPELQDWULFHSRXUXQ UpJODJHRSWLPDO"

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/RUVTXRQSHXWREVHUYHUGLUHFWHPHQWXQHSODQqWHLOHVWSRVVLEOHGHQGpGXLUHODFRPSRVLWLRQ GH VRQ DWPRVSKqUH 3RXU XQH H[RSODQqWH WURS SURFKH GH VRQ pWRLOH GH WHOOHV REVHUYDWLRQV VRQW LPSRVVLEOHV2QDDORUVUHFRXUVjODPpWKRGHGXWUDQVLW/RUVTX¶XQHSODQqWHSDVVHGHYDQWVRQpWRLOH HOOHODFDFKHHQSDUWLH6LODSODQqWHSRVVqGHXQHDWPRVSKqUHDORUVXQHSHWLWHSDUWLHGXUD\RQQHPHQW GHO¶pWRLOHWUDYHUVHFHWWHDWPRVSKqUHDYDQWGHQRXVSDUYHQLU

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3RXUODVFLHQFHDYULO

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2QVXSSRVHTXHOHUD\RQLQFLGHQWVHSURSDJHGDQVOHSULVPHHWHQUHVVRUWSDUODIDFH(&

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7URXV

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(7)

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HWO¶DQJOH'DSSHOpDQJOHGHGpYLDWLRQODQJOHRULHQWpHQWUHOHUD\RQLQFLGHQWVXUODIDFH(%

HWOHUD\RQUpIUDFWpHQVRUWLHGXSULVPHVXUODIDFH(&

2Q YHLOOHUD j UHVSHFWHU OHV SURSRUWLRQV HQWUH ODQJOH LQFLGHQW HW ODQJOH UpIUDFWp SRXU OHV GHX[

UpIUDFWLRQV

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ቀܣʹቁ Ǥ

(QpFODLUDQWOHSULVPHDYHFXQHODPSHjPHUFXUHGRQWRQFRQQDvWOHVORQJXHXUVG¶RQGHGHVUDLHV GpPLVVLRQRQSHXWYpULILHUTXHOLQGLFHRSWLTXH GXSULVPHGpSHQGGHOD ORQJXHXUGRQGHȜGHOD UDLHFHWWHORLHVWDSSHOpHORLGH&DXFK\3RXUYpULILHUFHWWHORLRQDWUDFpHQODERUDWRLUHODFRXUEH GRQQpHVXUOHGRFXPHQWUpSRQVH

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'LR[\JqQH2±±

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$LGHDX[FDOFXOV

_ξଶǡଽ^ଵ ൌ Ͳǡͷͺ͹ʹʹͲʹʹUpVXOWDWEUXWREWHQXjODFDOFXODWULFH

)LQGHO¶pQRQFp

(8)

NE RIEN ÉCRIRE DANS LA PARTIE BARRÉE

DOCUMENT REPONSE A RENDRE AVEC LA COPIE

ANNEXE 1 (pour la question 58)

ANNEXE 2 (pour la question 60)

Fin de l’énoncé E

B C

A

݊

Vérification de la loi de Cauchy

݊

ͳ ߣΤ ^ଶ(m^-2)

݊ ൌ ͳǡͶͲͲ ൈ ͳͲ^ିଵସΤߣ^ଶ൅ͳǡ͸ͺʹ 1,78

1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71